Использование интеграла действия по Ляпунову для оценки устойчивости неконсервативной линейной системы

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIX
19 8 8
№ 2
УДК 629.7. 015. 4: 533.6. 013. 422
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА ДЕЙСТВИЯ ПО ЛЯПУНОВУ ДЛЯ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОНСЕРВАТИВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
В. Г. Буньков, В. А. Мосунов
Предлагается алгоритм определения максимума интеграла действия по Ляпунову неконсервативной линейной системы на основе спектра комплексных частот и векторов системы. Показывается, что если собственные векторы близки, то при некоторых начальных условиях система в процессе движения выходит далеко за пределы области начальных условий.
Настоящая статья является откликом на новое направление в вычислительной алгебре [1−3], достижением которого являются алгоритмы, дающие решение с гарантированной точностью. Сначала такое решение было получено для систем линейных уравнений [1], затем для проблемы собственных значений и векторов симметричных матриц [2]. В настоящее время ведутся исследования для несимметричных матриц. Здесь дело значительно осложняется из-за неортогональности и возможного сближения собственных векторов, в связи с чем возникает вопрос о корректности способа решения задачи об устойчивости неконсервативных линейных систем (в частности, задачи о флаттере) через спектр комплексных частот и векторов несимметричной матрицы.
Годунов С. К- и Булгаков А. Я. предлагают решать указанную задачу другим, нетрадиционным путем, а именно: через решение уравнения Ляпунова [3]. Суть его в применении к неконсервативной системе, описываемой матричным уравнением
АХ = Х, (1)
состоит в нахождении матрицы Ляпунова Я, определяющей в явном виде интеграл действия в зависимости от вектора начальных возмущений Х0 -Х (0):
1 = $[Х№Ы = Х'-0НХ0.
Симметричная матрица Н получается с гарантированной точностью, а максимальное действие / при нормированном возмущении |Х0| - 1 определяется как максимальное собственное число А, 1 матрицы Н. Соответствующий вектор характеризует форму флаттера, о близости которого судят по превышению некоторой заранее обусловленной (из опыта) величины.
Традиционный же, способ расчета на флаттер состоит в определении спектра комплексных частот 51… «» и векторов 1]1… ип, удовлетворяющих условию:
= X = и ехр ф) — = 5* + г ш*.
Обычно о близости к границе устойчивости судят по величине 6й& lt-0, а действие для тона, критически приближающегося к мнимой оси, ожидается таким:
т. е. действие для одного изолированного тона обратно пропорционально 6: /0Я51/4|6|.
Однако возможны такие нормированные начальные возмущения Хо в системе, которые могут дать величину действия /, на много порядков превышающую указанную оценку /0, т. е. система формально, по критерию частот 6а считается устойчивой,
но «практически» неустойчива. Физически это можно объяснить возникновением биений в системе. 1.
Для иллюстрации возьмем простой пример:
Очевидно, решение устойчиво. Вычислим действие при нормированном начальном возмущении
Физически- это означает, что при таком начальном возмущении |^(^)| сначала растет, происходит «заброс», и только потом X (?)-'-О. Это связано с близостью собственных векторов. и
Для того, чтобы оценивать действие по Ляпунову для систем уравнений, полученных для реальных ЛА, предлагается алгоритм вычисления действия
с помощью традиционного решения полной проблемы собственных значений, не требующий решения уравнения Ляпунова.
Пусть уравнение (1) имеет спектр комплексных частот
СО
00
5
О
о
4 (52 + оз2) ~ 4 I 5 I *
решение которого
со
то
? Г 1000 (е (- е 2& lt-) I2
а ж 8зооо.
о
00
/'-
/=]" [*(& lt-)]*<-«
о
52, …, $п (& lt-?- = 5у+ 1^)
и базис собственных векторов
и = [ии и» … ип.
Произвольный вектор можно представить
ЛГ (/) = ХРу ,
где
ІV =ихе^ Щ еЧ …, Ьп еп'] ,
у — вектор, компоненты которого — коэффициенты разложения X (0) по базису (/, т. е. Х (0)=иу. Определим действие 1:
у* Ву
[*(0)Р
Матрицы В и С эрмитовы-
с/й = У / Ук і
у* и* Цу
у* Су
(2)
Ь,
1к ¦
Максимум варажения (2) определяется наибольшим собственным числом X урав-
Ву = X Су.
Соответствующий вектор у определяет вектор начальных возмущений X (0) = ?/(/, дающий наибольшую величину действия (2).
В практике расчетов на флаттер пока обнаружен единственный случай, когда действие / в десятки раз превышает ожидаемое /о для системы с почти ортогональными векторами-это случай бифуркации годографов комплексных частот системы. В этом случае основную роль играет близость собственных векторов системы в окрестности точки бифуркации. В качестве иллюстрации использования описанного способа приведем этот случай.
Рассматривалось крыло-пластина, аэродинамические воздействия рассчитывались по теории поршня. Расчет проводился с четырьмя степенями свободы. Коэффициенты уравнения флаттера
(в + узр) У + юОУ + У =0
были следующие: О — диагональная матрица- ?ц = 37,7- ?22= 169- § 33 = 899- ^44= 1792-
/=¦=
/& gt-
0
0,12*10 3 о о
-диагональная, йи=^2
-0,197−10−2 0
0,176-Ю-3 -0,154−10~3
. 0
-0,419−10 0 о
-2
о
0. 171−10'- 0 0

& lt-^33=^44=0,73 • 10−2, V — скорость потока, У- вектор обобщенных перемещений. Расчет проводился с нормировкой по средней частоте системы (Ос при и=0: (ос = 76,128- скорость V менялась от ч0=300 до V=450 с шагом Ди=5. Частотный годограф показан на рис. 1. Получено, что скорость флаттера Уф л =425, скорость, при которой происходит бифуркация корней Уб = 400.
і 12
На рис. 2 показано'-поведение / в зависимости от и, а также ожидаемое действие /о, которое должно было получиться, если бы система не имела близких собственных
9
со-
векторов. В данном случае /о=----------. где 6 и со — вещественная и мнимая компоненты
46 и2
частоты флаттерного тона.
Из графика на рис. 2 видно, что в предфлаттерной области параметра V с=1/1 о"1. Это объясняется тем, что при начальном векторе X (0), дающем максимальное значение /, в колебаниях присутствуют близкие тона, при сложении которых в системе возникают «биения».
В заключение отметим, что предлагаемый алгоритм, кроме выявления случаев «практической» неустойчивости, т. е. возникновения биений в докритических режимах, полезен при решении вопроса о том, какие тона участвуют во флаттере, а сравнение величин Я и Х0 с их значениями, полученными с гарантированной точностью методом Годунова — Булгакова, служит проверкой спектра я и базиса и.
ЛИТЕРАТУРА
1. Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений. — Новосибирск: Наука, Сибир. отд., 1980.
2. М и т ч е н к о А. Д. Алгоритмы исчерпывания трехдиагональных симметричных и двухдиагональных матриц с гарантированной оценкой точности. Наука, Сибир. отд., Вычислительные методы линейной алгебры, СО АН СССР, 1985.
3. Б у л г, а к о в А. Я-, Г о д у н о в С. К. Расчет положительно определенных решений уравнения Ляпунова. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд., Вычислительные методы линейной алгебры, СО АН СССР, 1985.
Рукопись поступила 26/XI 1986 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой