О геодезических отображениях пространств Эйнштейна

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
2003
МАТЕМАТИКА
№ 11 (498)
УДК 514. 764
В. А. КИОСАК, Й. МИКЕШ
О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ ЭЙНШТЕЙНА
Диффеоморфизм / риманова пространства Уп на риманово пространство Vп называют геодезическим, отображением, если / отображает любую геодезическую линию Уп в геодезическую линию Vп. Этими отображениями занималось много авторов, см. например, [1]-[3]. Исследования по геодезическим отображениям последних лет отражены в обзорной статье [4].
Отметим, что на сигнатуру метрик римановых пространств Уп не налагаем ограничения, как принято, например, в [2], [3]. Исследования ведутся локально в классе достаточно гладких функций.
Пространства Эйнштейна, которые характеризуются условиями на тензор Риччи
где Д — скалярная кривизна, дц — метрический тензор, имеют большое значение как в рима-новой геометрии, так и в ее приложениях [1], [2],… Вопросами о геодезическом отображении пространств Эйнштейна занималось много геометров (см., напр., [2], [4]-[13]).
Напомним итоговый результат А.3. Петрова и В. И. Голикова [2] о геодезических отображениях четырехмерных пространств Эйнштейна: четырехмерные пространства Эйнштейна У4 непостоянной кривизны с сигнатурой Минковского не допускают, нетривиальные геодезические отображения на римановы пространства У4 с сигнатурой Минковского. Нами доказана теорема, которая обобщает этот результат.
Распространяя методы исследований геодезических отображений четырехмерных пространств Эйнштейна сигнатуры Минковского на эйнштейновы пространства более высоких размерностей п & gt- 4, А.3. Петров ([2], сс. 355, 461) высказал гипотезу: пространства Эйнштейна Уп (п & gt- 4) сигнатуры Минковского, отличные от пространств постоянной кривизны, не допускают, нетривиальных геодезических отображений на пространства Эйнштейна той же сигнатуры. Приводим пример, который эту гипотезу опровергает.
Как оказалось, пространства Эйнштейна, допускающие геодезические отображения, являются по необходимости пространствами Уп (В) [4], [11]-[13]. Указанные пространства обобщают введенные в [14] пространства У (К). Поэтому предварительно приводим новые результаты в теории геодезических отображений пространств Уп (В), которые затем применяем для изучения геодезических отображений пространств Эйнштейна.
2. О римановых пространствах Уп (В)
Риманово пространство Уп, допускающее нетривиальное геодезическое отображение, будем обозначать через Уп (В) [4], [11], [13], [15], если в нем выполняются уравнения
1. Введение
(а) а^}к — igjk + А^*,
(б) //(/., + Ваф
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Чешской республики № 201/02/0616.
где обозначает ковариантную производную в Vn относительно невырожденного симметрического тензора ttjj, ковектора Л* и инвариантов /х и В.
В [11], [15] доказано, что если Vn (B) допускает любое другое геодезическое отображение на некоторое Vn, то при этом отображении также будут выполняться уравнения (1) при одинаковом инварианте В. Там же была установлена замкнутость пространств Vn (B) относительно геодезических отображений, т. е. доказано, что если Vn (B) допускает геодезическое отображение на некоторое Vn, то Vn является пространством Vn (B).
Установлено [4], что эйнштейновы, обобщенно полу симметрические и обобщенно Риччи полу симметрические Vn, допускающие нетривиальные геодезические отображения, являются пространствами Vn (B). Пространствами Vn (B) будут также пространства V (K) А. С. Солодовникова [14] и Г. И. Кручковича [16].
В [3] введено понятие степени подвижности относительно геодезических отображений. Доказано [17], что римановы пространства Vn, имеющие степень подвижности относительно геодезических отображений больше двух, являются пространствами Vn (B), В — const.
Отметим несколько свойств пространств Vn (B).
Теорема 1. Любое геодезическое отображение риманова пространства Vn (B), В ф 0- является либо нетривиальным, либо гомотетическим.
Доказательство. Предположим, что пространство Vn (B), В ф 0, допускает аффинное (т. е. тривиальное геодезическое) отображение. Тогда существует решение уравнений (1) при А* = 0. Из (1(6)) следует + Batj = 0. При В ф 0 вытекает, что а, ц = --|д^. Отсюда согласно ([3], сс. 75, 121) следует, что геодезическое отображение является гомотетическим. ?
Теорема 2. Если в римановом пространстве Vn (B) среди векторов А*, удовлетворяющих (1), есть ненулевой изотропный вектор, то В = 0.
Доказательство. Пусть в Vn (B), В ф 0, тензор ау, ковектор А* (ф 0) и инвариант /х являются решением системы уравнений геодезических отображений, которые в Vn (B) имеют вид
Здесь и дальше g%J являются компонентами обратной матрицы к ЦдуЦ.
а) Сначала рассмотрим случай, когда В ф const. Из [18] вытекает, что тензор ац и вектор А* удовлетворяют условиям
где а, /?, 7, ё — некоторые функции инварианта А.
Дифференцируя (2), подставляя (3(6)), убедимся, что 7 = 0. Тогда, дифференцируя (3(a)), после подстановки (1) и (3) имеем А+ Ajgik = Хк (а'-д^ + (/?'- + 2& lt-S)AjAj). Отсюда вытекает, что А* = 0. В противном случае rangH^yH & lt- 2. Следовательно, случай а) доказан.
6) Осталось рассмотреть случай, когда В = const ф 0. Тогда имеют место уравнения (1) и для инварианта fi выполняется условие
(1).
(2)
(а) = адц + /ЗА*А^-, (б) Ajj = 7дц + SXiXj,
(3)
/л, 4 = 2ВА4.
Дифференцируем (2). После подстановки (1(6)) получаем
/*А4 + Ва1а Ха = 0. Затем дифференцируем (5) и, учитывая (1), (2) и (4), имеем
(4)
(5)
SBXiXj + g^j + 2цВа, ц + В^ - 0. 37
Продифференцируем (6) по хк, на основании (1) и (4) будем иметь
4А k (B[igij + B2atj) + A iCjk + XjCik = 0, (7)
где су — некоторый симметрический тензор. Так как А* ф 0, то существует е% такой, что е% = 1. Свертывая (7) с еге убедимся, что сакеа = сХк, где с — некоторый инвариант. Тогда после свертывания (7) с ег получим Cjk = CjXk, где Cj — некоторый вектор. Тензор Cjk является симметричным тензором, поэтому имеем Cjk = ajk, где, а — некоторый инвариант. Но при этом из (7) вытекает справедливость формулы
цВ дц + В-оу -Ь pXjXj = 0, (8)
где (3 — некоторый инвариант.
После дифференцирования (8) по хк убедимся, что справедлива формула
2В& quot-Хкд^ + A* djk + Xjdik = О,
где dij — некоторый тензор.
Из последнего равенства в случае, когда В ф 0, вытекает, что rang ЦдуЦ & lt- 2. Следовательно, В = 0. ?
Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующей теоремы.
Теорема 3. Если в римановом прост, ранет, ее Vn (B) среди ненулевых векторов Xt, удовлетворяющих уравнению (1), есть взаимоортогональные, то В = 0.
3. Геодезические отображения четырехмерных пространств Эйнштейна
Докажем теорему, которая обобщает результат А.3. Петрова и Г. И. Голикова, сформулированный во введении.
Теорема 4. Четырехмерные пространства Эйншт, ейна V4, от, личные от прост, ранет, в постоянной кривизны, не допускают, нетривиальные геодезические отображения на римановы пространства V4.
Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что четырехмерное пространство Эйнштейна V4 с непостоянной кривизной допускает нетривиальное геодезическое отображение на риманово пространство V4.
Тогда согласно известным результатам [4], [12] V4 является, по необходимости, также пространством Эйнштейна, а само V4 — пространством V4(B), где В = Ц. В этом случае основные уравнения геодезических отображений запишутся в виде
(a) o& gt-ij}k Xigjk + Xjдц., (б) Ajj l^gij + (®) AM c A*- (9)
R. ¦ R
— tty, (в) li'-i = -
Условия интегрируемости уравнений (9(6)) имеют вид
A aYi% = 0, (10)
где Уу*. = R%k — n (n~i) ($k9ij — $j9ik) — Здесь Rfjk — тензор Римана, — символы Кронекера.
Тензор Yfjk называется тензором конциркулярной кривизны Яно риманова пространства Vn [19]. Так как пространство V4 имеет непостоянную кривизну, то его тензор конциркулярной кривизны не равен нулю.
На основании [20] из условий (10) при п = 4 следует изотропность вектора Xh. Тогда из
теоремы 2 вытекает В = 0. В итоге скалярная кривизна R равна нулю, а значит, исследуемое
пространство V4 является Риччи плоским, т. е. имеет место
Ду = о. (11)
Поскольку изотропность вектора А* влечет равенство нулю инварианта /х, то вектор А* ко-вариантно постоянен. В результате условия (10) принимают вид
КЩік = 0.
(12)
Известно [1], [2], что в У4, в котором существует изотропный ковариантно постоянный вектор Х можно выбрать специальную систему координат, в которой
Xй = 8^ 9ц (х) =
Дальнейшие рассуждения будем вести в этой системе координат. Тогда условия (12) принимают вид = 0. Затем из (11) при '-I = 2, '-] = 4 и '-I = 3, '-] = 4 имеем
5,3& quot--^3242 + 5,33-^3243 = 0, д22 Я2342 + д23 Я2343 = 0.
/0 0 0 1 /511 12 5 513 1
0 522 523 524, 5"(ж) = 512 22 5 523 0
0 523 5зз 534 513 23 5 СО со 0
1 524 534 544/ 1 0 0 0/
Так как
д22 в23 д23 д33
Ф 0, то из последнего следует і?3242 = Дз24з = 0. Кроме того, из (11) при
і = ] = 2, ! = ] = 3 и г = 2, ] = 3 будем иметь
д33Щ223 = 5^-^2332 = д& quot-3К3232 = 0.
Из последнего вытекает Д2332 = 0.
В итоге отличными от нуля компонентами тензора Римана (с точностью до известных тождеств тензора Римана) могут быть только і?2442- Д2443! Щиз-
Таким образом, тензор Римана четырехмерного пространства Эйнштейна может быть представлен в виде
Еь, т = е (ихг-Ш (^к-Ш-
Здесь А* = Xадаі = 9и = С* - некоторый неколлинеарный к А* вектор, є = ±1. Учитывая (13), из (11) получим
С"Са = 0 И С"А" = 0.
(13)
(14)
Ковариантно продифференцируем (13) в направлении х1. В силу ковариантного постоянства вектора А* имеем
Иызк, 1 = ?(6мА* - {Л}1^к)Из^к — Ш + ^(С/Дг — ?*Аь)(?/, гА*: — ?к, 1^) — (15)
Учитывая тождества Бианки, проциклируем (15) по индексам к, I:
(А* 6м — Сг, г А/,) (^ А*, — (кХ^) + (А*С/1^'- - Сг^А/1)(6Аг — ([Хк) +
+ (А, С/1, к — ?г, к^к)(?1^ - С? Аг) + (С/1 А* - СгА/г,) X
х (С^А* - С*мА. + СмА- - СуА* + Сг,*А^ - Аг) = 0.
Из этого соотношения видно
С/1,1 = С/& gt-сг + Аьйг +Сг + ДАг, (16)
где С*, (1, 1 г, /, — некоторые ВвКТОрЫ.
Продифференцировав (14), учитывая (16), легко получить
А% = 0, С% = 0, А"/а = 0, С"/а = 0. 39
Допустим, что вектор ^ линейно не выражается через векторы А* и 6, тогда в некоторой точке х0 можно выбрать систему координат так, чтобы
А® = 8{, Г = 4 Г = 61
Но в этом случае в силу (14), (17) и изотропности вектора А* метрика вырождается. Полученное противоречие означает, что вектор ^ можно линейно выразить через векторы А* и ?*• Аналогично установим, что и вектор /* можно линейно выразить через векторы А* и В таком случае (16) примет более простой вид = ?ьСг + Аде^. Подставив последнее в (15) и учитывая (13), получим
здесь (р1 = 2ег.
Последним условием характеризуются рекуррентные или симметрические римановы пространства, которые, как доказно в [3], допускают нетривиальные геодезические отображения только в том случае, когда являются пространствами постоянной кривизны. А это противоречит сделанному предположению. ?
В результате выделен еще один класс римановых пространств, однозначно определенных относительно нетривиальных геодезических отображений, какими являются, например, симметрические, рекуррентные, обобщенно симметрические и рекуррентные и другие пространства (см. [4], [3], [11], [13]-[22]).
4. Об одной гипотезе А. З. Петрова о геодезических отображениях
пространств Эйнштейна
Приведем контрпример к гипотезе А. З. Петрова (см. введение) ([2], сс. 355, 461).
Пусть Уп (п & gt- 4) — эквидистантное пространство Эйнштейна непостоянной кривизны с метрикой А. Фиалкова [4]
(1з2 = е (1×1 +/(х1)4з2, (18)
где е = ±1, / ф 0, (йР = да (з{х2, • • •, хп) в, хайх/ (а, (3 & gt-1) — метрика некоторого пространства Уп1, которое по необходимости является пространством Эйнштейна, отличного от пространства постоянной кривизны, и функция /(ж1) удовлетворяет условию
В/В cos2(V-еВх1 + Ь), еВ & lt- 0, в Ф 0-
В / В (а + sh2(s/eBx1 + b)), еВ & gt- 0, в Ф 0-
Ьехр2(/еВх1), еВ & gt- 0, в = 0-
-еВ (х1 + Ь)2, В = 0, в Ф0,
/ =
где, а = 0,1, b — const, В = п^_г^, В =, R ® — скалярные кривизны пространств
Vn (Vn-i) —
Доказано [4], [13], что пространство Vn, отнесенное к системе координат (18), допускает геодезическое отображение на риманово пространство Vn, метрическая форма которого имеет вид
(1 + & lt-lfr 1 + & lt-lf
где р, q — некоторые постоянные такие, что р ф 0, 1 + qf ф 0. При qf ф 0 отображение является нетривиальным. Координаты х являются общими по этому отображению.
Сигнатуры метрик Vn и Vп различны, когда 1 + qf & lt- 0, в противном случае совпадают.
Легко видеть, что при подходящем подборе постоянных е, q можно построить пример нетривиального геодезического отображения между эйнштейновыми пространствами непостоянной кривизны с сигнатурой Минковского и размерности выше четырех. Это и есть контрпример к приведенной гипотезе А. З. Петрова.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Литература
Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. — М.: Ин. лит., 1948. — 315 с.
Петров А. З. Новые методы в общей теории относительности. — М.: Наука, 1966. — 495 с. Синюков Н. С. Геодезические отображения ргшановых пространств. — М.: Наука, 1979. -256 с.
Mikes J. Geodesic mappings of affine-connected and Riemannian spaces // J. Math. Sci. New York. — 1996. — V. 78. — № 2. — P. 311−333.
Петров А. З. О геодезических отображениях римановых пространств неопределенной метрики. — Учен. зап. Казанск. ун-та. — 1949. — Т. 109. — С. 4−36.
Петров А. З. О геодезическом отображении пространств Эйнштейна // Изв. вузов. Математика. — 1961. — № 2. — С. 130−136.
Голиков В. И. Поля тяготения с общими геодезическими: Дис. … канд. физ. -матем. наук.
— Казанск. ун-т, Казань, 1963.
Голиков В. И. Поля тяготения с общими геодезическими. I // Учен. зап. Казанск. ун-та. -1963. — Т. 2. — С. 72−95.
Голиков В. И. Поля тяготения с общими геодезическими. II j j Учен. зап. Казанск. ун-та. -1963. — Т. 12. — С. 59−67.
Venzi P. On geodesic mappings in Riemannian and pseudo-Riemannian manifolds // Tensor. -
1979. — V. 33. — P. 23−28.
Микеш И. Геодезические и голоморфно-проективные отображения специальных римановых пространств: Дис. … канд. физ. -матем. наук. — Одесск. ун-т, 1979. — 107 с.
Микеш И. О геодезических отображениях пространств Эйнштейна // Матем. заметки. -
1980. — Т. 28. — № 6. — С. 935−938.
Mikes J. Geodeticka, F-planarm a holomorfni projektivni zobrazem Riemannovych variet a variet s afinm konexi: Dokt. disert., Olomouc, 1995. — 181 p.
Солодовников А. С. Геодезические классы пространств V (K) // ДАН СССР. — 1956. — Т. 111,
Af*0 1 Р О О
•п- 1. VJ. ОО OU.
Микеш И., Киосак В. А. О геодезических отображениях специальных пространств. — Киев, 1985. — 24 с. — Деп. в УкрНИИТИ 05. 05. 1985, № 904−24Ук.
Кручкович Г. И. О пространствах V (K) и их геодезических отображениях // Тр. Всесоюзн. заочн. энерг. ин-та. — М., 1967. — Т. 33. — С. 3−18.
Микеш И., Киосак В. А. О степени подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений // Геометрия погружен, многообразий. — М.: МГПИ, 1986. -
С. 35−39.
Горбатый Е. З. О геодезическом отображении эквидистантных римановых пространств и пространств первого класса // Укр. геометрич. сб. — 1972. — Т. 12. — С. 45−53.
Yano К. The theory of Lie derivatives and its applications. — Amsterdam: North Holland Publ. Groningen, Nordhoff, 1957. — 293 c.
Схоутен П. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. I. -М. -Л.: Гостехиздат, 1939. — 181 с.
Схоутен И. А., Стройк Д. Дж. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. II. -М.: Ин. лит., 1948. — 348 с.
Радулович Ж., Микеш И., Гаврильченко М. Л. Геодезические отображения и деформации римановых пространств. — Podgorica, Одесса: Изд. Одесск. ун-та, 1997. — 127 с.
Одесский государственный Поступила
университет 07. 12. 2002
Оломоуцкий университет (Чешская республика)

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой