Короткие суммы г. Вейля и их приложения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 16 Выпуск 1 (2015)
УДК 511. 524
КОРОТКИЕ СУММЫ Г. ВЕЙЛЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
З. Х. Рахмонов, Н. Н. Назрубллоев, А. О. Рахимов (г. Душанбе)
Аннотация
В множестве точек первого класса изучено поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля вида
Т (а, х, у) = е (атп),
х-у& lt-т<-х
и найдена асимптотическая формула для количества представлений до-
виде с '- N) 1
статочно большого натурального числа N в виде суммы 33 пятых степеней
11
натуральных чисел Xi, с условиями
Xi '- 33
^ H, H & gt- N5- зш+?.
Ключевые слова: короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля, почти равные слагаемые, круговой метод, проблема Варинга.
Библиография: 17 названий.
SHORT WEYL SUMS AND THEIR APPLICATIONS
Z. Kh. Rakhmonov, N. N. Nazrubloev, A. О. Rakhimov (Dushanbe)
Abstract
We shall study the behavior of short Weyl sums of the form
T (a, x, y) = ^ e (amn)
x-y& lt-m<-x
on major arcs and obtain an asymptotic formula for the number of representations of a sufficiently large positive integer N as a sum of 33 fifth powers of
positive integers xi, that satisfy
^ & quot- (I)
11
& lt- H, H ^ N5- sin+?.
Keywords: Short Weyl sums, Almost equal summands, Circle metods, Waring'-s problem.
Bibliography: 17 titles.
1. Введение
Р. Вон [1], изучая суммы Г. Вейля вида
__а 1
Т (а, х) =у е (атп), а = -+ А, ц ^ т, (а, ц) = 1, |А| & lt- -,
ц цт
т^х
в множестве точек первого класса, воспользовавшись оценкой
д
Ц (акп + Ьк? е-)
Бъ (а, ц) = у е — & lt- ц2+е (Ь, ц)
принадлежащей Хуа Ло-кену [2], методом Ван дер Корпута доказал: Б (а, Ц)
Ц Jo
а при выполнении условия
Т (а, х) = [ е (Агп) ?г + о{д1+? (1 + хпА1), Б (а, ц) = Бо (а, ц),
|А| & lt-
2ицхп-1 он также доказал:
х Б (а, ц) Ц Jo
Т (а, х) = хБ (а, Ц [1 е (Агп) ?1 + О (ц1+?)
Воспользовавшись этими оценками, он доказал [3] асимптотическую формулу в проблеме Варинга для восьми кубов.
Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля вида
Т (а, х, у)= ^^ е (атп), [х ^ у& lt-
х
1п х
х-у& lt-т<-х
получающиеся из Т (а, х) заменой условия т ^ х на условие х — у & lt- т & lt- х, в множестве точек первого класса при и = 2, 3, 4 были исследованы в работах [4, 5, 6, 7]. Эти результаты нашли применение при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвертых степеней) в [8, 9] и кубической задаче Эстермана в [7]. Затем при произвольном фиксированном и сумма Т (а, х, у) была изучена в работах [10, 11]. Основным результатом этой работы является упрощение доказательства и уточнение основной теоремы работы [11], а также вывод асимптотической формулы в проблеме Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми.
Обозначения. N & gt- N — натуральное число, е-произвольное положительное число, не превосходящее 0. 1, ?? = 1п N,
^ (атп Г0,5
Б (а, $ = 22 е (-), 7(А- х, у)=1 е (А (х — У/2 + уи) п)ё.и.
т=1 ^ Ц '-
'--0,5
1
Теорема 1. Пусть т & gt- 2n (n — 1) xn 2y и X ^ 0- тогда при [nxn ^ имеет место формула
T (a, x, y) = T (X- x, y) + O (q2 +),
q
а при {nXxn-1} & gt- имеет. место оценка
…. i__1. __1 __1 i_n__1.
T (a, x, y)^ q n lnq + min (yq n, X kx k q «).
2& lt-k<-n
Следствие 1. Пусть т & gt- 2n (n — 1) xn 2y, X ^ 2-, тогда имеет место
«n-2»., «_ _
2nqxn
соотношение
T (a, x, y) = y-S (a, q) j (X- x, y) + O (q1 +?). q
Следствие 2. Пусть т & gt- 2n (n — 1) xn-2y, 2nql"-i & lt- X ^ 1, тогда имеет, место оценка
T (a, x, y) ^ q n ln q + min [yq n, x k qk «I.
Следствия 1 и 2 являются обобщением вышеуказанных результатов Р. Вона для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля T (a, x, y).
Теорема 2. Для числа J (N, H) представлений N суммою 33
1
.. ,.. 5
пятых степеней чисел xi, i = 1, 2,…, 33 с условиями
при H ^ N5-з40+? справедлива асимптотическая формула:
BS (N)H32 + (H32)
J (N, H)= vN4 + OlW^) •
где & amp-(N) — особый ряд, сумма которого превосходит некоторое положительное постоянное, B — абсолютная положительная постоянная, которая определяется соотношением
Xi~ (33)
^ H,
^Зз4
16
B = ^32т?(-1)k Сз (33 — 2k)32. '- k=0
Следствие 3. Существует такое Щ, что каждое натуральное число N & gt- N предстлвимо в виде суммы 33 пятых степеней почти равных чисел хг:
(N3)
xi ¦ 33
^ N1-, i = 1, 2,…, 33.
2. Известные леммы
Лемма 1. [13]. Пусть х и у — натуральные числа, у/х & lt- у & lt- 0,01х, тогда при и = 5 имеет место оценка
[ 1 Т (а- х, у)|32 ?а «у27+?. 0
Лемма 2. [14]. Пусть х ^ х0 & gt- 0, у0 & lt-у ^ 0,01х, а — вещественное число,
а
а--
ц
1
^ ~2, (а, Ц) = 1-ц2
Тогда при и = 5 справедлива оценка
1 Т (а- х, у)1» у1+?(- + 1 +
ц у4 у5)
3. Доказательство теоремы 1
Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим
4−1 (акп 1 4−1
Т (а- х, у) =2 е (-) X] е (Атп) = ~^2Тъ (А- x, y) Бъ (a, ц), (2)
к=0 ^ ц '- х-у& lt-т<-х ц Ъ=0
m = k (modq)
Тъ (А- х, у)= е (Атп — -), Бъ (а, ц) =2 е[ +) ¦
х-у& lt-т<-х ^ ц '- к=1 ^ ц '-
1 д-1
К (а- х, у) = Тъ (А- x, У) Sъ (a, ц). (3)
ц ъ=1
Имея в виду, что иАхп-1 — {иАхп-1} - целое число, представим Тъ (А- х, у) в виде
«п-1 Г» «п-Ьи
Тъ (А- х, у)= е (I (т, Ь)), I (и, Ь) = Аип — (иАхп-1 — {иАхп-1})и —
Пользуясь монотонностью I'-(и, Ь), условием т ^ 2и (и — 1) хп-2у и неравенством
п- 1
Ж = ^(-1)кСк-1хп-1-кук & gt- 0, и ^ 3, 3х ^ (и — 3) у,
к=2
имеем
Ь
/'-(и, Ь) '-(Х, Ь) = {ихп-1} - - & lt- 1,
Ь
/'-(и, Ь) '-(х — у, Ь) = -п (п — 1) Ххп-2у + иХШ + {иХхп-1} - д ^
, 2 Ь ^ п (п — 1) хп-2у Ь 1
^ - п (п — 1) Хх у — -------- - ^ -1 + -.
д дт д 2д
Поэтому, применяя к сумме Ть (Х- х, у) формулу суммирования Пуассона ([15], лемма 6) при, а = -1, [3 = 1, е = 0, 5, получим
ТЪ (Х- х, у) = I (-1,Ь) + I (0,Ь) + I (1,Ь) + 0(1), (4)
х
I (к, Ь) = в (/н (и, Ь))ё. и, /н (и, Ь) = /(и, Ь) — Ни.
х- у
Функция /Н (и, Ь) = пХ (ип-1 — хп-1) + {пХхп-1} - Ь — к на отрезке и е [х — у, х] является неубывающей функцией, поэтому
/Н (х — у, Ь) ^ /н (и, Ь) ^ /н (х, Ь),
которое представим в виде
ЬЬ {пХхп-1} - - - к — п & lt- /Н (и, Ь) ^ {пХхп-1} - - - к, (5)
П = п (п — 1) Ххп-2у — пХШ ^ п (п — 1) Ххп-2у ^ п (п — ^ '-у ^ -.
дт 2д
Далее подставляя (4) в (2) и (3), найдем
Т (а-х, у) = Т-1 + То + Т + О (1 & gt- & gt-ь (а, д)| |, (6)
(~а Е 1& amp-(а, д)|)
ь=о)
Е 1Бь (а, д)^ ,
Я (а-х, у) = Я-1 + По + Я1 + 0[ 1& gt- ]№ь (а, д)1), (7)
1 я-1 1 д-1
Тн = - У^ I (к, Ь) Бь (а, д), Кн = - I (к, Ь) Бь (а, д). 4 ь=о 4 ь=1
Пользуясь оценкой (1), оценим остаточный член:
^ 1Бь (а, д)1» д-2+^(Ь, д) = д-2+^ 5? 1 ^
д ь=1 ь=1 6а 1& lt-Ь^д-1
^ д-1 5 ^ 1 ^ д-2 5 • ^ ^ д2+?т (д).
6д 1& lt-Ь^д-1 ?д
1 Ь = 0(тоа 6)
Оценим каждую сумму Ть и И^ отдельно.
Оценка Т1 и Я1. Полагая к = 1 в (5), имеем
Ь Ъ
I'- (и, Ь) ^ {иАхп-1} - ц — 1 ^ - ц& lt- 0.
Оценивая интеграл по величине первой производной, имеем
I (1,b) =
Г'-Х
/ e (fi (u, b))du
'- x-y
q
«b'-
Отсюда и из (1), имеем
В, = i? I{1,b)St (a, q) »? «qI +? {br «q2
q Ъ=1 Ъ=1 Ъ=1
В случае b = 0, воспользовавшись неравенством
ff1 (u, q) ^ n (n — 1) … (n — k + 1)(x — y) n-k & gt- xn-k, k = 2, 3,…, n, оценивая интеграл I (1, 0) по величине k — ой производной ([12], стр. 15), найдем
I (1, 0) & lt- min (y, X-?x1-.
V)
Воспользовавшись также оценкой S (a, q) ^ q1-n ([12], с. 61) с учетом оценки В1 получим
I (1,0)\S (a, q). t -1 _ i 1-n -i
q
Оценка T-1 и В-1. Полагая h = -1 в (5), имеем
Ti ^ Bi + J (1, 0)\S (a, q) «q 1+ min (yq-П, X-? x^ П q-П).
q 2^k^n V)
I'--1 (и, Ь) & gt- {иАхп-1} + ц-Ь — п & gt-.
цц
Интеграл I (-1,Ь), также оценим по величине перовой производной. Имеем
ц
I (-1,b)
/ e (f-i (u, b))du
'- x-y
& lt-
q- b
Поступая аналогично как в случае оценки В1, получим
В = - I (-1,b)Sb (a, q) q- Sb (a, q) q 1 +?qr1 (b, q) qi +2?
В-1 =q ^ v & lt- q ^ ~ & lt- q ¦
Ъ=1 4 Ъ=1 4 Ъ=1
T1 ^ В-1 + I (-1, 0) WS (a, q) «q 2 +2? + ^^ «q 2 +2?.
Оценка Я0. Если {пХхп ^ ^, то полагая к = 0 в (5), имеем
/от. ,) & lt- {пххт-1}- д & lt- ^" — 2д& lt-
Также оценивая интеграл I (0, Ь) по величине первой производной, найдем
iI (0,Ь)1
е (/о (и, Ь))йи
х- у
д
«к
Поступая аналогично как случае оценки Я1, получим
Я = Е 1: (0,Ь)8ь (а, д) «Е 1Бь (а, д)1 «д| +^ (Ъ2я) «д 1 +2, ь=1 д ь=1 Ь ь=1 Ь
Отсюда, из оценок Я1 и Я-1 с учетом (7), получим первое утверждение теоремы 1.
Оценка Т0. При {пХхп-1} ^ определим натуральное число г соотношением
г г + 1
— ^ {пХхп-1} & lt- --, 1 ^ г ^ 2д — 1. 2д 1 2д '- 4
Отсюда, из неравенства (5) при к = 0 и условия п ^ 1, найдем
Ь г — 2Ь — 1 /0(и, Ь) & gt- {пХхп-1} - - - п & gt- -, (8)
д 2д
Ь г_2Ь + 1
/0(и, Ь) ^ {пХхп-1} - - & lt--. (9)
д 2д
Пусть г = 2г1 — четное (1 ^ г1 ^ д — 1). Отрезок суммирования 0 ^ Ь ^ д — 1 в сумме Т0 разобьем на следующие три множества:
0 ^ Ь ^ г1 — 1, Ь = г1, г1 + 1 ^ Ь ^ д — 1,
в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть
2г1 — 2Ь — 1 г1 — Ь
/0(и, Ь) & gt-^^2д-д-^, 0 ^ Ь ^ г1 — 1,
д-l — 2b + l п — Ь 1
/о (и, Ь) & lt--«-^^-, г1 + 1 ^ Ь & lt- д — 1.
2д 2д
Воспользовавшись этими неравенствами, оценим интеграл I (0, Ь) по величине первой производной. Тогда
I (0,Ь)= Г е (/о (и, Ь))ё, и «г^, Ь = П-
V х — у 1г1 — Ь1
х
В случае b = r1, оценивая аналогично как в случае оценки интеграла I (1, 0), найдем
I (0,r1)& lt- min (y,-?x1 -n).
Воспользовавшись этими оценками и оценкой S (a, q) ^ q1-n ([12], с. 61), получим
(q_ 1
— I (0,b)Sъ (a, q) -1
To = У -& lt- q n
q
Ъ=0 4
q-1
q
У^ т-тт + min (y, X ix k)
^ r-i — b V J
. b=0, 1. b=n J
& lt-
1-• (-1 Л-1 1-П
ц п 1п ц + шт уц п, А к х к ц п.
Пусть теперь г = 2г1 + 1 — нечетное (0 ^ г1 ^ ц — 1). Отрезок суммирования 0 ^ Ь ^ ц — 1 в сумме Я0 разобьем на следующие три множества:
0 ^ Ь ^ г1 — 1, Ь = г1, г1 + 1, г1 + 2 ^ Ь ^ ц — 1,
в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть
1 (и, Ь) & gt--~-=-, 0 ^ Ь & lt- Г1 — 11,
2ц ц
,, 2г1 + 1 — 2Ь +1 г1 — Ь
10 (и, Ь) & lt-----^, Г1 + 2 ^ Ь ^ ц — 1.
2ц 2ц
Следовательно
I (0,Ь)= [ е (Ми, Ь)^и «& lt-г^, Ь = Г1 — 1, Г1.
х-у 1г1 — Ь1
В случае Ь = г1 — 1, г1, поступая аналогично как в предыдущем случае при оценке I (0,г1), найдем
I (0, b) & lt- min (y, 1×1 ?), b = r1, r1 + 1.
2^k^n V)
Из этих оценок для I (0,b), получим
(q-1
r1 — b
1q 1
q Ъ=0
To ^ I (0,b)\Sъ (a, q)^ q- 1? + min (y,-?x1-?)
q z-/ z-/ гл — b 2& lt-k<-n V /
b=0, У b=ri, ri + 1
& lt-
1−1i • i -l Л-1 1-n _l
q n In q + min [yq n, л? x? q n.
2^k^n V /
Подставляя оценки для Т1, Т-1 и Т0 в (6), получим второе утверждение теоремы 1.
Замечание. Случай, А & lt- 0, сводится к случаю, А ^ 0, если формулу (2) приведем к виду
1 я-1 1 Я-1
Т (а- х, у) = - Е Тя-ь (-А-x, у) Зд-ьЫ — а, д) = - Е Ть (-А-х у)3ь (д — а, д).
д ь=0 д ь=0
4. Доказательство теоремы 2
Не ограничивая общности, будем считать, что Н = Nзво +?. Пусть д = 0, 5Н& amp--1, т = 80{^ + Н)3Н, жт = 1. Имеем
/1-Я
(Т (а- N1 + Н, 2Н) + в)33 e (-аN)йа,
¦эз
где в равен 1, если N1 — Н — целое число, и 0 в противном случае. Пользуясь соотношением
(Т (а- N1 + Н, 2Н) + в)33 — Т33(а- N1 + Н, 2Н) & lt- Т (а- N1 + Н, 2Н)32 + 1,
и леммой 1, находим
/1-Я Н32 Н 32
Т (а- N1 + Н, 2Н)32с1а & lt- Н27+ = • N-340-И& amp- & lt-<-
Поэтому
/1-Я / Н 32
Т33(а- N1 + Н, 2Н) да + ,
Согласно теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами, каждое, а из промежутка [-ж, 1 — ж] представимо в виде
а 1
а = - + А, (а, д) = 1, 1 ^ д ^ т, А. (10)
д дт
Легко видеть, что в этом представлении 0 ^ а ^ д — 1, причем, а = 0 лишь при д = 1. Через Ш обозначим те а, для которых д ^ д в представлении (10). Через т обозначим оставшиеся а. Множество Ш состоит из непересекающихся отрезков. Разобьем множество Ш на множества Ш1 и Ш2:
^ И, 5 1
|а: а € Ш, а — - ^ 5|
Ш1 = | а: а € Ш
Ш2 = & lt- а: а € Ш, 5 & lt-
а
а--
д
1
^ - дт
.
Юд^ + Н)
4 —
Обозначим через 1 (М1), 1 (М2) и 1 (т) соответственно интегралы по множествам М1, Ш2 и т. Имеем
/ н 32
1N, Н) = 1М) + 1М) + 1 (т) + О. (11)
В последней формуле первый член, то есть 1 (М1), доставляет главный член асимптотической формулы для 1N, Н), а 1 (М2) и 1 (т) входят в его остаточный член.
Вычисление интеграла 1 (М1). По определению интеграла 1 (М1), имеем: 1М) = Е Е / Т33(а + А- N1 + Н, 2Н) е (- (^ + а) ^ ?А. (12)
Для суммы Т + А- N + Н, 2Н), а = а + А Е М1 при х = N + Н, у = 2Н, и = 5 выполняются условия следствия 1, поэтому
2НБ (а, ц)
Т^ц + + Н, 2Н) —
-)
-7(А- N1 + Н, 2Н) «ц2+е.
Отсюда и из соотношения а33 — Ь33 ^ 331а — Ь|(|а|32 + |Ь|32) следует, что
Т33 (- + А, N1 + Н, 2Н
(
ц
к «ц 2+е

)
(2Н)33Б 33(а, ц)
ц
33
Ч33(А- N1 + Н, 2Н) + К,
13)
14)
— + А, N1 + Н, 2Н ц
)
32
+
2НБ (а, ц)
ц
1 (А- N1 + Н, 2Н)
32
Подставляя эту оценку для К в (14), а затем (14) в (12), найдем 1М) = (2Н)33& amp-^, С) А N) + К1 + К2,
SiN. cn = Е?е (-
15)
д^Я (а=° 1
ц
33
ц
А N)= у (А- N1 + Н, 2Н) е (-АN) ?А,
К1» О½+ ЕЕ I т (
а = 0 ^ V
д^Я а=0
д-1
— + А- N1 + Н, 2Н ц
)
32
?А,
К2 «Н32 Е в^, ц) Е
|Б ^^^
32

а = 0
(a, q) = 1
ц
31,5-е
B (N, ц)= j ^ (А- N1 + Н, 2Н^ ?А.
ц
Оценим Я1. Имея в виду, что выполняется неравенство 5 & lt- 1/дт, д ^ д и то, что Ш1 состоит из непересекающихся отрезков, пользуясь леммой 1, находим
1-Я
1 +? «о^. Н
Я1 & lt- д2+? Т (а- N1 + Н, 2Н)32 ?а & lt- (0, 5Н& amp--1) Н27+? & lt-
32

Оценим Я2. Для этого оценивая интеграл 7(А- N1 + Н, 2Н), А ^ 5 по величине первой производной, имеем
1
7(АN1 + Н, 2Н) & lt- ш1п (1,5оА-1), 5о
10Н N — н)4'-
Подставляя эту оценку в выражение для, д) и имея в виду, что 50 & lt- 5, находим
5]? { 1 1. 32 г 1 31
Отсюда, и воспользовавшись оценкой $(а, д) & lt- д1-п ([12], с. 61), найдем
¦та & lt- 5о + ^ - & lt- 315о & lt- нщ-
31 31 32
«Н V- 39, Н 29 I Н..
Я2 д-10+ • д-Ю +? & lt- «__(16)
N14 ^ N14
Вычислим теперь интеграл, а N). Разбивая отрезок интегрирования в интеграле, а N) на две части, имеем
А N) = а^) +),
где через) и ^^) обозначены интегралы по отрезкам, А ^ 51 и 51 & lt- А ^ 5 соответственно. Оценим сверху интеграл а2 N). Для этого оценивая интеграл 7(А- N1 + Н, 2Н), 51 & lt- А ^ 5 по величине первой производной, найдем
7(Л- ^ + Н, 2Н) & lt- щам^-н?) & lt- щНщ¦
Подставляя эту оценку в выражение для a2(N), имеем
6
(НЩ)33/& quot- 32^^)335р & quot-"- НЩ& amp-32 ^ Н^Ы~4
1 33 1 1
А2(Ю & lt- Гтт ли, 33 А-3^А ^33*32 & lt-, ат4 С/332. & lt-
?1
Теперь найдем асимптотическое поведение А^^^). Воспользовавшись стандартным методом, легко показать, что
5334 ([8п33 * ,
} = (/ -ж-*+0 & amp--*)
Воспользовавшись формулой (см. [16] стр. 174)
япп тг
?г =2Щ^Г)тЕ-^ ск (и — 2к) п-1.
?0 гп 2п (и — 1)! =
при т = 1 и и = 33, найдем
) = 5-Ш4Н Е (-[)к°^3(33 — 2к)32 + О (& amp--32^ =
5п ^М~4Н 233 (2! ^
(Н& amp-32)
в + о'- 1
233 Ут Н Н& amp-32
-?33
5)-32!
5/334 16
В = С3(33 — 2к)32.
к=0
Отсюда и из оценки А2^), находим, А N):
А N) =-+ о (-V (17)
233 Утн)
Вычислим теперь двойную сумму О). Для этого сумму по ц заменим близким к ней бесконечным рядом, не зависящим от С. Воспользовавшись оценкой |Б (а, ц)| «ц1-п ([12], с. 61), имеем
,, д-1 Б33(а, ц) (V- зз 28 ^ 23
Е Е е — ^ «Е Е ц-Тт «С-т «Н.
д& gt-Я, а=0т 4 7 д& gt-Я /а=^ д& gt-Я
(a, q)=1 (a, q)=1
Поэтому
те д-1
^ / д=1 а = 0 ^ Ч. /
(a, q) = 1
Заметим, что сумма особого ряда) превосходит некоторое число c (N) и сN) & gt- 0 (см. [17], теоремы 4. 6).
Подставляя найденные оценки для К1, К2, значения, А N), «(N, 0) в соотношение (15), найдем
(М) = веN) н32 (н32
Оценка интеграла 1 (М2). Имеем
1-ж
1М) ^ шах Т (а- N1 + Н, 2Н^ I Т (а- N1 + Н, 2Н^ ?а. (18) аеЖ2 I
Оценим Т (а- N + Н, 2Н) для, а из множества Ш2. Если, а € Ш2, то
а1 а ^ + А, (а, д) = 1, 5& lt- А, 1 ^ д ^ 0, 5НЬ-1. д дт
Согласно следствию 2 теоремы 1, при п = 5 имеем
Т (а1 + Н, 2Н) & lt- д5 1п д + шт (^Нд-1, N1 д 10) & lt- (Н& amp-)4&- + N10 (Н& amp-) 10
Н5-? (, Т 47 29 ?+?2, 14 89 1531 ?,?9 13) Н5-?
= - N- 1700 — 34 ?+? & amp- X + N-3400-40 ?+? & amp- 10) —
)Ж4 & amp-
Подставляя эту оценку в (18), а затем пользуясь леммой 1, находим
1-я
И5-е Г ^ H32
J (M) & lt- H_ T (a- N1 + H, 2H)|32 da & lt-
vn4- j '- vn4-'-

Оценка интеграла J (m). Имеем
1-я
J (m) ^ max T (a- N1 + H, 2H) f T (a- N1 + H, 2H)32 da. (19)
a€m J

Оценим T (a- N1 + H, 2H) для a из множества m. Если a? m, то
a 1
a = - + A, (a, q) = 1, 0, 5H--1 ^ q ^ т = 80N + H)3H, A. q qT
Согласно лемме 2, имеем
/ - 1 N 3 16 15 3 3
T (a- N1 + H, 2H) & lt- H1+4 — + - + -N- & lt- Hт» +?- + N80 H4 +? =
у H H H J
Я 5-? ,) U5 — ?
/ T 3 1663?, 2?2rл2 1311 ?+2?2 H
I N- Б440 — T6 °F ?+2? -2 + N-40 ?+2? — I ^
Подставляя эту оценку в (19), а затем пользуясь леммой 1, находим
1 я
H5-? Г 32 H32
J (m) & lt- Б._ T (a- N1 + H, 2H)32 da & lt-

5. Заключение
Работа посвящена изучению поведения коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в множестве точек первого класса и выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы тридцати трёх пятых степеней почти равных натуральных чисел.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Vaughan R. C. Some remarks in Weyl sums // Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 34. Topics in classical number theory, Budapest, 1981, North Holland (1984), pp. 1585 — 1602.
2. Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир. 1964. 190 с.
3. Vaughan R. C. On Waring'-s problem for cubes // J. Reine Angew. Math. 365(1986). pp. 122 — 170.
4. Рахмонов З. Х., Шокамолова Дж. А. Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия А Н РТ. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2009. № 2(135). С. 7- 18.
5. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Об оценках коротких кубических сумм Г. Вейля // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2008. Т. 51. № 1. C. 5 — 15.
6. Рахмонов З. Х., Азамов А. З., Мирзоабдугафуров К. И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля четвертой степени // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2010.Т. 53. № 10. С. 737 — 744.
7. Rakhmonov Z. Kh. The Estermann cubic problem with almost equal summand // Mathematical Notes. 2014. Vol. 95. Issue 3 — 4. 407 — 417.
8. Рахмонов З. Х., Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2008. Т. 51, № 2. С. 83 — 86.
9. Рахмонов З. Х., Азамов А. З. Асимптотическая формула в проблеме Ва-ринга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2011, т. 54, № 3. С. 34 — 42.
10. Рахмонов З. Х., Озодбекова Н. Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2011, т. 54, № 4. С. 257 — 264.
11. Рахмонов З. Х. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля // Ученые записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 2013, № 6, часть 2. С. 194 — 203.
12. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука. 1987. 368 с.
13. Назрублоев Н. Н. О среднем значение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля пятой степени // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 7. С. 531 — 537.
14. Назрублоев Н. Н. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля пятой степени в множестве точек второго класса // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 9. С. -
15. Карацуба А. А., Королёв М. А. Теорема о приближении тригонометрической суммы более короткой // Известия РАН. Cерия математическая. 2007. Т. 71. № 2. С. 123 — 150.
16. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. М:. Физматгиз. 1963. Изд. 2-е. 342 с.
17. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. М.: Мир. 1985. 184 с.
REFERENCES
1. Vaughan, R. C. 1981, & quot-Some remarks in Weyl sums& quot-, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai 34. Topics in classical number theory, Budapest, 1981, North Holland (1984), pp. 1585 — 1602.
2. Hua Loo-Keng 1964. & quot-Method of Trigonometric Sums and Its Applications in Number Theory& quot-, Nauka, Moscow, 190 p. (Russian translation) — 1959. & quot-Die Abschдtzung von Exponentialsummen und Ihre Anwendungen in der Zahlentheorie& quot-, Teubner, Leipzig.
3. Vaughan, R. C. 1986, & quot-On Waring'-s problem for cubes& quot-, J. fiir die reine und angewandte Math., vol. 365, pp. 122 — 170.
4. Rakhmonov, Z. Kh. & amp- Shokamolova, J. A. 2009, & quot-Short quadratic Weil'-s exponential sums& quot-, Izvestiya Akademii nauk Respubliki Tajikistan. Otdelenie fiziko-m, atem, aticheskikh, himicheskikh, geologicheskikh i tekhnicheskikh nauk, no. 2(135), pp. 7- 18.
5. Rakhmonov, Z. Kh. & amp- Mirzoabdugafurov, K. I. 2008, & quot-About the estimations of short cube Weyl sums& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no. 1, pp. 5 — 15.
6. Rakhmonov, Z. Kh., Azamov, A. Z. & amp- Mirzoabdugafurov, K. I. 2010, & quot-An estimate short exponential Weyl'-s sums fourth degree& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 53, no. 10, pp. 737 — 744.
7. Rakhmonov, Z. Kh. 2014, & quot-The Estermann cubic problem with almost equal summand& quot-, Mathematical Notes, vol. 95, Issue 3−4, pp. 407 — 417. doi. org /10. 1134/S0001434614030122.
8. Rakhmonov, Z. Kh. & amp- Mirzoabdugafurov, K. I. 2008, & quot-Waring'-s problem for cubes with almost equal summands& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 51, no. 2, pp. 83 — 86.
9. Rakhmonov, Z. Kh. & amp- Azamov, A. Z. 2011, & quot-An asymptotic formula in Waring'-s problem for fourth powers with almost equal summands& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no. 3, pp. 34 — 42.
10. Rakhmonov, Z. Kh. & amp- Ozodbekova, N. B. 2011, & quot-An estimate short exponential Weyl'-s sums& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 54, no. 4, pp. 257 — 264.
11. Rakhmonov, Z. Kh. 2013, & quot-Short Weyl exponential sums& quot-, Uchenye zapiski Orlovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya estestvennie, tekhicheskie, meditsinskie nauki. no. 6, part 2, pp. 194 — 203.
12. Arkhipov, G. I., Chubarikov, V. N. & amp- Karatsuba, A. A. 2004, & quot-Trigonometric sums in number theory and analysis& quot-, Berlin-New-York: Walter de Gruyter, 554 p.
13. Nazrubloev, N. N. 2014, & quot-Mean value of the short Weyl fifth degree exponential sums& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no. 7, pp. 531 -537.
14. Nazrubloev, N. N. 2014, & quot-Estimate of short Weyl sums of fifth degree on minor arcs& quot-, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 57, no. 9, pp. 710 — 716.
15. Karatsuba, A. A. & amp- Korolev, M. A. 2007, & quot-A theorem on the approximation of a trigonometric sum by a shorter one& quot-, Izvestiya: Mathematics, 71(2), pp. 341 -370, doi. org/10. 1070/IM2007v071n02ABEH002359
16. Whittaker, E. F. & amp- Watson, G. N. 1927, & quot-A course of modern analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions- with an account of the principal transcendental functions … "- Cambridge University Press.
17. Vaughan, R. C. 1981, The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge.
Институт математики Академии наук Республики Таджикистан.
Получено 16. 02. 2015

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой