Асимптотические формулы для дробных моментов некоторых рядов Дирихле

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 1 (2013)
УДК 511
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДРОБНЫХ МОМЕНТОВ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ 1
С. А. Гриценко, Л. Н. Куртова (г. Белгород)
Аннотация
Пусть V — натуральное число, Ф (Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Получены асимптотические формулы

для дробных моментов дзета-функции Римана вида / |?(а + И)2/т (И при
Т
2 + ТпТ ^ а & lt- 1, а также для дробных моментов функций Ь (в) степени 2 2Т
из класса Сельберга / Ь (а + И)2/тй1, при 2 + -Ф (ПТ!Т ^ а & lt- 1 в предположении гипотезы Сельберга.
ASYMPTOTICAL FORMULA FOR FRACTIONAL MOMENTS OF SOME DIRICHLET SERIES
S.A. Gritsenko, L.N. Kurtova
Belgorod State University,
Pobedy str., 85, Belgorod, 308 015, Russia
Abstract
Let v € N. Let the function $(T) arbitrarily slow tend to with T ^ +rc& gt-. The asymptotical formulas for fractional moments of the Riemann zeta-
2T
function J |((a + it)2/vdt for ½ + $(T)/lnT ^ a & lt- 1 and for fractional
T
moments of the arithmetical Dirichlet series of second degree from Selberg'-s 2T
class / L (a + it)2/vdt for ½ + $(T)/^KT & lt- a & lt- 1, are obtained.
T
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», госконтракт 14. A18. 21. 0357
1 Введение
Пусть к — неотрицательное вещественное число, 2 ^ а & lt- 1, Т ^ 2. Интеграл вида

4(а, Т|С (а + гі)2кМ т
будем называть моментом дзета-функции Римана степени 2к.
Определим мультипликативную функцию dk (п) из равенства
& lt-км = П (і - ^)-к = ?Щ (*8& gt- і) —
р п-1
Хорошо известно, что при, а & gt- ½ справедлива асимптотическая формула Ііт 1 I К (а + гі)2кdt * ¦ Т ^(П)
ііт. і" (а і it) dt Г^-1 у
т^ж Т /і ^ п2а
1 п=1
(см., например, [1], [2], [3, глава 7]).
В 1981 году Р. Т. Турганалиев [4] на основе одной идеи С. М. Воронина оценил в этой асимптотической формуле остаточный член и доказал, что при 0 & lt- к & lt- 2, 1 & lt- а & lt- 1 справедливо равенство

К (а + й)?2 Л = Т Т ЩПІ + 0(Т1-К), (1)
Т п- 1
где к = к (а, к) & gt- 0.
В формуле Турганалиева параметр, а & gt- 2 фиксирован, то есть не зависит от основного параметра Т.
Для приложений особый интерес вызывает случай, когда, а равно | или хотя бы стремится к 2 справа с ростом Т. В 1985 году И. Ш. Джаббаров [5] доказал, что равенство (1) справедливо при
1 1о§ 1о§ 1о§ Т
2+ 1о§ 1о§ Т ^ а '-
Получена асимптотическая формула для I^(а, Т) в частном случае, когда к = т, т Е N. Важно отметить, что параметр к фиксирован (не зависит от Т). Наша формула справедлива при весьма близких к 2 значениях, а ив этом смысле представляет собой уточнение цитированных выше теорем.
Теорема 1. Пусть т — натуральное число, Ф (Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Тогда при 2 + ^ а & lt- 1
справедлива асимптотическая формула
2T
^(а і it^dt = T V d±mn) + O (t (а — 1)-1/m2e-0& gt-1*(TЛ •
n^ V 2
T n=1 4 7
В 1989 году А. Сельберг [6] в своем докладе на конференции в Амальфи определил класс Б рядов Дирихле
СО
L (s) = E n& gt-, («& lt->- 1),
ns
n=1
удовлетворяющих следующим условиям:
1) функция (в — 1) тЬ (в) является целой функцией конечного порядка при некотором т ^ 0-
2) коэффициенты Дирихле а (п) удовлетворяют соотношениям
a (1) = 1, a (n) n?
для любого положительного е и всех п ^ 1-
3) при Кв & gt- 1 функция Ь (в) раскладывается в эйлерово произведение:
Ь (в) = ]^[(1 + а (р)р-3 + а (р2)р-23 ±-),
р
р пробегает простые числа,
log L (s) = ^ М
ns
n=1
где b (n) = О, если n не равно положительной степени простого числа, причем b (n) ^ ne для некоторого в ^ ½-
4) L (s) удовлетворяет функциональному уравнению вида
Л (в) = Л (1 — в),
где
к
Л (в) = пА п Г (Л3в)Ь (8)
3=1
и
п = 1, А & gt- 0, Л3 & gt- 0, Щ & gt- 0.
В статье [7] для любой функции Ь (в) из Б определена степень Ь (в) следующим образом:
к
йь = 2^ Лз.
3=1
Для примитивных (не представляющихся в виде ?1(5)?2(5), Ь1(в)? Б, ?2(5)? Б) функций из класса Б А. Сельберг высказал в работе [6] ряд гипотез, в частности следующую:
Гипотеза. При х ^ ж справедлива асимптотическая формула
будем называть моментом функции Ь (в) из класса Сельберга 5'- степени 2к.
Вторым основным результатом данной статьи является вывод асимптотической формулы для дробных моментов 1'-1/т (а, Т), т? N функций Ь (в) из класса Сельберга, в, ь = 2. Эта задача представляет трудность потому, что в отличие от? (в) точная верхняя оценка дробных моментов для таких функций на критической прямой не известна.
Теорема 2. Пусть т — натуральное число, Ф (Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к при Т ^ функция. Тогда при 2 + ^ а & lt- 1
в предположении гипотезы Сельберга (2) справедлива асимптотическая формула
Введем некоторые обозначения. Пусть N — натуральное число. При доказательстве теоремы 1 считаем, что N ^ T/ log T. При доказательстве теоремы
(2)
T
2 полагаем N & lt- TeA'-/*nT.
N
SN (s) =2 d1|m (n)n ^ g (s) = Z (s) — SN (s) —
n=1
N
SN (s) =2 a (n)n s, g1 (s) = L (s) — Sm (s).
n=1
Определим интегралы:
СЮ сю
I (а) = / Бм (а + it)2w (t)dt, I'-(а) = / Б'-М (а + И)2'-ю (1)& amp-,
— С — С
ОС ОС
1 (а) = j |((а + it)2/mw (t)dt, J'-(а)= j Ь (а + it)2/mw (t)dt,
— С — С
2 Т
где w (t) = / e-2(t-т)2/mdт.
Т
Функция w (t) обладает следующим свойством: w (t) ^ е-(+Т)/т, если Ь ^ 0, t ^ 3 Т, w (t) ^ 1 в остальных случаях.
2 Леммы
Лемма 1. ([8]). Пусть f (в) — регулярная в полосе, а & lt- Кв & lt- в и непрерывная в полосе, а ^ Кв ^ в функция. Предположим, что f (в) ^ 0 при Ов ^ то равномерно по, а ^ Кв ^ в. Тогда при, а ^ 7 ^ в и д & gt- 0 имеем:
в — 7 ¦у -а
с / с в-а / ос в-а
Уfь + ^^^ (у f (а + ^у!f (в + ^^
-Ю -Ю -Ю Лемма 2. ([9]). Для любых комплексных чисел ап справедливо равенство
Т
N
а
?
апп
п=1
N
2
dt = (Т + 0(Ы))^2 ап
ап
п=1
Лемма 3. Пусть 0 & lt- а ^ 5, а — 1 & gt- 0,01, N ^ т. Тогда справедливы
5
4 & gt-
неравенства:
д (а + и)2/т & lt- 1 + (Ь — т)2 + т2,
д'-(а + й)2/т & lt- 1 + (Ь — т)2 + т2. Доказательство. Из определения д (а + и) имеем
д (а + й)2/т & lt- К (а + й)2/т + ^ (а + й)2.
Докажем, что К (а + й)2/т ^ 1 + Ь2.
Если Ь ^ 2п, это очевидно, так как, а — 1 & gt- 0, 01.
Если Ь & gt- 2п, воспользуемся известной формулой
11-О-
с (а + й) =2 ~О+^ + -1+7 + 0(х-01о§ х),
пО+г, а — 1 + п
п^х
2
где х = П (см., например, [10] с. 72). Оценивая правую часть тривиально, приходим к неравенствам
с (а + й)"Щ, с (а + й)2/т «1+ г2.
Сумму Б^ (а + й) оценим тривиально:
N
і о /, -+м ^ ^ в1/т (п)
(а + гі)
П=1
Поскольку функция d1/m (n) мультипликативна и
— (- + 1) ••• (- + V — 1)
0 & lt- Ах/тР) = -т----------- ^ 1
(р — простое число, V ^ 1), то имеем 0 & lt- d1/m (n) ^ 1. Поэтому
N 1
^(а + а)2 «ЁПО)2 & lt- N2 & lt- т2.
1 п
п=1
Получено неравенство
д (а + и)2/т «1 + I2 + т2 «1 + (г — т)2 + т2.
Неравенство для д'-(а + %Ь)2/т доказывается аналогично. Необходимо только выбрать т таким, что N1+? ^ т.
Лемма 4. Пусть 0,49 ^ а ^ а ^ 7 ^ в, 1,1 ^ в ^ 2. Тогда справедливы неравенства:
в — а, ,., а -а к (в — а) _ _ (а — а)
а! К (Я)в -а + ТЬР 4 т (в -а) + Т5Р 4 т (в -а)
X (а) ^ {К (а)} в-а {К (в)} в-а + Т е 4 т (в-а) + Т е 4 т (в-а)
в — а, а -а г- Т2 (в -& amp-) _ Т2 (у -а)
К (а) {К (а)} в-а {К (в)} в-а + Те 4 т (в-а) + Те 4 т (в-а)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем первое неравенство. Доказательство второго неравенства проводится аналогично, необходимо лишь заменить д (г) на д'-(г). Положим в лемме 1 Ц (г) = (г — 1) д (г)е (г-гт'-)2, где т Є [Т, 2Т].
Пусть к — одно из чисел а, а, в. Тогда
те Зт/2 / т/2 Зт/2.
J f (к + гі)2/тві = J ц (к + гг)2/т ві + | ^ | ц (к + гі)2/тві.
— те т/2 -те те /
Оценим два последних интеграла. При і Є (-ж, т/2) и (3т/2, +ж) в силу леммы 4 имеем:
Ц (к + И)2/т ^ (1 + (і - т)4 + т4) е (--) е-.
Тогда
т/2 Тт/2
+) 1'-(к + it)2/mdt «т4е 4 т.
ЮЮ
следовательно,
и (к + Щ2/т АЬ «т2/т I д (к + й)2/те-2(-)2/гпАЬ + т 4е-^
Пользуясь неравенствами:
д (а + it)2/me-2(t-т)2/mdt «Т2, / д (в + it)2/me-2(t-т)2/mdt «1,
получаем, что
д (а + й)2/те-2(-)2/тАЬ «{ д (а + й)2/те-2(-)2/mdt}^х
/^ / ^/, / а -а, Т (в -а), Т (а -а)
д (в + й)2/те-2^-т) /7ПАЬ]в-а + Т4е-+ Т4е-4т.

Осталось проинтегрировать это неравенство по т от Т до 2 Т и воспользоваться неравенством Гельдера.
Лемма 5. При 1, 01 & lt- а0 ^ 2 справедливы неравенства:
К (а0) «TN-(2оо-1)/т,
К'-(ао) «TN-(2о0−1)/т.
Доказательство. По определению имеем
(^ dl/m (n)n 3) т = С (в), (Кв& gt- 1).
п=1
Сравнивая коэффициенты рядов Дирихле слева и справа, получаем
^ ^ d1/m (n1) • • • d1/m (nm) 1-
^. Лпг.
п---пт=п
Отсюда и из положительности d1/m (n) следует, что
0 ^ 1 ^ ^ d1/m (n1) • • • (^1/т ('-^'-т) ^ 1-
пх---пт=п, 1^п1,…, пт ^N
Если п ^ N, то в ('-о) = 0. По определению имеем
д (ао + й) = ^ в (п)п 00 и.
n=N+1
Поскольку д (а0 + и) «1, то
0 сс
[ + I) д (ао + it)2/mw (t)dt «
— с 3 Т /
2 Т 0 Ю
«У I У е-2"-т)2/тАЬ + У е-2"-т)2/тАь) Ат «е-т2/(2т).
Т — с 3 Т /
Поэтому, пользуясь неравенством Гельдера, получаем, что

Ю
к (ао) «^2 в (п)п-00-и2/тАЬ + е-Т2/(2т) «
0
n=N+1
3 Т 1/т
Л С (c)
«I Тт-12 в (п)п-00-и2АЬ) + е-Т2/(2т) «
о п^+1)
TN-(2оо-1)/т.
Неравенство для К '-(ао) доказывается аналогично.
Лемма 6. Пусть 1 ^ а ^ |, т ^ 1, Т ^ 2, тогда справедливы неравенства:
1 () «Тт (о-2)1 (а),
1 '-(2) «Тт (о-2)1 '-(а).
Доказательство. Первое неравенство доказывается в [11].
Докажем второе неравенство. Положим в лемме 1 f (г) = Ь (г)е (х-гт, где т Е [Т, 2Т]- 7 =½, а =1 — а, в = а, д = 2/т, тогда имеем

[ Ь (2 + й) е (½+и-гт)22/тАЬ ^
+Ю ½ +Ю ½
^ I I Ь (1 — а + й) е{1−0+и-гт)2 2/тАЬ | • (/ Ь (а + й) е (о+а-гт?2/тАЬ
Используем функциональное уравнения для Ь (в). Так как = 2, то
— г & gt- = -41-ОД,
где с = 1, А & gt- 0. Тогда, используя формулу Стирлинга, имеем

[ Ь (1 — а + и) е (1−0+и-гт)2 2/тАЬ «
Зте
«[ Ь (а + гі)2/т (1 + Щ)2(2°-1)/те-2(-)2/тві «
(З/2 +те
1 + 1
-те 3т/2 У
(1 + і)2/те-2(і-т)2/тві+
Таким образом,
З т/2
+тт (2°-1)І Ь (а + гі)2/те-2(і-т)2/тві «
т/2
+те
«тт (2°-1)[ Ь (а + гі)2/те-2(і-т)2/тві.
+те
I Ъ (1 + гі)2/те-2(і-т)2/тві «
-те
+те
«тт (& lt-7−2) [ ь (а + гі)2/те-2(і-т)2/тві.
Осталось проинтегрировать последнее равенство по Т ^ т ^ 2 Т и доказательство леммы завершено.
Лемма 7. ([11]). Для фиксированного т ^ 0 существует ст & gt- 0, такое,
1 + & lt- а ^ 3
2 + 1пТ ^ ° ^ 4'-
что для всех а, удовлетворяющих неравенству 2 + іт ^ а ^ 3, справедливы
оценки:
I (а) «Т (а — ,
12 I (2) «Т (1пТ)1/т.
Лемма 8. Для всех а, удовлетворяющих неравенству 2 + -фТТ ^ а & lt- 1, где Ф (Т) — сколь угодно медленно стремящаяся к +то при Т ^ +то функция, в предположении гипотезы Сельберга (2) справедливы оценки:
I'-(а) «Те-2^, I'- ф «ТеуЛпТ 1п Т.
Доказательство. Заметим, что функция 1^(Ь) обладает следующим свойством: w (t) «е-^2+Т2)/т, если Ь ^ 0, Ь ^ 3 Т, 1^(Ь) «1 в остальных случаях.
Кроме того, БN (в) «N «Те^пТ. Тогда
3 Т 3Т
I'-(а) = J ^(а + й)2 w (t)dt + 0(1) «^
о о
Используя равенство из леммы 2, будем иметь:
^(п)^ Нп2
п=1
АЬ + 0(1).
П20 -г-/ п20
п=1 п=1
Вычислим асимптотически полученную сумму. Применим преобразование Абеля:
N
н (п)^_п1−2о = / (^ Ах1−2о + Щ 1−2о V-
У п1 — 2о = - I (V ^1Х1−2о + N 1−2о У
^ п I п ^ п
п=1 1 п^х / п=1
Далее будем использовать гипотезу Сельберга (см. формулу (2)). Вычислив интеграл, можем утверждать, что
а ('-п)
= 0N ^-2° 1п щ.
п=1
Так как N ^ Те'-'-^пТ и, а — 1 ^ Д=, то
2 V 1п Т 1
I'-{а) «Те'-ЛпТТ-е-2ф (Т) 1пТ «Те-. I'- (1) оцениваем аналогично. Имеем
I'-А «ЩУ& quot- «N 1пN «Те^пТЬТ.
К2- ^ п
п=1
3 Доказательство теорем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.
1. При т ^ 2 из очевидного неравенства
г1 2/т — г22/т ^ г1 + ^2/т ^ ^ 2/т + г22/т, (3)
справедливого для любых комплексных чисел г1 и г2, следует, что
2 Т 2Т 2Т
J ((а + гі) 2/тві = ! Бм (а + гі) 2ві + О д (а + гі) 2/тві
Т Т Т
(мы положили в (3) г1 = Бгт (а + іі), г2 = д (а + іі) и проинтегрировали получившееся неравенство по і от Т до 2Т).
2. Вычислим асимптотически интеграл

J Бм (а + іі) 2 ві.
Т
Воспользуемся леммой 2. Имеем
2T 2T
J Sn (а I it) 2 dt = j
TT
n
n=l
N
dt = (T I O (N)) J]
d (/m (n)
n=1
n27
Тогда
2T
f 2 ю d2i/m (n)
Sn (а I it) 2 dt = Tj] 1/m2l I O (Si)I OS),
n=1 n
T n=1
где
d21/m (n) N d21/m (n)
Si = TV 1/m, S2 = NV -J/mV
^_1^'- n2& amp- n2a
n=N n=l
Оценим эти суммы. Так как О К dl/m (n) і 1, то
Ю d2/m (n)
Sl = T V 1/m2 & lt- TN1
(Уі 27
_. _ … l-2a
1n
n=N
Так как a — & gt- ФТ и N ^ T/ log T, то Sx & lt- T (a —)-1/m2в-0'1ф (Т Аналогичные рассуждения приводят к следующей оценке суммы S2:
N
S2 = NV dl/m)^n'-) ^ n2−2(7 = TNN1−27 & lt- T (а — 1)-l/m2e-0^(T). n27 T к 2'-
n=l
2
Таким образом, имеем

Бм (а + гі) 2 ві = + О (т (а — 2) — 1/т2е-0'1ф (ТА
Т п=1 '- '-
2 Т
3. Перейдем к оценке / д (а + О) 2/тАЬ. Заметим, что при Ь Е [Т, 2Т]
Т
^^(Ь) ^ /Т/2 ехр (-2т2/т)Ат ^ 1, поэтому

! д (а + й) 2/тАЬ «К (а). т
Применим лемму 4 с параметрами, а = 2, в = |- получим неравенство
,, б-4аг, 5, 4а -2
К (а) «{К (2)} - {К у} - + 1
(мы учли, что, а — 1 ^ ^ЛТ! ^ -Т и поэтому ехр (-Т (°т 2)) «Т-А для любого
А & gt- 0 и достаточно большого Т).
Если К (2) ^ Т, то, так как К (4) «Т, то и К (а) «Т.
4. Пусть К (1) & gt- Т. Тогда
К (а) «К (2)(Т-1К (4))1а-3 + 1.
Используем оценку из леммы 5: К (|) «ТЩ-3/(2т). Тогда
К (а) «К (2)Щ-т (о- 2) + 1 «К (2)Д, (4)
где, А = N т (а 2).
Из (3) получаем, что
К (а) — I (а) «1 (а) «К (а) + I (а). (5)
Тогда
К ф «1 ф + / (2& gt-.
Функцию 1 (1) оценим, используя лемму 6. Имеем 1 (2) «Тт (о- 21 (а). Для
1 (а) используем правую часть неравенства (5). Тогда
Кф «Тт (0−2)(К (а) + I (а)) + I (1).
Подставляем полученную оценку в (4). Получаем, что
К (а) «ДТ т (о-2)(К (а) + I (а)) + ДI (2)
С учетом условий N ^ Т, а — 1 ^ ^ЛТ! и равенства для Д будем иметь
дтт (о-1) = щ-т (о-2)тт (о-2)» т-«е-тф (т) «е-о& gt-1ф (Т).
Тогда
К (а) «e-0'1ф (T)I (а) + e-0'1ф (T)I (2).
Используя оценки для I (а) и I (1) из леммы 7, получаем:
К (а) «Т (а — 2)-1/т2 е-о'1ф (Т).
Доказательство теоремы 2.
Проводится по схеме доказательства теоремы 1. Более подробно остановимся на вычислении главного члена асимптотической формулы и оценке К '-(а), если
К'-(2) & gt- Т.
1. Вычислим асимптотически интеграл

J (а + й) 2 АЬ.
Т
Воспользуемся леммой 2. Имеем
2 Т ТТ N 2 N
аЩ-- л = (т + 0(щ)) у^ '- 2
1 П
п=1
J БЬ (а + й) АЬ = J
ТТ
Е
П20
п=1
Тогда
где

! БЪ (а + й) 2 АЬ = Т У + 0(Б1) + 0Б),
Т п=1 п
Б = Т^^ Б = му
n=N
Оценим эти суммы. Так как а (и) «п?, то
n=N
Учтем условия, а — 1 ^ фТТ и N ^ Те^1п Т, получаем
Б1 «Т (Те^1пТ)-2V® +2? «Те-2Ф (Т)+2?^ПТТ-2+2е «Те-1 ^'пТ. Оценим сумму Б2. Применим преобразование Абеля:
У М^ п^ = -Г (у МпГ), х1−2о + N1−20 У Мп)?..
^ п ] п ^ п
п=1 1 п^х / п=1
Далее будем использовать гипотезу Сельберга (см. формулу (2)). Вычислив интеграл, можем утверждать, что
п=1
Так как N ^ Т^л^пТ и, а — 1, то
2 1п Т
Б2 «^-2а 1п N = TNN¦N1−2а 1п N «Те^Т-2Ше-2ф (Т) 1п N «Те-1.
Таким образом, имеем:

БМ (а + гі) 2 ві = Т^^П}2 + 0(Те-2^).
2. Пусть К'-(1) & gt- Т.
К'-(а) «К'-(1)А, (6)
где Д = N т (о 2).
Из (3) получаем, что
К'-(а) — I'-(а) «1'-(а) «К'-(а) + I'-(а). (7)
Тогда
К'- ф «1 г
Функцию 1'-(1) оценим, используя лемму 6. Имеем 1'-(2) «Тт (о- 2) 1'-(а). Для 1'-(а) используем правую часть неравенства (7). Тогда
К'-ф «Тт (о- 1)(К'-(а) + I'-(а)) + I'-ф.
Подставляем полученную оценку в (5). Получаем, что
К'-(а) «ДТт (о- 2)(К'-(а) + I'-(а)) + ДГ (2)
С учетом условий N ^ Teln Т, a — 1 ^ & quot-ТыТ и равенства для, А будем иметь
атmm (а-1) = n-mm (а-2)тmm (а-1) «e-mmф (т) «i.
Тогда
K'-(a) «I'-(a) + АГ (2) «I'-(a) + е-ф (Т^I'-(2).
Используя оценки для I'- (a) и I'- (2) из леммы 8, получаем:
K'-(a) «Te-1 ^ + е-ф (Т^TeV]nTlnT «Te-2VinT.
Замечание 1. L-функции Гекке, соответствующие комплексным характерам, составляют подкласс класса Сельберга S степени 2 (см. [12]), для которого утверждение теоремы 2 безусловно.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Ingham A.E. Mean-value theorems in the theory of the Riemann Zeta-function // Proc. London Math. Soc. 1927. V. 27(2). P. 273−300.
[2] Davenport H. Note on mean-value theorems for the Riemann zeta-function //
J. London Math. Soc. 1935. V. 10. P. 136−138.
[3] Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана / Е. К. Титчмарш. M.: Изд. иностран. литер., 1953.
[4] Турганалиев Р. Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана // Труды Математического института АН СССР. 1981. T. 158. C. 203−226.
[5] Джаббаров И. Ш. Дробные моменты-функции // Математические заметки. 1985. T. 38(4). C. 481−493.
[6] Selberg A. Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series // Proc. of the Amalfi conference on Analytic Number Theory. Univ. di. Salerno. 1992. P. 365−387.
[7] Corney J.B., Ghosh A. On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees
// Duke Math. J. 1993. V. 72. 3. P. 673−695.
[8] Gabriel R.M. Some results concerning the integrals of moduli or regular functions along certain curves // J. London Math. Soc. 1927. V. 2. P. 112 117.
[9] Montgomery H.L., Vaughan R.C. Hilbert’s inequality // J. London Math. Soc. 1974. V. 2(8). P. 73−82.
[10] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел / А. А. Карацуба. М.: Наука, І98З.
[11] Heath-Brown D.R. Fractional moments of the Riemann Zeta-function // J. London Math. Soc. І98І. V. 24(2). P. б5−78.
[12] Гриценко С. А. О нулях специального вида функций, связанных с L-функциями Гекке мнимых квадратичных полей // Изв. РАН. Сер. матем. І997. Т. бІ:І. С. 45-б8.
НИУ «Белгородский государственный университет» Поступило 25. 0З. 20ІЗ
e-mail: gritsenko@bsu. edu. ru- kurtova@bsu. edu. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой