Методы закреплении изучения темы прогрессии через исследование решений геометрических (планиметрических) задач

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Народное образование. Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Section 5. Pedagogy
References:
1. Makhutova G. M. Problem situations in teaching foreign language communication to students: PhD Thesis, — M., 2013.
2. Mikitchenko S. P. Organization of problem oriented tasks in the process of foreign language teaching (on the speaking material): PhD thesis, — M., 2004.
3. Kovalevskaya Ye. V. Problem-oriented education: approach, method, type, system, — Moscow: MNPI, 2000.
4. Kovalevskaya Ye. V. Genesis and modern state of problem-oriented education (general pedagogical analysis applied to the foreign languages teaching methodology): Abstract of the Doctor of Pedagogical Sciences thesis, — Moscow, 2000.
5. Kudryavtsev T. V. Psychology of technical thinking (process and methods of solving technical problems), — Moscow: Proscveschenie, 1972.
Nersisyan Babken Babken, Associate Professor, Ph Degree of Pedagog, Honoured Teacher, ArSPU (Yerevan) E-mail: nerbab61@mail. ru Tsaturyan Gayane Hamlet, Ph Degree of Pedagog, ArSPU (Yerevan) E-mail: gayane1234@rambler. ru
Enhancing learning progression through solving geometry problems
Abstract: The article discusses the consolidation of the main concepts and facts in regard with progression. Geometry problems are discussed, which may serve a basis for such consolidation.
Keywords: Arithmetical progression, geometrical progression, median oftriangle, surface inscribed circumference.
Нерсисян Бабкен Бабкенович, Кандидат педагогических наук, доцент, заслуженный педагог РА, АГПУ (Ереван) E-mail: nerbab61@mail. ru Цатурян Гаяне Гамлетовна, Кандидат педагогических наук, АГПУ (Ереван) E-mail: gayane1234@rambler. ru
Методы закреплении изучения темы прогрессии через исследование решений геометрических (планиметрических) задач
Аннотация: В статье рассматривается вопрос о закреплении понимания основных понятий и фактов, касающийся прогрессий. Приводятся геометрические задачи, которые могут лежать в основе такого закрепления.
Ключевые слова: Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, медиан треугольника, площадь, вписанная окружность.
В современной педагогике повторение рассматривается в плане воспроизведения ранее усвоенных знаний, умений и навыков с целью их закрепления, совершенствования и применения в новых ситуациях. как форма усиления ранее приобретенных знаний-на-выков-опытов и основа их применения в ситуациях. Повторение усваиваемых понятий, способов действий как важнейших средств сохранения и усиления преемственности в обучении. При этом, под обобщением мы понимаем особый прием умственной деятельности, который предполагает умение анализировать, выделять главное, сравнивать, абстрагировать и синтезировать. Можно сделать вывод, что на результат обобщения вли-
яет не только сумма знаний, сколько умения учахщихся по новому комбинировать материал, выделяя при этом существенные признаки. В статье решаются задачи, посредством которых реализуется повторение темы «Прогресии» через геометрический материал.
• На каждом этапе урока учитель математики осуществляет различные шаги.
• Периодически осуществляет систематическое повторение.
• Направляет учащихся на закрепление раньше изученного.
• Закрепляет взаимосвязь данного изученного материала с предыдущим.
104
Enhancing learning progression through solving geometry problems
В нашей деятельности много раз мы думали как можно правильно организовать закрепления для той или иной темы, как управлять работой класса. Пришли к выводу, что необходимо глубоких математических зна-
ний, твердых педагогических убеждений, необходимы правильно выбранные задачи. Для выше указанных тем, мы выбрали геометрические задачи и получили серьезные результаты.
Задача 1. Через центр квадрата ABCD (рис. 1), со стороной а, проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке N, причем AN: NB = 1:2. На этой прямой взята произвольная точка M, лежащая внутри квадрата. Доказать, что расстояния от точки M до сторон квадрата AB, AD, BC, CD, взятых в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию.
Решение. Обозначим длину отрезка ME — расстояние от точки M до сторон AB — через x (0 & lt- x & lt- a), а длину отрезка MQ — расстояние от точки M до сторон AD — через у (0 & lt- y & lt- a), тогда расстояния отрезков MP и MF до сторон BC и CD будут равны FM = a — x, PM = a — y. Так как AN: NB = 1: 2, то легко сообразить, что:
AN = зa, EN = y — 3a. Прямая NK, о кторой идет речь в условии задачи, проходит через центр O квадрата, являю-
щейся его центром симметрии. Поэтому CK = AN = - а, а
1 2 3
тогда, очевидно, что KF = a — у — 3 a = 3 a — y.
Заметим, что треугольники EMN и FMK подобны,
одкуда и следует, что у = 3 (a + x).
Имеем:
ME = x, MQ = 1 (a + x), MP = 1 (2a — x), MF = a — x. Поскольку:
1 (a + x) — x = 1 (2a — x)-1 (a + x) = a — x -1 (2a — x),
то из определения арифметической прогрессии следует, что отрезки ME, MQ, MP, MF образуют арифметическую прогрессию.
Заметим, что если точка M принадлежит отрезку NO, то х & lt- у, что означает-прогрессия возрастающая, если точка M совпадает с точкой O (x = у), то прогрессия постоянная и, если точка М принадлежит отрезку KO, то х & gt- у, которая означает, что прогрессия убывающая.
Задача 2. Дан треугольник площади S. Из медиан данного треугольника составляется второй треугольник, затем из медиан второго-третий треугольник и т. д. Вообще, (n +1) — й треугольник составляется из медиан n — го треугольника. Найти сумму площадей всех треугольников в этой последовательности.
Решение. Прежде всего докажем, что из медиан произвольного треугольника, действительно, можно составить треугольник. Предположим, что AA р BB, и CC, отрезки медиан треугольника ABC (рис. 2). Через точку, А проведем прямую, параллельную CC р и отложим отрезок AC 2= CC j. Поскольку AC fiC 2 параллелограмм (по построению) и ABX = BC, то точки С, B, и C2лежат на одной прямой-диагонали этого параллелограмма, причем C B ,= B C2. Однако C1B1 средняя линия треугольника
ABC, а поскольку C fi2II BC, то C1B1 = 2BC = BA 1. В четырехугольнике BA C2 В стороны BA j и B1C2 параллельны и равны, т. е. четырехугольник BA 1C2B, параллелограмм. Значит BB ,= А 1С2 и треугольник AA ХС2 построен из медиан треугольника ABC.
Таким образом, из медиан любого треугольника можно составить треугольник.
Найдем площадь треугольника AA 1C2. Не трудно заметить, что AN есть медиана треугольника AA 1C2, и поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то
S
S
=1S =1S
'-. fi 2 ABC 2
3
С другой стороны, поскольку AN = 4AC, то:
N = 4 S- lC = 88 S ((: Saa n = AN: AC) и:
Построим треугольник из медиан треугольника AA C2. Площадь построенного треугольника составляет
3
4
часть площадью треугольника AA fi2.
3 9 9
Значит S2 =- c2 =- SABC =- S
4 16 16
Нетрудно сообразить, что площади треугольников, составленные таким образом, на самом деле бесконечно убы-
3
вающаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -.
s+4s+(41 S+• ••=
4
1 --
— = 4S •
4
105
Section 5. Pedagogy
Задача 3. В равносторонний треугольник со стороной, а вписан круг. Затем в этот треугольник вписаны еще три круга, касающиеся первого круга и сторон треугольника, и еще три круга, касающиеся только что вписанных кругов и сторон треугольника, и т. д. Найти сумму площадей всех вписанных кругов.
Решение. Центр O первого круга (рис. 3) делит высо- ^ 1 с
^ r r то площадь второго круга -O1, будет — частью о, то есть
ту BH в отношении BO: OH = 2:1 — считая вершин B. 1 9
S, = -S. А так как таких кругов три, то общая их пло-
3 1
щадь — Q1 = зS. Рассуждая таким образом, найдем, что общая площадь трех следующих кругов будет:
* = F * = FS «¦ * Л-
Получим бесконечный ряд слагаемых:
Q = S + Qi + Q2 + Q3 +.. = S + 3S + 33S + 35S + … Члены этого ряда, начиная с члена 3S, образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сум-
iS 3
ма которого Q'- = -р = 3 S.
2 1
Следовательно, диаметр FH = - BH, и BF = 3BH. Второй круг вписан втреугольнике DBE, высота которого втрое меньше высоты треугольника ABC. Значит, радиус
Г = O-F = - BF = - BH, то есть r1 = - r.
''39 1 3
Здесь r — радиус круга вписанного данного треугольника.
Если S есть площадь первого круга —
(
O

S = п
aS
А
Прибавим эту сумму S
Q = S + -S =11S, или Q =11 па2. 8 8 96
п a
12
Задача 4. Пусть ZAOB = 2а. В этом углу вписаны O1, O2, O3, ., On-1, On окружности так, что окружность O1 касает окружность O2, окружность O2 касает окружностей O1 и O3, окружность On1 касает окружностей Оп 2 и On и т. д. До-
казать, что радиусы кругов образуют геометрическую прогрессию (рис. 4).
В формуле (l) -- есть постоянная величина, следо-
rn-1
вательно, радиусы кругов образуют геометрическую про-
Г
грессию со знаменателем q.
r"-i
После тригонометрических преобразований, (l) принимает вид:
/ Л «2 (па'-
4 4
q-
л (па
1 + cos I-
1 + sin, а I 2 2
2cos2
1-slna
(па 1 — cos I-
I 2 2
2 (п а
2sin I-------
4 4
то есть знаменатель прогрессии q = ctg
2. п а
-ctg^K-7
п, а 4 4
Рис. 4.
Решение. Очевидно, что центры окружностей и точки касаний находятся на биссектрисе OOn угла AOB. Радиусы окружностей обозначим соотвестственно: гр r2, r3,…, rn-l, rn…. Из рис. 4 имеем:
ZO2O1K1 = ZO3O2K2 = … = ZOnOn-lKn = а,
Из треугольника O2OlKl, O3O2K2 ,…, OnOn_lKn имеем
r — r, r — r
r + Г r, + r
r + r
или:
-1
sma ¦
(l)
+1
sma
n
-1
106
System of exercises in formation of foreign students' cross-cultural competency
Задача 5. Через центр правильного треугольника ABC со стороной, а проведена параллельная KP к стороне AC, так, что K е AB, P е BC. M — внутренняя точка KP. Доказать, что расстояние от точки M до сторон треугольника об-
разует арифметическую прогрессию (рис. 5).
Решение. От точки M проведем перпендикуляры ME = h2, MF = h, MN = h3 соответственно сторонам
AB, AC, BC и соеденим M к вершинам треугольника.
Тогда SABC — SAMB + SBMC + SAMC ИЛи:
1 aH = 1 ah2 +1 ah3 +1 ah, (Q = H) или h. ,+ h 2+ h 3- H.
Поскольку h -= - H, то получаем 2h ,= h2 + h3, которая означает, что hp h2 и h 3 образуют арифметическую прогрессию.
Список литературы:
1. Антонов Н. П., Выгодский М. Я., Никитин В. В., Санкин А. И. Сборник задач по элементарной математике. Гос. Изд-во физико-математической литературы, — Москва, 1962.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцеви С. Б. Геометрия 7−9 класс, 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009.
3. Лидский В. Б., Овсянников Л. В., Тулайков А. Н., Шабунин М. И. Задачи по элементарной математике. — М.: Изд-во «Наука», 1969.
4. Никольский С. М. и др. Алгебра: учебник 9-го класса. Издание: 3-е изд. — М.: Просвещение, 2006.
Palchickova Alexandra Alexandrovna, Kryvyi Rih National University, postgraduate student, the Faculty of Ukrainian Philology
E-mail: jenny. bond@mail. ru
System of exercises in formation of foreign students' cross-cultural competency
Abstract: System of exercises in formation of foreign students' cross-cultural competency is examined in the article. Types of exercises presented in the article are selected according to developed criteria.
Keywords: system of exercises, criteria, cross-cultural competency.
Today the organization of teacher-student or student-student activity can be implemented by means of exercise. One of its functions resides in forming of readiness of a practical use of acquired knowledge, abilities and skills. In accordance with this the determination of classification of exercises is an important task for modern linguodidactics and a condition of cross-cultural competency forming in the process of foreign students' learning.
Nowadays the role of exercises and choice of their optimized system for acquisition of material is the point at issue. The importance of selection of exercises was pointed out in the works of E. Azimov, Y. Vereshchagin, I. Zimnya, V. Kostomarov, O. Mitrofanova, Y. Passov and others.
Y. Azimov and A. Shchukin mark that exercises is a basis of any activity. In a «Dictionary of methodical terms» scientists consider exercise as a basic unit of methodical material organization, which acts in the process of learning, provides subject actions with this material and mental activity forming. Thuswise we support the position of the researchers, according to which exercises are considered as purposeful interrelated actions, which are carried out in the sequence of increase of language and operating difficulties, depending on the order of language abilities and skills formation [1].
Accordingly we’ll establish the criteria of exercise selection and give their classification in the process of foreign students' cross-cultural competency forming.
In compliance with A. Leontyev’s activity theory, psycholinguistic researches of T. Ryabov-Akhutin there was developed a scheme of the stepwise formation of mental actions, speaking abilities and skills, according to which one distinguishes different classifications of exercises, within which there is a division into two groups: 1) pre-speech, training, preparatory- 2) speech, creative, communicative.
The main purpose of the first group is the organization of a speech unit or a single language operation learning (formation of grammatical forms, division ofutterances into semantic segments and other). The second group includes the exercises focused on mastering one offour types of activities, developing of the ability to participate in communication in the language studied.
From viewpoint of Y. Passov exercise arrangement should consider the following points: 1) automation of the material (structure, vocabulary) — 2) assimilation of grammatical, lexical or pronunciation side of speech activity-
3) total language learning [6]. Consequently, taking the criterion of communicativeness as a basis, the linguist distinguishes the following types of exercises: conditional and speech — which form speech skills and speech ones — fo-
107

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой