P-граничні числа квадратичних форм при стабільних лінійнійних перетвореннях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Фізико-математичні науки
УДК 512. 64
Дельфас Юлія Миколаївна
канд. фіз. -мат. наук доцент кафедри фундаментальних наук Державний університет телекомунікацій, Дельфас Юлия Николаевна канд. физ. -мат наук доцент кафедры фундаментальных наук Г осударственный университет телекоммуникаций
Delfas Julia N. cand. Physical and Mathematical Sciences State University of Telecommunications P -ГРАНИЧНІ ЧИСЛА КВАДРАТИЧНИХ ФОРМ ПРИ СТАБІЛЬНИХ ЛІНІЙНІЙНИХ ПЕРЕТВОРЕННЯХ P -ГРАНИЧНЫЕ ЧИСЛА КВАДРАТИЧЕСКИХ ФОРМ ПРИ СТАБИЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ P-NUMBERS OF QUADRATIC FORMS AT A STABLE LINEAR
TRANSFORMATIONS
Анотація: Досліжено поведінку P-граничних чисел квадратичних форм при s-стабільному лінійному перетворенні.
Ключові слова: квадратичні форми, локальна деформація, P -граничне число, стабільне перетворення.
Анотация: Исследовано поведение P-граничных чисел
квадратических форм при s -стабильном линейном преобразовании.
Ключевые слова: квадратическая форма, локальная деформация, P -граничное число, стабильное преобразование.
Summary: The behavior of the P-numbers of quadratic forms with s-stably linear transformation.
Key words: quadratic forms, local deformation, P-numbers, stable transformation.
Квадратичні форми виникають при розгляді багатьох задач в різних галузях математики. Під квадратичною формою будемо розуміти довільну квадратичну форму над полем дійсних чисел R:
n
f (--)=я--,… >-)=? м2 +E fijzizj.
i=1 i & lt- j
Множину всіх таких квадратичних форм позначимо через, а множину всіх f (z) з одиничними коефіцієнтами f1,…, fn — через0.
Нагадаємо деякі означення.
Нехай f (z) є^0 і s є {1,…, n}- s -деформацією форми f (z) називається форма
f (*) (z, a) = f (*) (zl,…, -n, a) = azs2+? zi +? fjziz,
_ Лs)
i Ф s
i & lt- І
де a-параметр [1, с. 893].
Позначимо через F (s) множину всіх b є R, таких що форма f (s) (z, b) є додатною, і покладемо F (s) = R F’js). Іншими словами, b є F (s)
тоді і лише тоді, коли існує ненульовий вектор r = (r1,…, rn) є Rn такий, що
f (s)(rl,…, rn, b) ^ °.
Далі, покладемо mf) = sup F (5) є R (оскільки із x є F (s)
випливає, що у є F (s) для будь-якого у & lt- x, то цей супремум є граничною точкою). Число mf) називається s -им P-граничним числом форми f (z)
[1, с. 894- 2, 475].
Нехай — квадратична форма від п змінних над полем дійсних чисел з симетричною матрицею F = -
Якщо в квадратичній формі виконується невироджене лінійне
перетворення
= a lJ'-i 4- а 2+ ¦¦ ¦ + & amp-пУ
ті-
= а іїУі ± а 2-У 7 + ¦¦¦ + ОпзУп-
+ азпУ: + & quot- ¦ T ДптО'-ті'- або в матричному вигляді
тобто z — У, А, то отримаємо квадратичну форму /О) = /О'-і, -Уп) = {yA)F (Ягуг) = у (AFAT)yT.
Для s е {1,2, … тії лінійне перетворення ^ = назвемо ?-стабільним, якщо? -ий стовпець матриці ^ співпадає з s -им стовпцем
одиничної матриці Е розмірності п х 71 (це означає, що zs = Vs у вказаній заміні змінних). Матрицю, з вказаною властивістю, будемо називати також
s -стабільною.
Теорема. Нехай додатно означена. Якщо перетворення z = УГА s -стабільно, то s -те Р-граничне число квадратичної форми 7(У) співпадає з 5 -им Р-граничним числом квадратичної форми
Доведення. Випадок п — 1 очевидний, а при
п & gt- 1
можна вважати,
що s — 1 (інакше перенумеруємо змінні квадратичної форми). Якщо ^ -квадратна матриця, то матрицю, яку отримуємо з неї викреслюванням першого рядка та першого стовпця будемо позначати через N Блоки матриці, явний вигляд яких нас не цікавить, будемо позначати символом
*. Тоді для матриці ^ = ^(7) маємо:
Р = М (Г, = ^ = С j) C р) С ЛРЛГ)
і значить, з одного боку, FX. p =F= AFAT=AVF = AW (fi а, з іншого боку,®"і)= 11= IAFАт = L4I-IFI = ІЛІ-IK/u), звідки
«(Л W)
¦D (fufWu)
і твердження, яке доводиться, випливає тепер з теореми 2.7.
Зауважимо, що ця теорема справедлива і для s -стабільності, яка (за означенням) відрізняється від s -стабільності тільки знаком діагонального елемента в s -му стовпці матриці А
Література:
1. В. М. Бондаренко, В. В. Бондаренко, Ю. Н. Перегуда Локальные
деформации положительно определенных квадратичных форм //Укр. мат. журнал. 2012. № 7. -С. 892−907.
2. V. M. Bondarenko, Yu. M. Pereguda. On P-numbers of quadratic forms //
Геометрія, топологія та їх застосування: Зб. праць ін. -ту математики НАН України.- 2009. — 6,№ 2. — С. 474−477.
References:
1. V. M. Bondarenko, V. V. Bondarenko, Yu. N. Pereguda Lokalnyie deformatsii polozhitelno opredelennyih kvadratichnyih form //Ukr. mat. zhurnal. 2012. № 7. -S. 892−907.
2. M. Bondarenko, Yu. M. Pereguda. On P-numbers of quadratic forms // Heometrija, topolohija ta ich zastosuvannja: Zb. prac'- in. -tu matematyky NAN Ukrainy.- 2009. — 6, № 2. — S. 474−477.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой