Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. I

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
2003 МАТЕМАТИКА
М.Р. ТИМЕРБАЕВ
ПРОСТРАНСТВА С НОРМОЙ ГРАФИКА И УСИЛЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА. I
Введение
Пусть П — ограниченная плоская область с кусочно-гладкой границей Г0 = 90, Г* С О, '-I = 1, 2,…, тп, — гладкие кривые с концами на Г0. Известно, что если функция и принадлежит пространству Соболева (1 & lt- р & lt- оо), то ее след и|Г- является элементом пространства
Соболева-Слободецкого Пусть V — подмножество функций из (О), следы кото-
рых на Г* обладают дополнительной гладкостью, а именно, принадлежат, кроме того, и классу ТУ1 (Г*) (1 & lt- д & lt- оо). Определим на V норму
171
1М1у = IIII (О) + И^Ии^МГ-)'- ^
?=0
Далее, на цилиндре & lt-5 = (0,1) х П определим множество функций Ш с конечной нормой
Определенные выше пространства естественным образом возникают во многих приложениях, к примеру, при описании совместного движения поверхностных и грунтовых вод, в гидродинамической теории смазки, в теории упругости [1]-[4]. Вариационные задачи и задачи на собственные значения, а также их конечноэлементные аппроксимации в пространствах с нормой (1) в случае многоугольной области П и отрезков (стержней) Г* при р = q = 2 рассматривались в [5]-[8], где эти пространства называются усиленными пространствами Соболева.
В данной статье пространства Соболева с усиленной метрикой рассматриваются как частный случай следующей абстрактной конструкции. Пусть имеются _В-пространства U mY и линейный непрерывный оператор 7 € L (U, Y). Для-пространства X С Y определим пространство
j (U, X) = {u (EU: ju (E X},
наделенное нормой графика
1М17 (и, х) = Ыи + Нт^Нх-
Многие пространства устроены подобным образом. В частности, для пространств с нормами
171
(1) или (2) роль оператора 7 играет оператор следа на Г = (J Г*. В статье в предположении
г=0
о дополняемости ядра ker7 устанавливаются общие свойства пространств j (U, X) в контексте свойств U и X: интерполяционное свойство, критерии компактности и плотности множеств. Приводятся примеры реализаций описанной конструкции. В пространствах с нормами (1) и (2) установлена плотность гладких функций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01−01−616).
№ 5 (492) УДК 517. 98
1. Предварительные результаты
Через Ф, Ф обозначаются топологические векторные пространства (ТВП). Всюду, если не оговорено особо, для ТВП включение U С Ф будет пониматься не только в теоретико-множественном, но и в топологическом смысле- таким образом, равенство U = V для 13-пространств будет означать также эквивалентность норм этих пространств. Отметим также следующее: если 13-пространства U, V С Ф таковы, что V является подмножеством U, то V непрерывно вложено в U — это следует из теоремы Банаха о замкнутом графике, которую нужно применить к тождественному отображению.
Как обычно, через ?(Ф, Ф) обозначается множество линейных непрерывных отображений из Ф в Ф. Пусть 7 € ?(Ф, Ф) и U С Ф. Тогда, очевидно, 7 € L (U, Ф) (сужение 7 на U здесь и далее будет обозначаться тем же символом 7). Если U С Ф — 13-пространство, то линейное множество '-y (ll) (образ U при отображении 7), наделенное фактор-нормой
11ж117(с/) = infilMly: и € U, ju = х},
будет-пространством, изометричным, очевидно, фактор-пространству U/(ker 7 П U), причем j (U) С Ф и 7 € L (U,^(U)). Кроме того, если 13-пространство X непрерывно вложено в Ф, то, для того чтобы 7 непрерывно отображало U в X, достаточно (и, разумеется, необходимо), чтобы '-y (ll) было подмножеством пространства X. Если 7 непрерывно отображает-пространство U на 13-пространство X, то фактор-норма пространства '-y (ll) эквивалентна норме пространства X.
Пусть /?-пространства I. U2 вложены в ТВП Ф. Линейные множества U П U2 и U + U2 = {щ + и2 ¦ Uj € Uj, j = 1, 2} являются-пространствами относительно норм ([9], с. 15)
ll^llc/l Г1С/2 IMI^l 1111^2!
\и\и1 + и2 = 111 II Ui + 112 II у2}
(inf берется по всем представлениям и = щ + и2, Uj € Uj). Операции (функторы) П и + двойственны друг другу в следующем смысле: (U П U2)* = U* + U2*, (U + U2)* = U* П U2* [10].
Оператор 7 € L (U, X) называется ретракцией, если существует оператор ?3 € L (X, U), называемый коретракцией такой, что
7(Зх = х Ух € X,
т. е. оператор 7 — ретракция, если для него существует правый обратный на X, называемый коретракцией. Заметим, что оператор 7 € L (U, X) будет являться ретракцией с соответствующей коретракцией (3 G L (X, U) тогда и только тогда, когда сопряженный к (3 оператор (3* G L (U*, X*) будет ретракцией с соответствующей ему коретракцией 7* G L (X*, U*). Это следует из того, что произведение операторов 7/? G L (X, X) будет тождественным оператором в X тогда и только тогда, когда произведение /?*7* = (7(3)* G L (X*, X*) будет тождественным оператором в сопряженном X*.
Одним из содержательных и важных примеров ретракций в функциональных пространствах является оператор следа на некоторое многообразие. Для открытого множества П С Rn, р, q G (1, 00), s € (0, оо), мы используем стандартные обозначения: через W*(П) и (Cl) обозначаются пространства Соболева-Слободецкого и Бесова соответственно. Тогда, например, для П = i?" = {х = (xi, x2,…, хп) G Rn: хп & gt- 0}, х'- = (х1ух2,…, xn-i) отображение 7, задаваемое формулой
ди (х'-, 0) дти (х'-, 0)'-
& quot-I
является ретракцией пространства И/I (i?") на Д 1№*~11р~*(Кп~1), где т = тах{А: € Ъ: к & lt-
3=0
81/р} ([9], с. 267).
Для более короткой записи всюду в дальнейшем, когда это не вызывает недоразумений, для 7 € Ь (Ф, Ф) и II С Ф через 110 обозначается ядро сужения оператора 7 на II, т. е. 110 = кег7 П II. Отметим, что коретракция (3 осуществляет изоморфизм на дополнение к ядру 110 в
пространстве U ([9], с. 21) и пространство U представляется алгебраической и топологической прямой суммой U = UQ ф Р (Х). Дополняемость ядра есть характеризущее свойство ретракции, как показывает следующая
Лемма 1.1. Оператор у € L (U, X) является ретракцией тогда и только тогда, когда UQ дополняемо в U и область значений y (U) = X. Если эт, о выполнено и ж — оператор проектирования на U0, то отображение П, определяемое формулой
Пи = (жи, уи), (3)
осуществляет изоморфизм пространства U на UQ х X.
Доказательство. Необходимость. Из определения ретракции следует, что y (U) = X. Пусть ?3: X -«• U — коретракция для у. Определим оператор ж € L (U, U) формулой жи = и-(3уи. Тогда ужи = уи — у (3уи = уи — уи = 0, т. е. жи € UQ- кроме того, для и € UQ жи = и — (Зуи = и, откуда следует, что ж является проектором на U0.
Достаточность. Покажем сначала, что отображение П, определенное формулой (3), осуществляет изоморфизм пространства U на UQ хХ. Очевидно, оператор П непрерывен. Если Ти = О, то уи = 0, т. е. и € U0- с другой стороны, 0 = жи = и, откуда следует, что П взаимнооднозначен. Пусть теперь (и, х) € Uq х X — произвольный элемент. Так как y (U) = X, то найдется элемент w € U такой, что уw = х. Положим и = v + w — жи-. Тогда жи = жи + жw — ж2w = жи = v и уи = у и + уи- - ужи- = у и- = х, т. е. (и, х) = Пи. Тем самым установлено, что отображение П есть отображение „на“. Итак, оператор П взаимнооднозначно и непрерывно отображает U на UQ х X. По теореме Банаха об открытом отображении обратный оператор П-1 также непрерывен, т. е. П — изоморфизм.
Положим теперь (Зх = П-1(0, х) для каждого х € X. Очевидно, определяемый таким образом оператор ?3 линеен, непрерывен и, кроме того, (0, ж) = П (Зх = (ж (3х, у (3х), т. е. у (Зх = х, откуда по определению следует, что оператор 7 является ретракцией. ?
Замечание 1. Из леммы, в частности, вытекает, что топологические и структурные свойства В-пространства U такие, как сепарабельность, рефлексивность, существование базиса Ша-удера, изоморфность гильбертову пространству и т. п., определяются соответствующими свойствами ядра ретракции и ее области значений.
Замечание 2. Если полунорма р непрерывна на U и эквивалентна норме пространства U на ядре ретракции U0, то норма
и -& gt-• р (и) + ||7и||х
эквивалентна норме пространства U на всем U. Это следует из свойств отображения (3).
Замечание 3. Если у € L (U, X) и UQ дополняемо в U, то оператор у является ретракцией U на у (U). В частности, если оператор у имеет конечномерное ядро, т. е. dim U0 & lt- 00, то у является ретракцией U па у (U).
Замечание 4. Если пространство U изоморфно гильбертову пространству, то любое замкнутое подпространство этого пространства дополняемо в U. Из доказанного утверждения следует, что в этом случае любое непрерывное отображение из U на некоторое -В-пространст-во X будет являться ретракцией, причем само это пространство X с необходимостью должно быть изоморфно гильбертову пространству.
Всюду далее в этом пункте будем предполагать, что у есть ретракция U на X. Для и € U, и* € U* полагаем (и, и*) = (u, u*)v = и*(и).
Лемма 1.2. Для любого линейного непрерывного функционала и* € II* существует единственная пара V* € 110*, х* € X* такая, чт, о
(и, и*)и = (жи, у*)и0 + (уи, х*)х Уи € II. (4)
Очевидно, справедливо и обратное: каждая пара (у*, х*) € 110* х X* формулой (4) определяет, линейный непрерывный функционал и* & amp- II*.
Доказательство. Сопряженное к декартовому произведению 110хХ естественным образом отождествим с 110* х X* отношением двойственности
((г-, ж), (у*, х*))иохХ = {г', г& gt-*)г7о + {х, х*)х
для V € 1/0, х € X, и* € ?7о*, ж* е X*. По лемме 1.1 оператор в формуле (3) является изоморфизмом 1/ на 170 хХ, следовательно, сопряженный оператор П* является изоморфизмом 110* хХ* на II*. С каждым элементом и* € II* формулой (у*, х*) = П*-1"* свяжем пару (у*, х*) € 110* х X*. Тогда для и € II имеем следующую цепочку равенств:
(и, и*)1- = & lt-„, П*('-о*, х*))1- = {Ти, (у*, х*))иохХ =
= {(жи, уи), (у*, х*))и0хх = {пи, у*)ио + (уи, х*)х, что доказывает как разложение (4), так и его единственность. ?
Замечание. Из формулы (4) следует, что для и € 110
{и, и*)и = {ж и,'-о*)щ = {и, у*)и0, т. е. функционал V* € 110* есть сужение функционала и* € II* на подпространство 110.
В следующей теореме дается критерий плотности подмножества в терминах ядра ретракции и ее области значений.
Теорема 1.1. Для того чтобы линейное множество Ь С II было плот, но в II, необходим, о и достаточно, чтобы заммкание I содержало ядро 110 и множество у (Ь) было плот, но в X.
Доказательство. Необходимость. Так как замыкание Ь совпадает с II, то оно содержит в качестве подпространства ядро 110. Далее, по лемме 1.1 оператор П, определяемый формулой (3), есть изоморфизм II на 110 хХ, следовательно, множество П (Ь) плотно в последнем пространстве, следовательно, у (Ь) плотно в X.
Достаточность. Пусть М — замыкание Ь в II. Нужно показать, что М = II- последнее равносильно тому (в силу замкнутости М), что если и* € II* - любой функционал такой, что М С кеги*, то и* = 0. Итак, пусть и* € II* и М С кеги*. По предыдущей лемме для и* найдется пара элементов (у*, х*) € 110* х X*, для которой будет справедлива формула (4). Так как по условию 110 С М, то, подставляя в эту формулу элементы и € 110, получим (и, '-и*)и0 ~ 0 Уи € 110, т. е. V* = 0. Но тогда (уи, х*)х = 0 Уи? Ь С М. В силу плотности у (Ь) в X из последнего тождества заключаем, что х* = 0. Из представления (4) теперь следует и* = 0. ?
Лемма 1.3. Пусть линейное множество Ь С II плот, но в II и Ь (][10 плот, но в 110. Если и € II и уи € '-у (Ь), то для произвольного е & gt- 0 найдется ие € Ь такой, чт, о
Цв ^ и?\и & lt-? 11 уие = уи.
Доказательство. Пусть элемент и € II и уи € у (Ь), т. е. найдется и- € Ь, что у и- = уи. Тогда V = и — и- € 110. Для произвольного е & gt- 0 найдем элемент ие € Ь П 110 такой, что ||г& gt- - & lt- е.
Положим ие = ие + и- € Ь. По построению
\и — '-МеЦу = Цг? — & lt- е и уие = уие + уи- = уи- = уи. ?
В качестве иллюстрации к лемме рассмотрим пространство Соболева 1 & lt- р & lt- оо, и
Г = д?2 € С°° (О — ограниченное множество). Пусть уи = иг- Оператор у является ретракцией из И^(О) на Как известно, класс функций С°°(П) плотен в И^(П), а множество
__ О
финитных функций С?°(П) С С'-00(0)Р|кег7 плотно в подпространстве И^(О) = (О) П кег7.
Пусть функция и € И^(Г2) и уи € С°°(Г). По теореме для ит = у и найдется сколь угодно близкое к и в метрике пространства Т?^(П) продолжение с Г на О из класса С'-°°(П).
2. В-пространства с нормой графика
Как и в п. 1, здесь также предполагается, что оператор у € ?(Ф, Ф). Пусть II С Ф и X С Ф
— два 13-пространства. Определим пространство
у (и, X) = {и (Е11: уи (Е X},
наделенное нормой графика
1М17 (и, х) = Ыи + Ит^Их- (^)
Из определения нормы (5) и полноты пространств II, X с очевидностью вытекает, что у (11,Х) является-пространством, непрерывно вложенным в пространство II, причем у (11,Х) = II тогда и только тогда, когда у (11) является подмножеством пространства X.
Далее установим некоторые общие свойства пространств у (11,Х) в терминах ''усиливаемого“ пространства II и „усиливающего“ X при фиксированном отображении у € ?(Ф, Ф).
Теорема 2.1. Для пространства V = у (11,Х) справедливы следующие утверждения:
(?) оператор у непрерывно отображает V на X Пу (11) —
(И) отображение и -& gt-• (и, уи) осуществляет изометрию V на замкнутое подпространство пространства II х X.
Если, кром, е того, 110 = кег7П II дополняемо в V, то
(ш) сужение у на V есть ретракция V на X Пу (11) —
(?у) отображение (3), где ж — проект, ор на 110, есть изоморфизм V на 110 х (X Пу (11)) —
(у) V плот, но в II тогда и только тогда, когда X Г) у (II) плот, но в у (II).
Доказательство. Утверждения (?), (И) непосредственно вытекают из определения нормы
(5).
(Ш), (?у). В силу (?) 7 € Ь (у, ХПу (11)), причем у (у) = ХПу (II). Из леммы 1.1 следует теперь, что 7 есть ретракция V на X Г) у (II) и отображение (3) есть изморфизм V на 110 х (X Г) у (II)). Утверждение (у) следует из теоремы 1. 1, т. к. V Э 110 и у (V) = X Пу (11). ?
Замечание. Если подпространство 110 С V дополняемо в II, то оно дополняемо и в пространстве V.
Следствие 1. Пусть V С II, X С Ф. Для того чтобы V = у (11,Х), необходимо и достаточно, чтобы сужение 7 на V непрерывно отображало V на X П у (11) и было выполнено включение ЩСУ.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы.
Достаточность. Из условия следует, что V С у (11,Х). Пусть и € у (11,Х). Так как у (У) = X П у (II), то найдется такой элемент V € V, что уи = у V. Но тогда в-„? кег7 П II = 110 С V. Отсюда и = V + (и — и) € V. В силу произвольности и заключаем, что множества V и у (11,Х) совпадают между собой. Так как норма усиленного пространства у (11,Х) слабее нормы V, то из теоремы Банаха об открытом отображении следует, что нормы пространств V и у (11,Х) эквивалентны. ?
Следствие 2. Пусть V = у (И, Х). Для того чтобы подмножество К С V было относительно компактным в V, необходимо и достаточно, чтобы К было относительно компактным в [/ и 7(К) было относительно компактным в X.
Доказательство следует из утверждения (И) теоремы 2.1.
Из утверждения (И) теоремы 2.1 вытекает также, что если пространства 17 и X оба обладают одним из таких свойств, как сепарабельность, рефлексивность, изоморфность гильбертову пространству, то соответствующим свойством будет обладать и пространство V = у (11,Х). ?
Следствие 3. Пусть 110 дополняемо в пространстве V = у (11,Х). Для того чтобы линейное множество Ь было плотно в пространстве V, необходимо и достаточно, чтобы замыкание Ь в У содержало подпространство 110 и множество '-у (Ь) было плотно в пространстве X О'-у (и).
Доказательство. По теореме оператор 7 является ретракцией пространства V на пространство У = X Р|7(II). Поэтому утверждение немедленно следует из теоремы 1.1. ?
Пример. Пусть О С й“ — открытое множество с границей дП € С°°. Тогда оператор следа 7″ = и|оп является ретракцией пространства на Ш1!р (дО,) ([11], с. 103). Пусть д €
(1, оо), д & gt- (п-1)р/п. Тогда Ш^(дО,) непрерывно и плотно вложено в Ш1!р (дО,). Из доказанной выше теоремы следует, что усиленное пространство Соболева
= 7(^(П), ШЦдЯ)) = {и € Ида: 7″ € W1q (дЯ)}
будет сепарабельным рефлексивным-пространством, непрерывно и плотно вложенным в пространство Соболева Жр (Г2), причем оператор следа на & lt-ЭП является ретракцией Т1 на Ш^(дО,). Если р = д = 2, то усиленное пространство Соболева Т1 будет гильбертовым пространством.
Теорема 2.2. Пусть 7 € Ь (11,Х) — ретракция и ?3 € Ь (Х, 11) — соответствующая 7 корегпракция. Если В-прост, ранет, во 7 С Ф, то для пространства V = у (II, У) имеет место двойственная формула
и* = [3*(У*, Х*), т. е. II* есть усиление V* полунормой \(3*у* ||х».
Доказательство. Как было отмечено в п. 1, сопряженный к коретракции ?3 оператор
/3* € Ь (11*, Х*)ПЬ (У*, У*)
является ретракцией как из II* на X*, так и из V* на (X П У)* = X* + У* (в силу утверждения (И) теоремы 2. 1). Поэтому для и* € II* имеем
II *11 11*11 111(0**11 ^ 11 * 11
Ц'-И IIр*(у*, х*) — 11^ Ну* 11 $ '-и \х* - сЦи \и* ¦
Отсюда следует включение II* С (3*(У*, Х*). Пусть и* € (3*(У*, Х*) — произвольный элемент, т. е. ?3*и* € X*. Нужно установить, что и* € 17*. Формула жи = и — (З'-уи определяет проектор на 1/0. Через V* € Щ* обозначим сужение и* на 110. Тогда для и ?17 имеем
{и, и*)у = (жи, и*)у + (/Зуи, и*)у = (жи, У*)щ + {уи,(3*и*)хпу-
Отсюда (т.к. (3*и* € X*) вытекает непрерывность и* в топологии пространства II, т. е. и* € II*. В силу произвольности и* € (3*(У*, Х*) это доказывает теорему.
Теорема 2.3. Пусть Ш непрерывно и плот, но вложено в II, 7 является ретракцией на Ш и на II и пусть X = у (Ш). Тогда Ш плот, но в V = у (СГ, Х) и V плот, но в II, причем, для любого и € V и произвольного е & gt- 0 найдется а?? 1? такой, чт, о
\и ^ и?\у & lt-? и уи? = '-уи.
Доказательство. Так как IV С II, то X С ^(17), а потому X = 7(V) (утверждение (?) теоремы 2. 1). Пусть (3 € Ь (Х, УУ) — коретракция для 7 € НуУ, X), т. е.
7(Зх = х Ух € X.
Но тогда отсюда и из равенства X = 7(V) по определению следует, что 7 есть ретракция из V на X с соответствующей коретракцией (3 € Ь (Х, У). Поскольку У У плотно в II, то X = 7(УУ) плотно в 7(II). По утверждению (у) теоремы 2.1 пространство V плотно в II.
Положим для и € II жи = и — (З'-уи. Оператор ж является проектором в 1^ на Р|кег7, а также в V и II на V Г|кег7 = II Р|кег7. Следовательно, ж (УУ) = УУ Г|кег7 плотно в ж (У) = ж (11) = V Р|кег7. Возьмем произвольный элемент и € V. Найдется такое го € Ш, что уш = '-уи. Тогда V = и — и- € V Р|кег7. Для произвольного е & gt- 0 найдем ие € УУ Р|кег7 такой, что ||г& gt- - уе\у & lt- е. Положим ие = ие + и- € И. По построению \и ^ ие\у = ||г? — г? е||^ & lt- г и 7ие = '-уи? + 7го = 7го = '-уи. ?
Следствие. Пусть Ш непрерывно и плотно вложено в II и задано конечное семейство линейных непрерывных функционалов и* € II*, % = 1, т. Тогда для любых и € II и е & gt- 0 найдется «. еИ7 такой, что
И» — & lt- е и {ие, и*)и = {и, и*)и Уг = 1, т.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что функционалы и* образуют линейно независимое множество. Формулой
7 и = ((и, и*)и),=1}т
определим линейный непрерывный оператор из II на Кт. В силу конечномерности, 7 является ретракцией на И7 и на II. По теореме для любых «е7 = '-У {и, Нт) = II и е & gt- 0 найдется такой, что \и — „еЦу & lt-? и '-ущ = '-уи. ?
В следующей теореме устанавливается интерполяционное свойство усиленных пространств.
Теорема 2.4. Пусть II) С Ф, С 7(11^ и II^ Пкег7 дополняемо в II) для г] = 1, 2. Тогда для произвольного интерполяционного функтора -Р имеет место равенство
Р{1(и1,Х1), 1(и2,Х2)}=1(Р{и1,и2}, Р{Х1,Х2}).
Доказательству теоремы предпошлем два вспомогательных утверждения.
Лемма 2.1. Пусть оператор ж € Ь ([1, II) — проект, ор (т. е. ж2 = ж). Если V С II и ж (у) С V, то ж € ?(У, У) является оператором проектирования на подпространство ж (V) = У Г)7г (?7).
Доказательство. Ясно, что ж (У) С V П тг (?7). С другой стороны, если V € V П ж (11), то найдется элемент и & amp- II такой, что V = жи. Тогда V = жи = ж2и = ж (жи) € тг (^). Это доказывает, что ж (V) = УП ж (II). ?
Лемма 2.2. Пусть II^ С Ф и ж € Ь{11^, 11^) является проектором, в II^ {] = 1,2). Положим, Ш = ж (111 + 112). Тогда для произвольного интерполяционного функтора -Р имеет место равенство Р{11 П У?, 112 П У?} = Р{11, 112} П У?.
Доказательство утверждения можно найти, например, в ([9], с. 138).
Доказательство теоремы 2.4. Введем обозначения
и = Р{и1,112}, Х = Р{Х1,Х2}, 1}=7 (17,-), У = Р{УЬУ2},
з = 1,2, У = Р{У1,У2}.
Необходимо показать, что V = у (11,Х). Поскольку V} С 11 $, то V С II. Далее, т. к. 7 € Ь (У^, Х^)
— ретракция (утверждение (Ш) теоремы 2. 1), то 7 является также ретракцией, как II на У, так и V на X С У ([9], с. 21). По следствию 1 теоремы 2.1 осталось показать, что кег7П II С V. Положим жи = и — (З'-уи для и € 11 + 112, где ?3 € Ь (У1 + У. / '-| + и2) — коретракция для 7. Как
видно из доказательства леммы 1. 1, оператор 7 Г проектирует иг + 112 на Ш = (II + 112) П кег7,
а также каждое II^ на II^ П кег7 и II на II П кег7. Но согласно лемме 2.1 II^ П кег7 = II^ П Ш и
II П кег 7 = 11 Г) IV. Теперь по лемме 2.2 получаем
ГПкегт СПИ'- /-'-{Г, П IV. IП IV).
Поскольку и5 ПШ = 11, П кег 7 С У5, то II П кег 7 = П И7,112 П Ш} С Р{У1,У2} = V. ?
Установим условия компактного вложения одного усиленного пространства в другое.
Лемма 2.3. Если прост, ранет, во 112 ком, пакт, но вложено в 11х (т. е. единичный шар пространства 112 от, носит, ельно ком пакт ен в прост, ранет, ее II1), то прост, ранет, во у (112) компактно вложено в 7(^1).
Доказательство. Пусть К = {и? 112: \и\и2 & lt- 1}. Множество К открыто в 112, с другой стороны, К относительно компактно в 11 г. По теореме Банаха об открытом отображении (см., напр., [12], с. 112) оператор 7 является открытым отображением 112 на 7(112). Поэтому 7(К) является окрестностью нуля в 7(112). С другой стороны, непрерывный оператор переводит относительно компактные множества в относительно компактные. Поэтому 7(К) относительно компактно в 7(111). Таким образом, 7(К) является окрестностью нуля в пространстве 7(112), которая относительно компактна в пространстве 7(111). Это доказывает компактность тождественного отображения из 7(112) в 7(^1), т-е- компактность вложения 7(112) в 7(^1) —
Теорема 2.5. Пусть 112 С 11 С Ф, Х1, Х2 С Ф. Введем обозначения: V, = 7(11,Х,), II= IIз Пкег7. Справедливы следующие утверждения:
(?) если 112 ком, пакт, но вложено в 11 и Х2 П 7(112) ком, пакт, но вложено в Х1- то У2 компактно вложено в Уг-
(И) если У2 ком, пакт, но вложено в У1- то 112:0 ком, пакт, но вложено в и Х2 Г7(112) компактно вложено в Х П 7(^/1) —
(Ш) если каждое из 11^$ дополняемо в Vj, то утверждение (И) обратимо.
Доказательство. Положим У, = П 7(II?).
(?). Пусть К — единичный шар пространства У2. Тогда К ограничено в 112 и, следовательно, относительно компактно в и±. Далее, 7(К) ограничено в У2 и потому, как следует из условия, относительно компактно в Х. Из следствия 2 теоремы 2.1 теперь вытекает относительная компактность К в Уг.
(И). Так как 11^}0 замкнуто в У^, то из компактности вложения У2 в У следует компактность вложения 112}й в 11}о. Поскольку 7(Т^-) = У^, то из леммы 2.3 следует, что У2 компактно вложено в У1.
Утверждение (Ш) является очевидным следствием утверждения (?у) теоремы 2.1. ?
Следствие. Пространство 7(11, X) компактно вложено в II тогда и только тогда, когда подпространство 110 = II П кег 7 конечномерно и X П у (II) компактно вложено в 7(II).
Доказательство. В силу утверждения (И) теоремы, из компактности вложения 7(11, X) в II = 7(11,7(11)) вытекает, что, во-первых, 110 компактно вкладывается само в себя, что может быть только в случае его конечномерности- во-вторых, X П 7(11) компактно вкладывается в 7 (Щ. ?
Теорема 2.6. Рассмотрим следующие утверждения:
1) 7(11, X) компактно вложено в II-
2) X 07(11) компактно вложено в 7(II) —
3) множество X П 7(11) зам, кнут, о в X-
4) на множестве X П, у (С/) норм, а пространства j (U) слабее нормы X, т. е. для некоторой постоянной с & gt- 0 имеет место неравенство
\x\j (u) ^ c||?||x V? G X Пу (и) —
5) для некоторой постоянной с & gt- О справедливо неравенство
infill“ + v\Tj: v G UQ} & lt- c||7"||x Уи G j (U, X) —
6) для некоторой постоянной с & gt- О справедливо неравенство
inf{||» + v\1^u: v G UQ} & lt- с||7"||х Уи G j (U, X).
Тогда им, еют место импликации 1) =^& gt- 2) =^& gt- 3) 44- 4) 44- 5) 44- 6).
Лемма 2.4. Если В-пространства X, Y С f таковы, чт, о X П Y ком, пакт, но вложено в Y, то ХП Y зам, кнут, о в X, или, чт, о равносильно, на множестве ХП Y норм, a Y слабее нормы X.
Доказательство. Нужно показать, что
11ж11у & lt- с\х\х V? G 1П Y.
Если это не так, то для каждого натурального n & gt- 1 найдется элемент xn G X П Y такой, что ll^nlly & gt- п\хп\х- Положим уп = жп/||жп||у. Тогда для каждого n & gt- 1 ||yn||y = 1 и ||у"||х & lt- 1/п, откуда следует, что последовательность (уп) ограничена в ХП Y. Разрежая, если это необходимо, последовательность (уп), добьемся ее сходимости в У к некоторому элементу у G У (это можно сделать в силу компактности вложения X DY в У). Так как ||yn||y = 1, то и ||у||у = 1. С другой стороны, уп -У U в X, а потому уп -& gt-• 0 в Ф. Так как У непрерывно вложено в Ф, то у = 0, что противоречит равенству ||у||у = 1. Полученное противоречие доказывает лемму.
Доказательство теоремы 2.6. Импликация 1) =4& gt- 2) установлена в следствии теоремы 2.5. Импликация 2) =Ф& gt- 3) получается из леммы 2.4.
Докажем, что 3) равносильно 4). Замкнутость-пространства X в X равносильна
тому, что на X П7(I7) нормы ||ж||7(^ + ||ж||х и ||ж||х эквивалентны, что в свою очередь равносильно 4).
Эквивалентность 4) 44- 5) вытекает из равенств inf{Цад + «11^: v G U0} = Уи G U и
7(7(U, X))=Xn7(U).
Эквивалентность 5) 6) следует из определения нормы пространства j (U, X). ?
Как показывает следующий пример, теорема 2.6 обобщает на абстрактные Р-пространства хорошо известную в теории пространств Соболева теорему Дени-Лионса.
Пример. Пусть fi С Rn — область со свойством конуса. Для мультииндекса i = (г1- i2, ¦ ¦ ¦, гп) через D1 обозначим оператор дифференцирования порядка |г| = ii + %2 + • • • + %п. Линейное отображение ju = (Оги)щ=т (т — натуральное число) непрерывно как отображение из пространства D'-(fi) в D'-(Cl)N, где N — мощность множества мультииндексов i таких, что |г| = т. Пространство Соболева W™(fi) (1 & lt- р & lt- оо) можно рассматривать как усиленное пространство j (U, X), где U = Lp (fi) С Ф = D'-(fi) и X = LP (U)N С Ф = D'-(U)N. Заметим, что ядро ker7 совпадает с пространством полиномов PTO (fi) степени меньшей т по совокупности переменных ([13], с. 64), следовательно, конечномерно и дополняемо в Lp (fi). Из компактности вложения W™(fi) = j (U, X) в Lp (fi) = U следует (в силу импликации 1) =^& gt- 6) теоремы 2. 6) оценка
infill» + v\Wpm (n): v G Pro (fi)} & lt- с Y, \D4lp (u) V" G Wp& quot-*(fi).
i=m
Это неравенство и является содержанием теоремы Дени-Лионса.
Следствие. Пусть Z — некоторое нормированное пространство и А: у ([1,Х) -& gt-• Z — непрерывный оператор, причем Аи = 0 при и € 110. Если X П у (и) замкнуто в X, то справедлива оценка
\Аи\2 & lt- с\уи\х Уи? у (и, Х).
Доказательство. Для произвольного элемента V € 110 имеем при фиксированном и €
7 (и, Х)
11^-«11.г = & quot-I- ^)11.г — 11^-11 11″ ^117(?7,х)'
откуда получаем
||А"||2 & lt- ||А|| ?п?{||» + ¦и||7(уХ): V € Щ} & lt- с\у. !,\х.
Последнее неравенство справедливо в силу теоремы. ?
Пример (лемма Брэмбла-Гильберта). Применим следствие к пространству Соболева (см. предыдущий пример). Пусть линейный оператор, А непрерывно действует из УУ™(?1) в некоторое нормированное пространство Z. Если ядро оператора, А содержит пространство полиномов РТО (П), то имеет место неравенство
\Аи\2 & lt- с? т,\Ьр (щ Уи € W?(n).
г=т
Теорема 2.7. Пусть подпространство 1/0 = кег у Г) I'- дополняемо в V = у (и, Х) и X П'-у (и) зам, кнут, о в X. Если непрерывная на V полунорма р эквивалентна на 1/0 норме II, то функционал и -& gt-• р (и) + ||7"||х является нормой на V, эквивалентной норме усиленного пространства V.
Доказательство. Функционал и -& gt-• р (и) + ||7"||х, очевидно, является нормой, которая в силу непрерывности полунормы р слабее нормы усиленного пространства V. Нужно показать, что норма V оценивается сверху нормой и -& gt-• р (и) + ||7"||х! помноженной на некоторую постоянную. Пусть ж — оператор проектирования V на 1/0. Тогда оператор А: V -& gt-• V, действующий по формуле Аи = и — жи, непрерывен и удовлетворяет условию Аи = 0 при и € 110. В силу следствия предыдущей теоремы имеем оценку
||^4"||у ^ со||7"11х е V-
Используя эту оценку и то, что полунорма р на 170 эквивалентна норме 17, получаем цепочку неравенств
1М1 у & lt- 1М1у + ||^4"||у ^ Сгр (жи) + ||Ац||у & lt- Сгр (и) + с1р (Аи) + ||Ац||у & lt-
& lt- Сгр (и) + С2\Аи\у & lt- Ср (и) + с2Со||7"||х & lt- с (р (и) + ||7"||х) — ^
Следствие. Пусть, у (и, Х) компактно вложено в 17. Если непрерывная на у (и, X) полунорма р такова, что кегр П 170 = {0}, то функционал и -& gt-• р (и) + ||7"||х является нормой, эквивалентной норме усиленного пространства у (и, X).
Доказательство. В силу следствия теоремы 2.5 подпространство 170 конечномерно, поэтому из условия кегр П 170 = {0} следует, что сужение р на 170 является нормой. Так как на конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, то на 170 полунорма р эквивалентна норме пространства 17. Далее, в силу теоремы 2.6 подмножество X 0^(17) замкнуто в X. Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. 7, применение которой к рассматриваемому случаю доказывает утверждение.
Пример (теорема Соболева об эквивалентных нормировках). В качестве иллюстрации снова рассмотрим пространство Соболева 1?™(П) как усиленное пространство у (17,Х), где уа =
(D%u)|?|=TO, U = Lp (fi), X = Lp (il)N. В данной реализации доказанное выше утверждение дает хорошо известную теорему Соболева о перенормировках: если полунорма р непрерывна на
W™(Q) и kerj) П Рт (й) = {0}, то норма
и-& gt-р (и)+ Y II^IUp (0)
i = m
эквивалентна норме пространства И7™(fi).
Литература
1. Антонцев C.H., Мейрманов А. М. Математические модели движения поверхностных и подземных вод. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979. — 79 с.
2. Глазырина JI. JL, Павлова М. Ф. Разностная схем, а решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Изв. вузов. Математика. — 1984. — № 9. — С. 72−75.
3. Глазырина JI. JI., Павлова М. Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 4. — С. 20−31.
4. Даутов Р. З., Карчевский М. М., Федотов Е. М. Об одном методе решения трехмерных стационарных задач типа сосредоточенной емкости // Тез. докл. Всесоюзн. конф. «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики», Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. -1987. — С. 68.
5. D’akonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. — Boca Raton, 1996.
6. Дьяконов Е. Г. Новых подход к краевым условиям Дирихле, основанный на использовании усиленных прост, ранет, в Соболева // Докл. РАН. — 1997. — Т. 352. — № 5. — С. 590−594.
7. Дьяконов Е. Г. Усиленные прост, ранет, ва Соболева и некоторые новые типы эллиптических краевых задач // Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33. — № 4. — С. 532−539.
8. Дьяконов Е. Г. Оценки N-поперечников в смысле Колмогорова для некоторых ком, пакт, ов в усиленных прост, ранет, вах Соболева // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 4. — С. 32−50.
9. Трибе ль X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 с.
10. Aronszain N., Gagliardo E. Interpolation spaces and interpolation methods // Ann. Mat. Pura Appl. — 1965. — V. 68(4) — P. 51−117.
11. Necas J. Les Methodes Directes en Theorie des Equations Elliptiques. — Masson, Paris/Academia, Pragua, 1967. — 346 p.
12. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
13. Соболев C. JI. Избранные вопросы теории функциональных прост, ранет, в и обобщенных функций. — М.: Наука, 1989. — 254 с.
Казанский государственный Поступила
университет 19. 11. 2001

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой