Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

вой схемы, которое осуществляется соответствующими межсоединениями входных и выходных выводов рангеров, воспроизводится широкий набор логических функций инвариантной обработки аналоговых сигналов. Для реализации операций перепрограммирования могут быть использованы коммутирующие матрицы с кодовым управлением от микроконтроллера. В постоянное запоминающее устройство микроконтроллера закладывается библиотека межсоединений (схем) в виде соответствующих кодов. При таком подходе инвариантные классификаторы являются гибридными персональными вычислительными системами. Таким образом, в элементном базисе рангеров возможно построение широкой номенклатуры инвариантных классификаторов без промежуточных преобразований аналоговых сигналов в цифровой код. В связи с этим появляется необходимость промышленного
выпуска рангеров в виде гибридных интегральных микросхем общего применения и дальнейшего развития рангерной микросхемотехники.
Литература: 1. Плотников В. Н. Речевой диалог в системах управления. М.: Машиностроение, 1988. 224 с. 2. Васильев В. И. Распознающие системы. К.: Наук. думка, 1983. 424 с. 3. Полонский А. Д. О рангере (Сообщение) // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 3 (08). С. 60.
Поступила в редколлегию 08. 06. 2003
Рецензент: д-р физ. -мат. наук, проф. Воробьев Г. С.
Полонский Александр Дмитриевич, канд. техн. наук, докторант кафедры искусственного интеллекта ХНУ-РЭ. Научные интересы: инвариантные системы. Адрес: Украина, 40 001, Сумы, ул. Кирова-165, д. 140, кв. 41, тел. (0542) 277−975.
УДК 517. 9+532. 5
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ЧИСЛЕННОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ КОНВЕКТИВНЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ В ОДНОСВЯЗНЫХ И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
СИДОРОВ М.В. ____________________________
Рассматривается задача расчета конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в односвязной или многосвязной области. Предлагается приближенный метод решения этой задачи, основанный на применении методов R-функций и последовательных приближений.
Введение
При построении численных алгоритмов решения задач конвективного движения вязкой несжимаемый жидкости (например, при моделировании процессов выращивания монокристаллов, при расчете охлаждения подвижных частей двигателей и др.) часто используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных «функция тока — температура». Применение этих уравнений для решения задач в многосвязных областях затруднено тем обстоятельством, что, приняв значение функции тока на одной из границ равным некоторой постоянной величине, мы не можем определить функцию тока на других границах. В связи с этим возникают определенные трудности численного решения уравнений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим стационарное конвективное движение вязкой жидкости в плоской области Q с кусочнонепрерывной границей 3Q (предполагаем, что массовые силы отсутствуют). Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска (приближение слабой сжимаемости) в переменных «функция тока — температура» имеют вид [1]
,, 8 (5у 4 ^ 8 (5у 4
ллт = - - Ау — - |- Ат
ox ^ 8у
1 л _ 8 f8w
— AT = - T-
Pr 8x { 8y
j 8y ^ 8x
G 3T
Gr ix • (1)
_Af T
8y I 8x I ' x • (2)
Здесь V — функция тока, связанная с компоненту
тами скорости соотношениями vx =
vy =--
Sy
ox
8y
— Т-температура жидкости- Pr — число
Прандтля- Gr — число Грасгофа.
Систему уравнений (1), (2) дополним граничными условиями.
Если область q односвязная, ограниченная твердыми неподвижными стенками, то, используя условия прилипания, можно задать условия вида
* = о
dn 8Q
(3)
Tl5Q T°(x'y)|5Q. (4)
Рассмотрим теперь случай, когда область Q многосвязная (для простоты изложения ограничимся случаем двухсвязной области). По-прежнему предполагаем, что область Q. ограничена твердыми неподвижными стенками. Обозначим через 8Q о внешнюю границу области Q, а через 8& amp-i — внутреннюю. Известно [1], что функция тока у (х, у) определена с точностью до несущественной постоянной, поэтому на одной части границы можно положить
5у МдПо = 0, 8п dQo = о. — (5)
но тогда с, Щ сО = о, (6)
где c = const, но эта постоянная не задана. Постоянную c из (6) найдем из условия однозначного
РИ, 2003, № 4
55
определения давления в многосвязной области q. Рассуждая аналогично, как и в [2], для определения c можно получить условие
ds = Or f^ds
5Qj ^ 5Qj fix
(7)
2. Метод решения
Систему уравнений (1), (2) будем решать, применяя итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности, т. е. решая на каждом (т +1 -м шаге линейную систему
ДДу& lt-m+1)
-дТт+1) =
Pr
Ду (т)
5x ^ 5у
дТ (т 1+Or У1!,(8)
ду ^ дх дх
_8_
дх
ґ
Т
& lt-т) 1
V
су
_д_
ду
ґ
T
т т& gt- 1 — -(9)
Можно доказать, что указанный итерационный процесс при достаточно малых числах Прандтля и Грасгофа сходится к единственному обобщенному решению соответствующих краевых задач.
Начальное приближение может быть выбрано произвольно, например, в качестве у (°) можно взять течение Стокса.
Обозначим
Fm = -
^ Д"& lt- т)
дх

ау
4*" т
O'-& quot-
дх
(
ду ^ дх
Or
Т
Hi
т))__д (ауН)
сГт
ах
V
----Т
ау J ау ^
дх
Случай односвязной области Q. Пусть известна функция ю (х, у), удовлетворяющая условиям:
ю & gt- 0 в Q, ю = 0 на дп, I'-Vra| = 1 на дП, dQ = 3Q о U аПі.
В соответствии с методом R-функций [3] и используя структуры решений, полученные ранее [3, 4], решение уравнений (8), (9), удовлетворяющее краевым условиям (3), (4), будем искать в виде
у (т+1) = ш2ф1т+1), (10)
Тт+1) = Т0 +юф (2т, (11)
где ф1т+1), Ф 2т+1) — неопределенные компоненты. Для их аппроксимации можно воспользоваться, например, каким-либо вариационным методом, представив их в виде линейной комбинации базисных функций.
Случай двухсвязной области Q. Функцию тока в задаче (8), (9), (5)-(7), (4) будем искать в виде
V
(т+1) = и (т+1)
0
си1
(12)
где c решение задачи
константа из (7). Здесь функция u0& quot--
ДДи (0т+1) = F& quot- в Q,
і(т+1)
8Q
= 0
auQm+1)
ап
= 0
(13)
(14)
дП
а функция U1 — решение задачи ДДи1 = 0 в q ,
і і 0U1
и1яг1 = 0 и1 = 1 --
115Q0 ' 119Q1 ' ^п
= 0
5Q
(15)
(16)
Таким образом, функция щ в (12) от номера итерации не зависит и при реализации вычислительного процесса находится лишь один раз.
Очевидно, что при таком выборе функций и0& quot-, щ функция у т+0 вида (12) будет удовлетворять уравнению (8) и краевым условиям (5), (6) — кроме того, функции и0& quot-+1) и щ будут линейно-независимыми.
Подставив теперь (12) в (7) для определения постоянной c, получим соотношение
f дДщ. c у ---1 ds
5П1 дп
'- аДи0 г сТ
j ----0 ds + Or j — ds
5Q1п 5Q1 CK
. (17)
Для решения задач (13)-(16) можно воспользоваться методом R-функций [3]. Пусть известны функции, а Дх, у) и ю^х, у), такие, что
ю0 & gt- 0 в Q U aQ1, ю0 = 0 на dQ0, |Vra0| = 1 на aQ0-
ю1 & gt- 0 в Q U dQ 0, ®1 = 0 на dQ 1, |Ую^ = 1 на aQ1.
Тогда функция ю = ю 0 ла ^ будет удовлетворять таким условиям:
ю& gt- 0 в Q, ю = 0 на dQ, Н = 1 на dQ.
Структуры решения задач (13)-(16) возьмем соответственно в виде
и0& quot-+1 = ш2ф0& quot-+1),
(18)
и =
= ________raD (1)
(r)0 +®1
(r)0
(r)0 +®1
2
+ ю Ф1. (19)
Здесь ф0т+1), Ф1 — неопределенные компоненты
структур-
да, а да д ах ах ду ду
Далее, найдя значение y (m+1), решаем задачу (9), (4) для температуры. Ее структура решения может быть выбрана в виде (11).
3. Результаты вычислительного эксперимента
С помощью пакета Mathematica 4. 2© было получено решение задачи свободной конвекции при pr = 1, Or = 50 для двух областей: прямоугольной
Q = {(х, у) | 0 & lt- х & lt- 1, 0 & lt- у & lt- 1}
РИ, 2003, № 4
56
и имеющей форму полуэллипса:
Q = fx, y)|4(x — 0,5)2 + у2 & lt- 1, 0 & lt- у & lt- і}.
Краевое условие для температуры (4) задавалось в виде To (x, 0) = 1 — |2х -і| и m (x, y) = 0 на остальных участках границы области Q. Полученные приближенные решения сравнивались с решениями, полученными в [5] с помощью метода фиктивных областей. Результаты очень хорошо согласуются.
Литература: 1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 2. СидоровМ.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. 2003. № 1. С. 42−44.
3. РвачевВ.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 4. Сидоров М. В. Применение метода R-функций к расчету течения в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 4. С. 54−56. 5. Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с.
Поступила в редколлегию 21. 10. 2003
Рецензент: д-р физ. -мат. наук, проф. Колосов А. И.
Сидоров Максим Викторович, ассистент кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, математическая физика, теория R-функций и ее приложения. Увлечения и хобби: история культуры. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина. 14, тел. (0572) 702−14−36.
УДК 517. 977. 5
ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПРИ ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ
РАДИЕВСКИЙА. Е. ________________________
Рассматривается процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза при векторном управлении. Сформулированная задача исследуется на основе положений одного из разделов современной теории экстремальных задач — формализме Дубовицкого- Милютина.
1. Введение
Современный этап развития научно-технического прогресса в области проектирования современных и перспективных систем управления (СУ) технологическими процессами и подвижными объектами базируется на положениях прикладной современной теории автоматического управления [1]. Использование ее положений позволяет учитывать специфичность процедуры проектирования, связанную с применением средств вычислительной техники в структуре управляющих устройств СУ, а также наличия информационных и энергетических закономерностей и ограничений.
2. Постановка и особенности задачи
На движениях объекта управления (ОУ)
^ = F (x, u, w, t)
dt
нео бход имо определить алгоритм управления (АУ), доставляющий оптимум векторному критерию качества
и граничных условий x (t0) = х0, х (^) = 0, где х = x (t) є Cn (t0,tJ — состояние (Cn (t0,tJ-пространство n -мерных непрерывных на отрезке [t0, t1 ] функций x (t) c нормой
И = max|x (t)|, Vt є [t0,tj е R1) —
u = u (t)є ЦД^Ді)-управёение (ЦД^Ді)-пр°-странство г- мерных существенно ограниченных на
отрезке [t0, tj измеримых функций u (t) с нормой
Н = vraisup|u (t)|, Vt є [t0,tj е R1) — w=Wt) єEw -возмущение (Ew — пространство элементарных случайных функций вида [2] w (t) = c (t)A., c (t) — координатная функция, X — случайная величина, принадлежащая счетному множеству) — f0(x, u) — функционал- J^u^i є [1, m] - интегральный квадратичный функционал, a i & gt- 0, i є [1, ml — весовые
m
коэффициенты, причемai = 1- xmax, umax — за-
i=1
данные числа- t є [t 0, 11 ] c R1 — время- [t 0, 11 ]-
интервал управления- R1 — числовая прямая.
3. Особенности задания векторного критерия качества
Предполагается, что m = n • Возможны три варианта соотношений между величинами n и г:
n = r- n & gt- r (n — r = zj- n & lt- r (r — n = z2).
J (u) = J (f& lt-,(x, u)), (1)
который задается как некая функция произвольного множества (a ^(u))"^ локальных критериев качества при наличии ограничений
x Є Q = (x: x & lt- xmax), (2)
u Є U = (u: |u| & lt- umaJ (3)
Для первого варианта локальные критерии качества задаются в виде
t1i t1i /
J|(4 = J Wlxi, ui) dt = I (xTR. xi + uTM|u& gt-
t0i
,(4)
i є
[1,n]-
0i
РИ, 2003, № 4
57

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой