Сведение решения внутренней обратной краевой задачи к интегральному уравнению в случае угловых точек на искомом и на известном контурах

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
2000 МАТЕМАТИКА № 9 (460)
УДК 517. 544
Е.А. ШИРОКОВА
СВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ В СЛУЧАЕ УГЛОВЫХ ТОЧЕК НА ИСКОМОМ И НА ИЗВЕСТНОМ КОНТУРАХ
В [1] решение внутренней обратной краевой задачи для параметра s сводилось к решению интегрального уравнения Фредгольма для случаев классической постановки [2], [3], когда известные граничные значения w (s) являются функцией с гёльдеровой производной, а также для обобщенной постановки той же задачи — в случае, когда w'-(s) и ее обратная величина являются интегрируемыми по Лебегу. В классической постановке предусматривалось также отличие w'-(s) от нуля, таким образом, искомый контур получался гладким. В обобщенной постановке указанные ограничения частично снимались, однако получаемое решение принадлежало более широкому классу функций и не выявляло поведения решения в окрестности точек, где происходят нарушения классических условий. В первой части данной статьи допускается обращение в 0 или в оо функции w'-(s) в отдельных точках и приводится решение задачи сведением к интегральному уравнению. Во второй части статьи получено ослабление условий на исходные данные для обобщенной постановки. Кроме того, в отличие от [1], допускается угловая точка на известном контуре. Приведены ограничения, когда задача может быть сведена к решению интегрального уравнения.
1. Пусть условия, наложенные на w (s) в [1] в случае классической постановки задачи, нарушаются: в то время как известный контур Гш остается гладким, искомый контур Г. в точке, соответствующей параметру s0, образует угол, равный Согласно [3], [4] это означает, что
w (s) = w (sQ) + sgn (s — s0)|s — + w& gt-i (s)], 7 & gt-½, sG[0, Z], (1)
где ul (sQ) + vf (sQ) Ф 0, G Ca[0,l], a G (0,1]. Будем предполагать, что контур Гш
обладает единственной точкой с таким свойством. В остальном ограничения на w (s) те же, что и в [1]: контур Гш простой и замкнутый, w'-(s) ф 0, s G [0,1] {"о}- Будем обозначать для ф€Са[0,1]
\ф\на = sup ф (ь) — ф (г2)\к-t2~a, \ф\с = rnax |^(i)|.
ii, i2G[o, q *е[М
Введем новый параметр для кривой Гш: а = sgn (s — s0) k — so|7- Тогда s = sQ + sgiicr^)1/7, и после введения нового параметра получим
'-ш (ст) = w (s (a)) = w (s0) + a["i (s0 + sgiicr)^1/7) + *Vi (s0 + sgn. cr |cr I1/& quot-7'-)],
^ = щ (s0 + sgn& lt-T|<-T|1/7) + w& gt-i (s0 + sgno-lal17'-7) + |a|1/7["i (s0 + sgn cr | cr|1/7) + iv'-^So + sgna|(j|1/, 7)]i.
Следовательно,
+ kl|1/7K (s (^2)) +*vi (s (& lt-T2)) — «i (s (& lt-7l)) — *vi (s (cri))]i,
74
где «(а) = «о + sgn& lt-7|<-7|1/7. Если ад (ст) = и (а) + гу (а), то
|й'-(а2) — -5'-(сг!)| & lt- ||г4||е| sgn& lt-T2І<-T2|1/, 7 — sgnсгх|ст111/'-7'-| + ||г4||е — |& lt-Т1 |1/'-т|^ +
+ Щи^Цна | sgnсг2|сг211/7 — sgn (Tl|стl|1/7|"i & lt- К1а2 — я13,
где
7 & lt- 1-
Р =
а,
а
7 & gt- 1.
& gt-, 7
Аналогично,
у (а2) — г?(& lt-Т1)| & lt- К2а2 — & lt-т-^.
Если контур Гш простой, то т.к. при новой параметризации ад'-(ст) ф 0, легко показать, что существует константа т & gt- 0 такая, что |-й5(о-!) — ад (& lt-72)| о — сг21−1 & gt- т & gt- 0, о — о2 & lt- [(/ - 50)7 +"о]/2. Теперь для функции ад (ст) выполняются все условия, наложенные на функцию ад («) в [1] при постановке классической обратной краевой задачи. Таким образом, решение задачи сведется к решению интегрального уравнения с ядром {а^[ад (т) — ад (ст)]}^, удовлетворяющим неравенству [1]
ад (т) — и)(сг 1) 1
аг® --------~(-V [
ад (т) — ад (сг2) J т
Рассмотрим функцию
Ф (ад) = 1п
аналитическую в 1) ш. Обозначим
1 2
йт & lt- К
К — СГ2. 1*71 — & lt-т2|1_е
1
(3 & lt- 1-
6 & gt- 0, (3 = 1.
вли (ад — ад (?о))1/, 7~
р (а) = -- 1п[и'-2(5(а)) + г)'-2(«(а))] - ^---------1^ 1п |ад (ст) — ад (0)| = Ые Ф (ад (ст))
4(а) = & quot-Е *
И? — И? (СГ)
— - 1) ал^[ад (сг) — ад (0)] = 1тФ (ад (сг)).
7
Нетрудно видеть, что р (а) €, (I — «о)7] - Так как
1 Г Ф (ад (т))йад (т)
Ф (ад (& lt-т)) = - [ 1X1
/гш ад (т) — '-ш (ст) ' то, отделяя мнимые части последнего равенства, получим
I г (1−8 оГ _ _ 1 /'(г8°)7 _ _
д (а) = - q (т){aтg[w (т) — w (a)]Утdт----- р{т){Ы'-ш{т) -'-ш{а)Утйт. (2)
7 Т и-П 7 Т и-П
?0 ?0
Решение д (а) этого уравнения согласно [1] удовлетворяет условию д (а) € Ср[-з2,(1 — «о)7]-Теперь, если решение интегрального уравнения найдено, может быть восстановлена функция
1
Ф (ад) = --:
2жг
р (а) +гд (а)
ад (а)йа + гф0.
(1% Г
= (ад — ад («о))1/, 71 ехр Ф (ад), г{ш) = (ад — ад («о))1/, 71 ехрФ (ад)йад + С,
и& gt-гИ) ] ?,?п
ад (ст) — ад
Следовательно,
о, Гп
Искомый контур получается при отображении Гш с помощью функции г ('-ш). В случае, когда угловых точек на искомом контуре несколько, следует проводить указанную перепараметриза-цию контура соответственное число раз — так, чтобы для полученного уравнения контура
и) = ад (ст) = и)(8(а!(• • • (сг"_1 (сг)) •••)))
1
функция {а^'-и^т) — у}(сг)]}'-т была гёльдеровой, а затем рассматривать аналитическую в функцию
Ф (го) = 1п
г]?
— (и) — го («1))1−1/71 •••(«- - го («п))1−1/7& quot-
аио
2. При обобщенной постановке задачи в [1] предполагалось, что го («) = «(») + гг-(«), «€ [О,/], будучи продолженной с [О, I]-периодически, удовлетворяет следующим ограничениям: и (з) и у (в) абсолютно непрерывны, «€ [а, а + 1], |го'-(«)| € Ь1+е[0, /], е & gt- 0, |ад'-(«)|-1 € -?а[0, /], го (0) = ги (1), |го («1) — го («2)| 11 — «21−1 & gt- 0, 0 & lt- |"1 — «2| & lt- ^/2, и для почти всех «1,"2 € [а, а + I] справедливо неравенство
| 11/(51) — а^'-ш'-(52)| & lt- К
О & lt- а & lt- 1.
Покажем, что приведенное ограничение на |го'-(«) |-1 можно ослабить, а именно, условие |ад'-(«)|_1 € 1а[О, I] заменить на условие |ад'-(«)|-1 € Ьр[0,1], р & gt- 0. Действительно, в [1] указанное ограничение используется дважды: при применении теоремы Зарецкого и при доказательстве того, что 1п |го'-(«)| € Ьц[0,1] Ур & gt- 1. Для применения теоремы Зарецкого ([5], с. 238) следует обеспечить выполнение условия тез{» € [0,1] | сг'-(«) = 0} = 0, и ограничение а'-(«)-1 = |ад'-(«)|_1 € Ьр[0,1], р & gt- 0, является для этого достаточным. Рассмотрим приведенное в [1] доказательство включения 1п|го'-(«)| € Ьц[0,1] Ур & gt- 1, заменяя в нем |го'-(«)| на |ад'-(«)|/', 0 & lt- р & lt- 1. При этом из выпуклости вниз функции ехр у1!11 по у при у & gt- (р — 1) й следует, что для множества, А = € [0,1} | | IIIй |го'-(«)|р| & gt- (р — 1) й} в случае, если тея, А & gt- 0, справедливо
ехР 1 [ I ^ |'-^'-(«)|/'|Й5 & lt- --- [ ехр|1п|и/(«)И& lt-&-<- [|М|?,+ 1К 1 ] тея 1 А.
За шее. /а. За
[ | IIIй |го'-(«)|йз = - [ | IIIй |ад'-(5)|/'|й» & lt- ¦ '-о Рй -'-о
тея А] а шея, А ,)а
Следовательно
г1 ^
рй
& lt- ~^{(1 — шеяА)(р — 1) й + шея А1пй[(||г (-'-(5)||^ + ||ад'-_1||^р) тея-1 А]} & lt- оо.
Таким образом, указанное ослабление ограничения на и)'-(8)^1, расширяя класс исходных данных, позволяет решать внутреннюю обратную краевую задачу в обобщенной постановке так же, как в [1], путем сведения к интегральному уравнению.
Нетрудно заметить, что ограничения на го («) в (1) в первой части при ½ & lt- 7 удовлетворяют условиям обобщенной постановки. При решении внутренней обратной краевой задачи, даже в обобщенной постановке, предполагалось, что известный контур Гш является гладким. Предположим теперь, что известный контур в точке го («о) образует угол тт8, 8 € (0,1) и (1,2). Это означает согласно [3], [4], что и)(8) = и)(80) + |» — 17[адх («) + («)], 7 & gt- 0, «1(5), ^(з) ограничены
в окрестности 50 и
с _ У1($о + 0)^1 (з0 — 0) — г& gt-1(з0 — 0)^1 (з0 + 0), ,
^ ¦%(% + 0)^1 («р — 0) + ^(«р + 0) г& gt-1(«р — 0)
Теорема. Пусть заданная на отрезке [0,1] и I-периодически продолженная на ["р,"р + I] функция го («) такова, чт, о го (0) = и)(1), |го («х) — го («2)| |"1 — «2|-1 & gt- 0- 0 & lt- |"1 — «2| & lt- ½- го («) = и)(80) + |» — 5р|7'-Ш1(5) — 11)1(80 ± 0) ф 0, оо- 11)1(8) = 111(8) +п)1 («) — («) абсолютно непрерывны
на ["0, «р+1], го^з) € Ь1+е[80, «р+1], имеет мест, о (3), причем, 8 & gt- 1, 8 & lt- 7, |го'-(«)|_1|5 -«р!7^-1/1^ €
52 Ос
Ьр[80, 80 + /], р & gt- 0 и | а^го'-(«2) — а^ 11/(51)! & lt- К / |го'-(«)|Й5, а? (0,1] для почти всех 8 г, «2 из
«1
(«р,"р + I). Тогда го («) — граничные значения некоторой функции, аналитической в области с границей длины I, и параметр 8 является дуговой абсциссой этой границы.
Доказательство. Как и раньше, функция и)(8) задает простой замкнутый контур Гш, теперь уже кусочно гладкий. Будем обозначать неизвестный контур Гг. Воспользуемся аналитической функцией, переводящей негладкий контур Гш в гладкий контур Г^. Функция С (го) = (10 — 10(5о))1/, г, и) ^ переводит простой замкнутый контур Гш в простой замкнутый гладкий контур Гс. Обозначим Ь (й) = ((и)^)) = |» — тогда
к'-(й) = |» — So|(7/, г1)[7Sgn (s — + |» — 5оЩ (5)го11/,& lt-51)]/5.
Покажем, что к (з) удовлетворяет всем условиям, накладываемым на контур из предыдущего пункта. Заметим сначала, что благодаря простоте контура Гш и непрерывности 101(5) имеем тт |го1(5)| & gt- с & gt- 0. Следовательно,
«€["о, во+1]
|wi (s2)
1/S
W l («2)
w (1/s-1}dw
где интеграл взят по дуге контура Г,., и, значит,
|го1(%)1/5 — го1(«1)1/5| & lt-с (1/#_1)|го1(«2) — 101(51)!.
Таким образом,
П
2 | Ие[ад1 (зк+1)1/г] - Ке[го1 (г?& amp-)1/5]| & lt-
П П
& lt-2 |ад1(«*!+1)1/г — адПв*-)175! & lt- М^|№ 1(%1) — '-Шг («*.)| & lt-
к=1
п п
& lt- ^21"1 («*1+1) — «1 ($к) + 51 — ^1(^)1-
к=1
к=1
к=1
к=1
|io'-(s)|ds
Так как |s — s01липшицева на [s0, sQ+l] при j/8 & gt- 1, то Re h (s) и Im h (s) абсолютно непрерывны на ["о, % + Ц- Благодаря отмеченной ограниченности |ioi (s)|-1 на [0,1] имеем Ы G Li+(![s0!s0 + Ц
при 7 & gt- д. Далее имеем h'-(~r) = |io'-_1| |s — «о!71−1^^^1−1^ G Lp[s0,s0 + l, p & gt- 0. Остается
показать, что контур будет контуром Ляпунова. Действительно,
|Aarg/i'-| = |(1/5 — 1) Дarg (io — w (s0)) + Aargio'-j & lt-
& lt- (1 — 1/& lt-5)IД arg (io — io (s0))| + К
Так как h'-(s) = io'-(s)[io (s) — io (so)P^_1 имеем
pS2 pS2
/ |io'-(s)|ds & lt- sup |io (s) — io (so)|('-1−1/^ / h'-(s)dt
J Si sG[0,i] J Si
s 2 a
Кроме того, |Aarg (io (s) — io (s0))| & lt- Кг f |io'-(s)|ds согласно ([6], с. 29), что совместно с пре-
Si
дыдущим неравенством доказывает принадлежность нового контура классу Ляпунова. Таким образом, аналитическая функция, отображающая область, ограниченную контуром Г^, на неизвестную область /X. может быть найдена по схеме, приведенной в [1]. Обозначим
S I
р (а) = - In |/i'-(s (cr))|, где cr (s) = / |/i'-(s)|ds, ak = / |/i'-(s)|ds, p (a) G L"[0, ak] & gt- 1. Найдем
о о
из уравнения Фредгольма, аналогичного (2),
1 Гак _ _ 1 Г& amp-к _ _
Я (е) = ~ g®{arg[/i® — h (a)}}'-TdT-------------р (т){In |h® — h (a)}'-TdT,
7 Г Jo 7 Г Jo
решение q (o) G Lv[0, ak] '-iv & gt- 1- здесь h (o) = h (s (a)). Теперь
z© = e^ /C exp F (C)d (+ C,
J Co
вде
= 5= / ТГГ^М'-
2m Jrc /i® — С
Таким образом, функция z (?) отобразит контур на неизвестный контур Гг. Далее сама аналитическая функция, граничные значения которой — известная функция w (s), s G [0,1], — восстанавливается с использованием интегральной формулы Коши.
Литература
Широкова Е. А. О сведёнии решения обратной краевой задачи к решению уравнения Фред-гольма // Изв. вузов. Математика. — 1994. — № 8. — С. 72−80.
Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965. — 333 с.
Гахов Ф. Д. Об обратных краевых задачах // Учен. зап. Казанск. ун-та. — 1953. — Т. 113. -№ 10. — С. 9−20.
Гахов Ф. Д., Мельник И. М. Особые точки контура в обратной краевой задаче теории аналитических функций // Укр. матем. журн. — 1959. — Т. 11. — № 1. — С. 25−37.
Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М. -Л.: Гостехиздат, 1950. — 399 с. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к млтемлтической физике. — М.: Наука, 1968. — 512 с.
Казанский государственный университет Поступила
23. 02. 1999

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой