Модификация метода Шварца для начально-краевой задачи Коши

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Физико-математические науки
83
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ШВАРЦА ДЛЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ КОШИ
© Торшина О. А. *, Дегтярева К. А.
¦
Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова, г. Магнитогорск
В работе рассматривается численное решение начально-краевой задачи Коши для уравнения диффузии. В основе решения лежит модифицированный метод Шварца.
Ключевые слова задача Коши, начально-краевая задача, уравнение диффузии, метод Шварца, уравнение дробного порядка, преобразование Лапласа.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения диффузии дробного порядка
где, а = (-да, +да), функция у ограничена в области a, D — коэффициент аномальной диффузии.
— левосторонняя частная производная дробного порядка a not типа Римана-Лиувилля[1].
стразделим на две, вероятно, неперекрывающиеся подобласти а1 = (-да, L] и а2 = [0, да), L & gt- 0. Через u (x, t) выразим приближение к искомой функции
* Доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
¦ Кафедра Прикладной математики и информатики. Научный руководитель: Торшина О. А., доцент кафедры Прикладной математики и информатики, кандидат физико-математических наук.
t & gt- 0,
х ea, a e (0,1), y (x, 0) = g (x),
a e (0,1)
84 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
y (x, t) в сть, а в ст2 — через v (x, t). Опишем задачу для каждой новой области в отдельности [3]:
дУ (х, t) _D да | 3t дta 1 д Т))+f (*) t & gt- 0, х е CTj, ае (0,1) —
и (х, 0) = g (х), х е.
ду (х, t)_D да | et дг '-Аха)+. f (-), t & gt- 0, х ест2, ае (0,1) —
vA, 0) = gA), х еа2.
Решение задачи может быть найдено в виде композиции решений и и v. Определим на внутренние границы областей x = 0 и x = L следующие граничные условия:
(в+4) и (х t) x=L = (в+4) v (х, о| x=L,
(в + Ai) v (x, t) |,=о =(в + Ai) и (хt) х=0,
да (д Л
где оператор B представлен в виде: B = D---1 — I. Вид B соответствует
dta дх)
аномальному диффузионному потоку. Аг и А2 — некоторые линейные операторы, воздействующие на переменную t и подлежащие определению [2, 4]. Их нужно брать так, чтобы осуществлялась сходимость итерационного процесса.
Опишем следующий итерационный процесс:
дип (х, t) _ да (д2un (х, t)
dt
0ta
дх2
+ f (х, t), t & gt- 0, х & lt- L,
ип (х, 0) = g (х), х & lt- L- (B + A) un (х, t) = (B + A) vn-1 (х, t) t & gt- 0-
дуп (х, t)_ да (дп (х, t)

, + f (х, t), t & gt- 0, х & gt- 0,
дг дга{ дх2)
vn (х, 0) = g (х), х& gt- 0- (B + A) vn (х, 0|rf = (B + A) иг'--1 (х, t)^. А (х, t) = и (х, t) — ип (х, t) вп (х, t) = vA, t) — vn (х, t)
Физико-математические науки
85
— ошибки на n-ой итерации. В силу линейности всех операторов, для отыскивания ошибок берем нижеследующий итерационный процесс [6]:
0/4×0 = D0,, & gt- 0, x х L,
dt dta у dx)
/" (x, 0) = g (x), x & lt- L,
(B + A)/" (x, t) L, = (B + A x, t)|rf, t & gt- 0-
дв" (x, t) xx da f д2 O" (x, t) ^ N Л
dt dta{ dx2) J (, Л, ,
v" (x, 0) = g (x), x & gt- 0,
(B+AW" (x, t) x=0 = (B+a)/-1(x, t)| x=0.
Сходимость итерационного процесса к нулю, не смотря на начальное приближение, обеспечивает сходимость исходного процесса. Из данного условия и могут быть вычислены операторыЛ иЛ2.
Обозначим через y (x, к) преобразование Лапласа от функции y (x, к) по
да
времени y (x, к) = | e~kty (x, t) dt.
0
Предположив, что преобразование Лапласа от Д (s)У, i = 1,2, и применив его по времени, получим [5]:
к/ (x, к) = Dka/ (x, к), x & lt- L,
Dka/(L, к) + А (к)/ (L, к) = Dka 11 (1, к) + A11″ (1,к) —
кв (x, к) = D^Oxx (x, к), x & gt- 0,
D. ка y I (0, к) + A (к)y 1 (0, к) = Dка/-1 (0, к) + A (к)/"" (0, к).
Решая уравнения с учетом ограниченности функций /У и y, определяем
/ (x, к) = C"epx, x & lt- L- в" (x, к) = C"e-px, x & gt- 0- p = Vкl aDД
Подставляя в граничные условия, приходим к следующим равенствам:
86 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
/& quot-+1(0, к) = р{к)// '-(0, к), в& quot-+'-(0, к) = р (к)в& quot- '-(0, к), где
(Л (к) -Ркаср)(Л2(к) -Вкар)"_2qL Р (((к) -Бкар)(^(к) -Бкар)
есть коэффициент, относящийся к сходимости итерационного процесса. При (к) =т/Окр, ^(к) = -^[Вкр, f3 = 1+а p (k) обращается в нуль. В
этом случае / (0, к) = д (0, к) = 0, следовательно, / (x, к) = 0 (x & lt- L) и / (x, к) = 0 (x & gt- 0).
Таким образом, сходимость итерационного процесса осуществляется за две итерации независимо от начального приближения и глубины перекрытия L.
Используя обратное преобразование Лапласа, находим искомые операторы:
I- др I- др
1& gt-2к) = -Jd-^.
Можно продемонстрировать, что при делении исходной области на N областей такой способ выбора операторов обеспечивает сходимость итерационного процесса за N шагов.
Разберем численное выполнение метода для ограниченной области а= [-1, 1]. Первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка имеет вид:
dy (x, t) D да f д2у (x, t) dt dta { dx2
+ f (x, t),
t & gt- 0,
x e (-1,1),
a e (0,1) —
y (x, 0) = g (x), x e [-1,1]- y (-1,0 =Х y (1,t) = S2(t), t & gt- 0.
Допустим, что область, а делится на две различные подобласти без перекрытия, т. е. а = [-1, 0], а2 = [0, 1]. Решение задачи в а1 обозначим через u (x, t), а в а2 — через v (x, t), сами области разобьем равномерной конечно-разностной сеткой с шагом Ах и числом узлов M + 1, xi = /Ax, i = 0, 1, …, M.
Физико-математические науки
87
Шаг по времени At считаем постоянным, временной слой обозначим через tj = jAt, j = 0, 1, … Значения сеточных функций обозначим z (x, tj) = zу. Производную дробного порядка по времени аппроксимируем, опираясь на формулу Грюнвельда-Летникова [5]:
daz (t)
_(«) _ 1 & lt-Ро 0
1
(At)a
N
E9(ka)z (tN -k At) & gt-
k=0
tN = N At,
() 9k
a + 1 k
() 9 k-i,
k = 1,2,…
В обеих областях организуем итерационный вычислительный процесс. Принимая в расчет конечно-разностную аппроксимацию, для x e oi имеем:
i, J i, j-1
At
D
(At) a (Ax)2
A& lt- j +E9ka)A& lt-
+ ft,
i = 1,2,…, M-1, j = 1,2,…
ulo = g, i = 0,1,…, M- un0J =St, i = 0,1,.
Введем следующие обозначения:
A& lt- j = - 2u» j + ui-1, j,
Kj = vM, j-k- vm-1, j,
n n n
№um, j = uM, j — uM-1, j ,
v0, j = v1, j -v0,j.
Начальному приближению присвоим значение с предыдущего временного слоя: u0. = uni X ¦, j = 1,2,. Итерационный процесс происходит только для временного слоя tj.
D
(At)aAx D
(At)aAx
J
n V '- (a) n
Kum, j + E9k u, j-k
к=1
Kj+E9kaWij-
4d
(At /
. VD
(At /
M, J
v
V",(& gt-
-E9 k

M, J-k
к= j
0, j
j+Ev k
(^)"
j = 1,2,.
88 интеллектуальный потенциал xxi века: ступени познания
Запишем итерационный процесс в области ст2 для функции v (x, t). Отметим, что на каждом временном слое j приводит к системе линейных алгебраических уравненийAUj = Uj с трехдиагональной матрицей
Г 1 0 0 0
-а 1 + 2а -а 0
О -а 1 + 2а -а
, 0 0 -b 1 + b
где, а =
D (At)1-
b =
-n/D (At f-a
T Tn /" .n " .n " .n T
и векторами U, = (u0,, ut j,…, uM,.) и
(Ax)2 Ax
Hj = (, К,& gt-¦¦¦'hM,)T, где ho, = si, — j = К,-1 + aZ^(k)^ui, j-k + fi.
i = l, 2,…, M 1, hM, j = To, j + b^j-k + ^% (uo, j-k uM, j-k) + b%c (Wo, j-k MuM, j-k)¦
Данная система легко может быть решена методом прогонки.
k =1
k=1
Список литературы:
1. Дубровский В. В., Торшина О. А. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. — 2002. — № 9, Т 7. — С. 4−10.
2. Дубровский В. В., Торшина О. А. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа-Бельтрами // Дифференциальные уравнения и их приложения. — 2002. — № 1. — С. 9−19.
3. Торшина О. А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости // Вестник МаГУ Математика. — 2003. — В. 4. — С. 183−215.
4. Торшина О. А. Регуляризованные следы дифференциальных операторов. — Магнитогорск, 2015. — 122 с.
5. Торшина О. А. Следы дискретных операторов с частными производными // Альманах современной науки и образования. Научно-
Физико-математические науки
89
теоретический / тематический журнал. — Тамбов: Грамота, 2012. -№ 4 (59). — С. 238, 220−222.
6. Торшина О. А. Численный метод вычисления поправок теории возмущений // Альманах современной науки и образования. Научнотеоретический / тематический журнал. — Тамбов: Грамота, 2013. -№ 12. — С. 168−170.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой