Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вестник КРАУНЦ. Физ. -мат. науки. 2015. № 1(10). C. 18−24. ISSN 2079−6641
УДК 517. 925. 42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДУФФИНГА С ФРАКТАЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ
Р.И. Паровик1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684 034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683 032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: romanparovik@gmail. com
В работе рассматривается нелинейная фрактальная колебательная система Дуффинга с трением. Проведен численный анализ этой системы с помощью конечно-разностной схемы. Построены решения системы в зависимости от дробных параметров, а также фазовые портреты.
Ключевые слова: оператор Герасимова-Капуто, фазовый портрет, осциллятор Дуффинга, конечно-разностная схема
© Паровик Р. И., 2015
MSC 37C70
MATHEMATICAL MODELING OF NONLOCAL OSCILLATORY DUFFING SYSTEM WITH FRACTAL
FRICTION
R.I. Parovik1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684 034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683 031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: romanparovik@gmail. com
The paper considers a nonlinear fractal oscillatory Duffing system with friction. The numerical analysis of this system by a finite-difference scheme was carried out. Phase portraits and system solutions were constructed depending on fractional parameters.
Key words: Gerasimov-Caputo operator, phase portrait, Duffing oscillator, finite-difference scheme
© Parovik R.I., 2015
Введение
Исследование нелинейных колебательных систем имеет важное практическое значение [1]. С развитием теории моделирования фрактальных процессов появилась возможность выявить новые свойства нелинейных фрактальных колебательных систем. Такие колебательные процессы описываются дифференциальными уравнениями с производными дробных порядков [2]. Дробные порядки производных связаны с фрактальной размерностью среды, а их учет в колебательной системе, как дополнительных степеней свободы, дает предпосылки к новым хаотическим режимам, которые описывают реальные процессы и явления. Например, в работе [3] был исследован вопрос о моделировании затухающих колебаний в шине транспортного средства, в работе [4], были изучены свойства вязко-упругих свойств балок, пластин и цилиндрических оболочек.
Интерес представляет изучение нелинейной колебательной системы с трением (осциллятор Дуффинга). В работах [5, 6] рассмотрено моделирование осциллятора Дуффинга с фрактальным трением. В настоящей работе рассмотрено обобщение предложенных ранее моделей осциллятора Дуффинга, в случае, когда в исходное уравнение вводится оператор дробного дифференцирование вместо производной второго порядка по смещению. Исследованы режимы колебательной системы в результате изменения дробных параметров, построены фазовые портреты.
Постановка задачи
Найти решение x (t), где t е [0, T], удовлетворяющее уравнению
dotx (n) + ad^x (П) — x (t) + x3 (t) = 8 cos (at) (1) и начальным условиям
x (0)= xo, x (0)= yo (2)
1 t x (n)dn л, , 1 tx (n)dn.
где (n) = гё-О) 0 (T-^, d0tx (n) = г (Т-в) 0 (t-n?- операторы дро6-
ного дифференцирования в смысле Герасимова-Капуто порядка, а и в- x (t) = dx/dt и x (t) = d2x/dt2- x0, y0, 8, a, a, T — заданные параметры.
Необходимо отметить, что в работах [2, 5, 6] для описания трения использовался оператор дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля. Мы используем оператор Герасимова-Капуто, в этом случае справедливы локальные условия (2). В случае оператора Римана-Лиувилля необходимо задавать нелокальные условия [7].
Метод решения
Задачу (1), (2) решим с помощью численных методов — явной конечно-разностной схемы. Введем т — шаг дискретизации, причем tj = ]Т, j = 1,2,., N, Ыт = Т, х (]х) = х^. Тогда производные дробных порядков, входящие в уравнении (1, можно аппроксимировать следующим образом [8]
(n)
г-а
г (3 — «) 20
(k + 1)2 а — k2-a (xj_k+i — 2xj-k + xj_fe_i)
(3)
_-? j-1
d? tx (П) —? [(k + 1)1-? — k1-?
xj-k+1 — xj-k
Подставляя соотношения (3) в уравнение (1), получим следующую явную конечно-разностную схему:
x1 = Ax0 — Cx^ + K, x2 = Ax1 — Bx0 — Cx + Kcos (ют),
j-1
Xj+1 = Axj — Bxj-1 — Cx3 — B? bfe (xj-k+1 — 2xj-k + Xj-k-0 —
k=1
j-1
-M? ck (xj-k+1 — xj-k) + Kcos (юjт) (4)
k=1
2т-» т-P It т-" т-P
a = i -2т-- +: +1 т
Г (3 — а) Г (2 — ?) J / Г (3 — а) Г (2 — ?) Г
в= Я-Т-^+ -AY к = 5 /(-^ + T-?
Г (3 — а)/ Г (3 — а) Г (2 — ?) Г / Г (3 — а) Г (2 — ?)/'-
Т-а Т-? Т-? Ii Т-а Т-?
Г (3 — а) Г (2 — в) /'- г (2 — в)/ г (3 — а) Г (2 — в) /'-
Ьк = (к + 1)2-а — к2-а, Ск = (к + 1)1-в — к1-в, ] = 2,., N — 1.
х •_х • 1
Производную у (г) = х (г) = бх/бг аппроксимируем конечной разностью: у/ = --•-
т
Значения хо и уо определяются из начальных условий (2).
Результаты моделирования
Численное моделирование проводилось с учетом следующих значений параметров в решении (4): N = 4000, т = п/100, ю = 1,8 = 0. 3, а = 0. 15, х0 = 0. 2, у0 = 0.3. Фазовый портрет строился по точкам (х (г), у (г)) в зависимости от параметров, а и в.
Для исследования колебательных режимов часто используют сечение Пуанкаре. Сечение Пуанкаре — это плоскость в фазовом пространстве, выбранная таким образом, чтобы все траектории, принадлежащие аттрактору, пересекали ее под ненулевым углом.
Отметим, что замкнутые фазовые траектории образуют конечные последовательности точек в сечении Пуанкаре (одна точка соотвествует предельному циклу с периодом Т, две точки соответсвуют предельному циклу с удвоенным периодом 2 Т, непериодические режимы соотвествуют бесконечные последовательности точек в сечении Пуанкаре. В качестве сечение Пуанкаре выберем плоскость постоянной фазы внешнего воздействия югп = 2пп, что соотвествует выбору точек фазовой траектории ровно через период Т = 2п внешней силы.
На рис. 1 представлен случай, а = 2, в = 1, соотвествующий классическому осциллятора Дуффинга с трением. В этом случае эффект памяти в колебательной системе исчезает. Решение не является периодическим, а имеет хаотический характер (рис. 1а). Подтверждение хаотического режима для вынужденных колебаний фрактального осциллятора Дуффинга можно увидеть на рис. 1б, где представлено сечение
Рис. 1. Фазовый портрет и точки сечения Пуанкаре (а), построенные согласно чис-
п
ленному решению (в) с учетом параметров: N = 30 000, т = ^^, а = 1, 8 =
0. 3, а = 0. 15, х0 = -1. 3311, у0 = -0,1429, а = 2, в = 1- б — сечение Пуанкаре при N = 5 ¦ 105 с теми же значениями параметров
Пуанкаре, построенное при большом количестве точек N = 5 ¦ 105, а также функция смещения х), которая приведена на рис. 1 В. Исходя из точек сечения Пуанкаре рис. 1б, можно заключить, что классический осциллятор Дуффинга является биста-бильной колебательной системой [9], которая обладает хаотическим аттрактором, характерным для детерминированного хаоса [10].
На рис. 2 приведен фазовый портрет (рис. 2а) и функция смещения (рис. 2б), полученные с помощью численной схемы (4) в случае: а = 2, в = 0.6.
Рис. 2. Фазовый портрет и точка Пуанкаре (а), построенные согласно численно-
п
му решению (б) с учетом параметров: N = 4000, т = у^, а = 1,8 = 0. 3, а = 0. 15, Х0 = 1. 0052, у0 = 1. 3901, а = 2, в = 0. 6
Можно отметить, что решение в этом режиме имеет периодический характер, а фазовая траектория — предельный цикл. Сечение Пуанкаре состоит из одной единственной точки, что отражено на рис. 2б и эта точка совпадает с начальной точкой (хо, уо). Аналогичные результаты были представлены в работе [5]. Можно также отметить, что кубическая нелинейность в уравнении (??) приводит к увеличению частоты колебаний (рис. 2б).
На рис. 3 представлена расчетная кривая, построенная по формуле (??). Параметры расчета: количество точек N = 1000, шаг дискретизации т = 0. 16,? = 4, а = 2, в = 0. 8, (х (0), X (0)) = (-2. 623, -4. 0705).
Рис. 3. Предельный цикл с точками сечения Пуанкаре (а) и численное двупери-одическое решение (б), полученное по формуле (??) с учетом параметров: а = 2, в = 0. 8, т = 0. 16, а = 0. 15, д = 4, (х (0), X (0)) = (-2. 623, -4. 0705)
На рис. 3а и рис. 3б видно, что решение имеет придельный цикл с петлей, причем сечение Пуанкаре содержит две точки. Поэтому решение является двуперио-дическим. Наличие петли приводит к раздвоении амплитуды колебаний (рис. За). Подобные структуры получали авторы работы [5].
На рис. 4 представлена эволюция решения и фазовые портреты при различных параметров а, в и т. На рис. 4 фазовые траектории выходят на предельный цикл. На рис. 4 В наблюдается хаотичный режим. Можно сделать вывод, что появление новых параметров (дробных показателей) в эредитарном уравнении (1), расширяет свойства осциллятора Дуффинга и предваряет появления новых режимов и эффектов в нелинейной колебательных системах. Порядки дробных производных выступают в качестве управляющих параметров, которые определяют режимы фрактальной колебательной системы, что необходимо учитывать при их моделировании.
Рис. 4. Фазовый портрет и численное решение (??) с учетом параметров: (а, б) а =
1. 7, в = 1, т = П- (в, г) а = 1. 8, в = 1, П- (д, е) а = 1. 8, в = 0. 2, т = П- (ж, з) 60 40 60
а = 1. 3, в = 0. 2, т = П 60
Заключение
В работе рассмотрена модель фрактального осциллятора Дуффинга с трением. Найдены численные решение в зависимости от дробных параметров, а и в, построены фазовые траектории. Анализ решений показал, что существуют как периодические решения, так и хаотические режимы. Для более качественного анализа в дальнейшем будут построены бифуркационные диаграммы и проведен тест на установления условий возникновения периодических решений.
Библиографический список
1. Рехвиашвили С. Ш. Размерные явления в физике конденсированного состояния и нанотехнологиях. Нальчик: КБНЦ РАН, 2014. 250 с.
2. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and SpringerVerlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.
3. Kao B.G. A three-dimensional dynamic tire model for vehicle dynamic simulations // Tire Science and Technology. 2000. Vol. 28, no. 2. P. 72−95.
4. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Vol. 63, no. 1. P. 10 801.
5. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Vol. 24, no. 1. P. 13 107.
6. Sheu L.J., Chen H.K., Chen J.H., Tam L.M. Chaotic dynamics of the fractionally damped Duffing equation // Chaos, Solitons & amp- Fractals. 2007. Vol. 32, no. 4. P. 1459−1468.
7. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
8. Паровик Р. И. Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. Т. 9, № 2. С. 30−35.
9. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур. М.: Мир, 1979. 279 с.
10. В. Т. Гринченко А.А. Снарский, В. Т. Мацыпура. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: ЛКИ, 2007. 264 с.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 13. 04. 2015

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой