К вопросу об исследовании точечного отображенияплоскости в плоскость по его приближениюлинейным отображением

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 517. 9+518. 61
К ВОПРОСУ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ТОЧЕЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ В ПЛОСКОСТЬ ПО ЕГО ПРИБЛИЖЕНИЮ ЛИНЕЙНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ
© 2012 г. О. Г. Антоновская, В.И. Горюнов
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
pmk@unn. ac. ru
Поступила в редакцию 11. 10. 2012
Предложена методика исследования точечных отображений плоскости в плоскость по приближенно построенным линейным отображениям.
Ключевые слова: математическое моделирование, динамика систем, точечное отображение, неподвижная точка, устойчивость.
Введение
Известно, что ориентированные на ЭВМ удобные инженерные методы расчета предусматривают тщательный учет и сохранение нелинейных свойств исследуемого объекта [1−3]. Один из наиболее универсальных подходов, способствующих решению этой задачи, заключается в интегрировании системы численными методами. Однако непосредственное использование такого подхода при расчете статических характеристик радиосистем, имеющих на выходе высокочастотный гармонический сигнал и инерционные цепи управления, уже при скромных ограничениях на точность исследования требует очень большого количества машинного времени. Потребность в резком сокращении времени вычислений в этом случае обусловливает необходимость разработки эффективных проблемно-ориентированных методов расчета, включая численно-аналитические варианты [4].
В настоящей работе предлагается вариант ускоренного расчета характеристик периодических движений, основанный на интегрировании системы уравнений на конечном интервале времени, определяемом размерностью п = 2 задачи, с последующим использованием приближенного аналитического описания решения. В основе алгоритма лежит предположение о возможности установления с помощью динамиче-
ского оператора системы соответствия начальных координат их последующим значениям через интервал времени, равный периоду внешней силы, или, что-то же самое, точечного отображения Т с функцией последования
*=Р (Х (1)
где X = (х1, х2) — вектор-столбец начальных значений координат, Х = (х1,х2) ~ вектор-
столбец последующих значений координат, Е -нелинейная вектор-функция [5].
Рассмотрим возможность аппроксимации нелинейного отображения приближенным линейным отображением Тл [6, 7] с функцией последования вида
X = АХ + В, (2)
где неизвестные, А = (агу) — квадратная матрица 2×2, И = (Ь1) — вектор-столбец размерности 2.
Одним из простейших подходов к идентификации [8] параметров А, В является использование схемы интерполяции [9], при которой условие X = X выполняется на минимально необходимом последовательном числе итераций отображения. Для определения такого минимально необходимого числа итераций достаточно отметить, что необходимое условие
X = X интерполяции в скалярном виде относительно идентифицируемых параметров а- и Ь,
(3)
может быть представлено в виде системы линейных уравнений
а11Х1 + а12×2 + Ь1 = Х1,
а21×1 + а22 Х2 + Ь2 = Х2.
Из вида (3) непосредственно следует, что эта система двух уравнений содержит 2*3 неизвестных агу и Ьг. Поэтому минимальное число последовательных итераций отображения Т, при которых возможна идентификация агу и Ьг, равно 3.
В этом случае выборка г-х уравнений (г = 1, 2) из всей группы трех последовательных итераций отображения Т приводит к системе уравнений вида
а/1×1(0) + аг 2 Х20) + Ьг = Xг (1),
Д1) + а х (1) + Ь = х (2)
а/1Х1) + аг 2 Х2) + Ьг = Х (,
(4)
аг1Х1(2) + аг2 Х22) + Ьг =
в которых аг1, аг2 и Ь1 являются идентифицируемыми переменными, причем их верхние индексы соответствуют номеру итерации отображения Т.
С целью увеличения точности вычислений агу и Ьг введем в рассмотрение покоординатные разности итераций. Вычитая в (4) из каждой строчки предыдущую, приходим к системе уравнений
аг1Х1(0) + аг 2 Х20) + Ьг = Xг (1), аг1(Х1(1) — Х10)) + аг2(Х21) — Х20)) = - Xг (1), (5)
аг1 (Х1(2) — Х1(1)) + аг 2(Х22) — Х21)) = Хг (3) — Xг (2),
из вида которых следует, что достоверность вычислений может быть сохранена при условии, если значения всех покоординатных разностей превышают точность их задания.
Полная система уравнений, определяющих величины агу, Ьг (г, у = 1, 2), получающаяся с помощью задания в (5), может быть представлена в форме матричного уравнения
ОС = О, (6)
где в матрице О размерности 2*3 первые 2 строки и 2 столбца соответствуют матрице А, а последний столбец суть вектор-столбец В. В матрице С размерности 3*3 первые 2 строки являются элементами транспонированной матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих перед величинами аг1, аг2 в системе (5). Первый элемент последней строки матрицы С равен единице, а остальные элементы этой строки равны нулю. Матрица О размерности 2*3, причем произвольная г-я строка матрицы соответствует транспонированию столбца правой части системы (5). Вся матрица О получается при изменении г от 1 до 2.
При условии невырожденности матрицы О из уравнения (6) находим, что
О = О ¦ С-1, (7)
где С — обратная к С матрица.
Так как матрица О однозначно определяет матрицу, А и вектор В, функция последования (2) приближенного точечного отображения Тл определена.
Согласно способу построения, периодический режим с периодом внешней силы исходной системы дифференциальных уравнений соответствует простой неподвижной точке отображения Т [5], и поэтому для координат приближенной неподвижной точки, согласно (2), получим соотношение
X* = А~* + В. (8)
Для исследования вопроса о существовании и устойчивости неподвижных точек точного точечного отображения Т по его приближению линейным отображением Тл воспользуемся следующей процедурой.
О приближенном исследовании неподвижных точек точечных отображений плоскости в плоскость
Пусть Т — гладкое точечное преобразование односвязной плоской области О0, определяемое равенствами
Х1 =1 (^ Х2X Х2 = ?2 (Х1, Х2^ (9)
где Е1, Е2 е С2(О0) и для любых точек (Х1, Х2) области О0 известны константы Липшица для функций Е1, Е2 и их частных производных
1^!(xl, Х2) — ^(^ Х2)| +
+2 (Х1, Х2) — -^2(Х1, Х2)| -
& lt- К[Х1 — Х1 + Х2 — x2|], (10)
|^1,Х1(X1, Х2) — ^ Х2) +
+ |^1×2 (Х1, Х2) — ^1×2 (Х1, Х2)| +
+ №х1 (Х1, Х2) — Х1 (Х1, Х2)| +
+2 Х2 (Х1, Х2) —2 Х2 (Х1, Х2)| & lt-
& lt- N[|Х1 — Х1| + |Х2 — Х2)|. (11)
Допустим также, что в процессе итераций точечного преобразования расстояние между двумя последовательными точками Мк-1 и Мк
стало меньше величины е. Тогда ответ на вопрос, существует ли в е-окрестности точки Мк
неподвижная точка отображения Т, может быть получен на основе следующих простых рассуждений.
Введем в рассмотрение функции
(12)
Ф1(х^ Х2) = ^1(X1, Х2) — X1,
Ф 2 (X1, Х2) = ^2(X1, Х2) — Х2 и определитель
Д (Х1, Х2, Х1, Х2) = Ф1×1 (Х1, Х2) Ф2Х2 (Х1, Х2) —
-Ф1×2(xl, Х2) Ф 2×1 (Х1, Х2). (13)
Если исходить из предположения, что устойчивая неподвижная точка М*(х*, х*) точечного отображения Т в е-окрестности Ве (Мк) точки Мк существует, то характеристический полином, определяющий ее устойчивость, не имеет корней, лежащих на единичной окружности, и
хотя бы одно из произведений Ф1*Х2 Ф 2*Х1 или Ф1* Ф2 не обращается в нуль. В случае Ф1*Х2 Ф2*Х1, как показано в [10], в некоторой е-
*
окрестности точки М выполняются условия теоремы о существовании и свойствах неявной функции [11], так что уравнения Ф1(хь х2) = 0 и
Ф2(х1- х2) = 0 определяют соответственно однозначные гладкие кривые Х1Ф 2(Х2) и Х2Ч X1), пересекающиеся в точке М. Следовательно, проверка фактического существования и место-
*
положения точки М относительно точки Мк может быть сформулирована как задача определения условий расположения области пересечения полос, содержащих кривые Х1Ф2(Х2) и хФ1(х1) в е-окрестности точки Мк.
Пусть линейное точечное отображение Тл
~1 = Ь1 + а11(х1 — X1k) + al2(x2 — x2k X ~2 = b2 + a21(X1 — X1k) + a22 (X2 — X2k)
(14)
с некоторой погрешностью задает значения хи х2 в точке Мк (х1к, х2к), т. е.
ЬІ - ?г (х1к & gt- Х2к)1 ^ е (5Х1 = 1,2 (15)
I а,] - Р, х] (х1к, х2к) ^ 5(8), ^ І = 1,2 (16)
где е (5), 5(5) — ошибки нахождения функций и их частных производных. Пусть неподвижная точка М* отображения Тл с координатами
X1n = X1k +
X2n = X2k +
(a22 — 1)(X1k — b1) — al2 (X2k — b2) (al1 — 1)(a22 — 1) — a12a21 (a11 — 1)(X2k — b2) — a21(X1k — b1) (a11 — 1)(a22 — 1) — a12a21
(17)
лежит в е-окрестности точки Мк. Требуется установить существование соответствующей неподвижной точки преобразования Т и оценить расстояние между этими точками.
Наряду с функциями Ф1(x1, x2), Ф2(x1, x2) и определителем Д (x1, x2- xj, x2) будем рассматривать функции
ф1л (X1, x2) = a11(xl — xlk) + a12(x2 — x2k) + b1 — X1, (j8) ф2л (X1, x2) = a21(xl -xlk) + a22(x2 -x2k) + b2 -x2
и определитель
Д л (xi, x2- xi, x2) = фи (xl, x2) ф2лс2 (x1, x2) —
-ф1лx2(X1, x2) ф24(xi, x2) =
= (ajj — 1)(^22 — 1) — a12a21- (19)
Будем предполагать, что неподвижная точка MЛ отображения Тл такова, что ее характеристический полином не имеет корней, лежащих на единичной окружности, т. е.
ф1л = ф1л (Хл, x2л) = ф2л = ф1л (Хл, x2л) = 0,
Дл = Д л (xl, x2- Хi, x2) Ф 0,
что означает непараллельность прямых
ф1л (x1, x2) = 0 ф2л (x1, x2) = 0
И пусть, без потери общности рассуждений [12], a12"21 Ф 0.
Построим окрестность D точки M*2, такую, что уравнения Ф1(x1- x2) = 0 и Ф2(x1- x2)=0 определяют в ней однозначные гладкие функции
x24 xl), x1°2(x2).
Рассмотрим некоторый прямоугольник
D1 = (Хл — b, Хл + b, x2л — a, Ал. + a)
где
0 & lt- тах{| x1k — -х* U x2k — x2л 1} & lt- b & lt- a & lt- s & lt-<-1 На множестве D1
1×2) — [a11(x1 — x1k) + a12(x2 — x2k) + b1]|& lt-
& lt- |F1 (x1k, x2k) — b1| + 1 F1x1 (x1k, x2k) —
— a11 | • |x1 — x1k | + |F/x2 (x1k, x2k) + a12| • |x2 — x2k | +
+ (3/2)N[(x1 — x1k)2 + (x2 — x2k)] & lt-
& lt- e (S) + 2s (S)(a + b) + 6N (a2 + b2), (20)
|a12 — F1 x2 (x1, x2) | & lt- | a12 — F1 x2 (x1k, x2k)| +
+ № x2 (x1k, x2k) — F1 '-x2(^ x2)| & lt- s (5) + 2 N (a +b). (21)
Поскольку |ф1ЛХ2 (x1, x2)| = № 12×2 | = | a12 L
|ф1л (Хл, x1L ± a)|= a |a12 L (22)
|ф1 л (x1, x2л ± a)| ^ |ф1л (x2л, x2л ±a)| - |ф1 л (Х1, xL ±a) —
-ф1л (x2, xL ± a)| ^ a M-^1 — a11|. (23)
Правая часть (23) положительна, если b & lt- a |a121/|1 — a"|, a" Ф1 (при a11 = 1 выражение в правой части (23) всегда положительно).
Выясним, при каких условиях уравнение Ф1(х1, x2) = 0 определяет однозначную функцию хф1 (x1) в области D1.
Из неравенства
|ф1л (X1, Х2)1 — 1Ф1(X1, Х2)1 & lt- 1Ф1(X1, Х2) — ф1л (X1, Х2) & lt-
& lt- e (S) + 2s (S)(a + b) + 6 N (a2 + b2) (24)
и соотношения (19) следует, что |Ф1(Х1, Х2& gt-| & gt- a|a12| -b |1 — an|- (e (S) + s (S)(a + b) +
+ 6N (a2 + b2)) (Х -Х*л|& lt-b, Х2 = Х*л ±a). (25)
Кроме того из неравенства
|ф1лх2(X1, Х2)|- |Ф1×2(X1, Х2)|& lt- |ф1лх2(X1, Х2)-Ф1×2(X1, Х2)|& lt-
& lt- s (S) + 2 N (a + b) (26)
получаем
|Ф1×2(Х1& gt- Х2)| & lt- |a12| - (s (S) + 2N (a + b))
(|X1 — Х1л | & lt- b, |X2 — Х2л | & lt- a). (27)
Если правые части неравенств (25), (27) положительны, то уравнение Ф1(х1- х2) = 0 в окрест-
2
ности D1 точки Мл определяет однозначную гладкую функцию хф1(х1) [11].
Подобно D1 рассмотрим прямоугольник D2 =
= (х*л — a, х^ + a, х*л — b, х*л + b). На множестве
D2
|F2 (X1, Х2) — [a21(X1 — X1k) + a22 (Х2 — X2k) + b2]| & lt-
& lt- e (S) + 2s (S)(a + b) + 6 N (a2 + b2), (28)
|a12 — FX2 (X1,X2) |& lt- s (S) + 2N (a + b) (29)
и, поскольку |ф 2лх2(х1, х2)| = |a21|& gt- то
|ф2л (х*л ± a, Х2л)| = a |a21|, (30)
|ф2л (х1л ± a, Х2)|& gt- a |a21| - 1 — a22| b, (31)
причем правая часть (31) положительна, если b& lt-|a211a/|1 -a22|, a22 Ф1 (при a22 = 1 она положительна всегда).
Выясним, при каких условиях уравнение Ф2(х1, х2) = 0 определяет однозначную функцию хф2(х2) в области D2. Заметим, что подобно (25), (27) можно получить неравенства |Ф 2 (X1, Х2)|& gt- a |a21| b|1-a22| -- (e (S) + 2s (S)(a + b) + 6N (a2 + b2)), (32)
(|х2 — Х2л | & lt- b, X1 = Х1*л ± a),
|Ф 2×1 (X1, X2)|& lt- |a21| - (s (8) + 2 N (a + b)), (33)
(|X1 — Х*л | & lt- a, | X2 — Х2л | & lt- b.
Если правые части (32), (33) положительны, то уравнение Ф2(х1, х2) = 0 в окрестности D2 точки Мл2 определяет однозначную гладкую функцию хф2 (х2) [11], а квадрат
D = D n D2 = (х2л — b, х2л + b, х2л — b, х2л + b)
2
дает оценку окрестности точки Мл, в которой определены х2Ф1(х1) и х1Ф2(х2) (рис. 1).

— D b J Мл2 a Mk
D1
Х2
¦G (Mk)
Х
Рис. 1
Из приведенных выше рассуждений следует, что в качестве а, Ь можно выбрать величины, а = а тт{[тт{ |а12|,|а21|} - 5(8)] /(2#),
[тт{|а12|, а211} - 25(8)] /(6#)}, (34)
Ь = а тт{а,[тт{|а12|,|а21|} - 5(8) + 2#а]/(2#), [|1- ап| +25(8) + [(|1- ап| +25(8))2 +
+ 24 N (а |а12| - 25(8) — 6N) — е (8))]]½ /(6 N), [|1 — а22| + 25(8) + [(|1 — а22 | +25(8))2 +
+ 24#((а |а121 -25(8) — 6Ы) — е (8))]½]} (35) при условии
ь & gt- таХ{|Х1^ - Х*л М Х2к — Х2л|}, (36)
где 0 & lt- а & lt- 1, а 5(5), е (5) таковы, что
5(8) & lt- т1п{|а12|,|а21|}/2, (37)
е (8) & lt- а[тт{|а12|,|а21|} - 25(8) — 6#а]. (38)
Для того чтобы кривые, описываемые функциями х2 1(х1), х1 2(х2), в окрестности Б пересекались хотя бы в одной точке, достаточно, чтобы
[е (8) + 25(8)(а + Ь) + 6# (а2 + Ь2)] х х [тт{|а12|,|а21|} - 5(8) + 2# (а + Ь)]-1 & lt- г, (39)
где г = 0^т (Р*/2), 0 & lt- 0 & lt- 1, в* - острый угол между прямыми ф1л = 0, ф2л = 0, а в — угол между прямой ф1л = 0 и осью х1 (рис. 2). Тогда в силу неравенств
|Ф1(х1, хф1л (х1))|& lt- е (8)+25(8)(а + Ь)+6N (а 2 + Ь2), (40)
|Ф 2 (хф2 л (х2), х2)|& lt- е (8)+25(8)(а+Ь)+6N (а2 + Ь2), (41)
(27), (33) имеем
|х2Ф1л (Х1) — хф1(Х1)| & lt-r, |х1Ф2л (Х2) — хФ2(Х2)|& lt- Г (42) при |х1 — х*л |& lt-Ь, |х2 — х*л|& lt-Ь (см. рис. 2). Отсюда следует, что кривые х2Ф1(х1), хф2(х2) в окрестности Б пересекаются не менее одного раза. Достаточное условие единственности точки пересе-
т = 0
Рис. 2
чения этих кривых также может быть легко получено. В самом деле, справедливо соотношение
|Д (х1, х2- х'-, Х2) -Д*Л | =
= | Д (Х'-, Х2- х'-, х2) — Дл (Х'-, Х2- х'-, х2)| & lt-
& lt- [ст + 2(5(8) + 2N (а + Ь))](5(8) + 2 N (а + Ь)), (43)
где ст = |1 — ап| + |ап| +11 — a22І + |а22|.
Так как при этом имеет место неравенство
|Дл| -|Д (^х2-xi, Х2)|& lt-|Д (^х2-xi, Х2) -2*л|, (44)
то в случае выполнения условия
[ст+2(5(8)+2N (а +Ь))](5(8)+2 N (а+Ь)) & lt- |Д*л |, (45)
где | Д л | = | ('- - а11)('- - а22) — а12а21|.
Величина Д (Х'-, Х2- х'-, х2) в области Б отлична от нуля, что означает непараллельность касательных к кривым Х2 = Хф'-(Х'-), Х'- = Хф2(Х2) в области Б [9], а следовательно, и единственность точки пересечения этих кривых. Заметим, что поскольку (45) есть квадратное неравенство относительно суммы, а + Ь,
0 & lt- а + Ь & lt- [-ст- 2^(5) + ^/ст2 + 4 |Дл | ]/4Ы, (46)
где
5(5) & lt- [-ст + д/ст2 + 4 |Д*л|]/2. (47)
Координаты точки пересечения кривых хф2(Х2) и Хфі(Хі) удовлетворяют системе уравнений Фі (Хі, Х2) = Ф 2 (Хі, Х2) = 0 и, следовательно, являются координатами неподвижной точки точечного отображения Т. Поэтому условия, при выполнении которых в окрестности существуют пересекающиеся в одной точке кривые
Х2 = Хфі (Хі), Хі = Хф2(Х2), являются достаточными для существования в окрестности В неподвижной точки точечного отображения Т.
*
Вопрос о характере устойчивости М также
легко решается. Поскольку предполагается, что
*
неподвижная точка Мл устойчива, для доказа-
*
тельства факта устойчивости точки М достаточно потребовать выполнения условий [13]
'- -Р + д & gt- 0, '- + р + д & gt- 0, '- - д & gt- 0 (48)
для коэффициентов р, д полинома
Р (2) = г2 + р1 + д, (49)
*
характеризующего устойчивость точки М, считая, что (48) имеет место для
Р = ~л = -(а11 + а22), д = ~л = а11а22 — а12а21.
Учитывая (19),(38) и (4), получаем (5(8) + 2 N (а + Ь) + М) х
х (4 + а + 2(5(8) + 2 N (а + Ь) + Ш)) & lt- Г, (50)
где
г=т1п{'--~лд-~л+~лд+~л + ~л}. (51)
Так как (50) есть квадратное неравенство относительно суммы 2(а + Ь) + Ь & gt- 0, то 0 & lt- 2(а + Ь) + Ь & lt-
& lt- [-(4 + ст + 25(8)) + д/ (4 + ст)2 +Г ]/(2 N), (52)
причем
5(8) & lt-[-(4 + ст) + 4(4 + ст)2 +Г]/2. (53)
Неравенство (50) (или (52)) при учете (53) дает достаточное условие устойчивости неподвижной точки точечного отображения Т.
Приведенные выше рассуждения доказывают следующую теорему.
Теорема. Пусть в процессе итераций точечного преобразования Т расстояние между двумя последовательными точками Мк-'- и Мк стало меньше в. И пусть устойчивая неподвижная точка Мл линейного точечного преобразования Тл (аиа21 ф 0), с некоторой погрешностью задающего Т в точке Мк, лежит в в-окрестности точки Мк и удовлетворяются соотношения (34)-(39), (46), (47), (52), (53). Тогда если квадрат Б :| Х'- - х*л | & lt- Ь, |х2 — х*л | & lt- Ь целиком лежит в в-окрестности точки Мк, то в этой окрестности существует единственная устойчивая неподвижная точка преобразования Т, отстоящая от Мл на расстояние, не превышающее Ь.
Заметим, что случай (ап — '-)(а22 -'-) ф 0 может быть рассмотрен аналогично случаю а^а2'- ф 0. При этом в оценках а^^а^ и |1 -ап|, |1 -а22| поменяются местами.
Практическое применение теоремы, предложенной в работе, сводится к выполнению следующей последовательности действий:
'-) в процессе итераций от начальной точки М0 остановиться в точке Мк, в которой
*
р (Мк-1, Мл) & lt- в, где в задано-
2) построить точечное отображение Тл и по формуле (17) определить координаты не*
подвижной точки Мл, проверив условие р (Мк-'-, Мл*) & lt- в-
3) в соответствии с (34), (35) построить прямоугольники Б'-, Б2-
4) проверить выполнение условия
Мке Б = Б1п б2 —
5) проверить выполнение условия (39) и сде-
*
лать вывод о существовании точки М —
6) проверить выполнение условия (46) и сде-
*
лать вывод о единственности точки М —
7) проверить выполнение условия (52) и сделать вывод об устойчивости точки М —
8) если Б й Вв (Мк), то алгоритм поиска М следует повторить для большего к.
Заключение
В заключение отметим, что с целью апробации предложенного алгоритма локализации неподвижной точки точечного отображения плоскости в плоскость была рассмотрена задача оценки быстродействия синтезатора с неидеальным импульсно-фазовым детектором и пропорционально интегрирующим фильтром первого порядка. В этом случае функции последования точечного отображения задаются неявными существенно нелинейными соотношениями [14], хотя и допускают некоторое аналитическое исследование.
Анализ результатов работы алгоритма показал, что при различных значениях параметров системы размер окрестности Б, содержащей неподвижную точку, не превышал ЬтаХ = 10−5, а сравнение таблиц длительности переходных процессов в синтезаторе при различных значениях параметров показал, что числа итераций в таблицах длительности в случае нахождения координат неподвижных точек по формулам и с использованием алгоритма локализации отли-
чались незначительно (как правило на 1−2 итерации), причем для значений параметров, близких к оптимальным [15], когда число итераций при переключениях по диапазону невелико, эти таблицы практически совпадали.
Список литературы
1. Борисов Ю. П., Цветков В. В. Математическое моделирование радиотехнических систем. М.: Радио и связь, 1985. 177 с.
2. Окунев Ю. Б., Плотников В. Г. Принципы системного подхода к проектированию в технике связи. М.: Связь, 1976. 183 с.
3. Ризкин И. Х. Машинный анализ и проектирование технических систем. М.: Наука, 1985. 160 с.
4. Бычков Ю. А., Васильев Ю. В. Расчет периодических режимов в нелинейных системах управления: Машинно-ориентированные методы. Л.: Энергоиз-дат, 1988. 112 с.
5. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
6. Антоновская О. Г., Горюнов В. И. / НИИ ПМК ННГУ, Н. Новгород, 1995. 20 с. Деп. в ВИНИТИ
10. 08. 95 № 2429-В95.
7. Антоновская О. Г., Горюнов В. И. / НИИ ПМК ННГУ, Н. Новгород, 1995. 22 с. Деп. в ВИНИТИ
25. 07. 95 № 2279-В95.
8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
9. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Физматгиз, 1962. 608 с.
10. Баталова З. С. // Изв. вузов. Радиофизика. 1966. Т. 9. № 4.
11. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. II. М.: Гостехиздат, 1970. 800 с.
12. Дубровина Н. Н. // Динамика систем: Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 121−131.
13. Неймарк Ю. И. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. Т. 1. № 2. С. 95−117.
14. Антоновская О. Г., Горюнов В. И., Лоба-шов Н.И. // Динамика систем. Управление и оптимизация. Межвуз. сборник. Горький: Изд-во ГГУ, 1989. С. 59−72.
15. Антоновская О. Г., Горюнов В. И. // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2004. Вып. 1 (27). С. 203−212.
ON POINT MAPPING OF THE PLANE INTO THE PLANE USING ITS APPROXIMATE REPRESENTATION BY LINEAR MAPPING
O.G. Antonovskaya, V.I. Goryunov
A technique is proposed to study point mapping of the plane into the plane using its approximate representation by linear mapping.
Keywords: mathematical simulation, system dynamics, point mapping, fixed point, stability.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой