О соотношении между категорическими атрибутивными суждениями и соответствующих им формул логики предикатов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Ю. П. Короблин
О соотношении между категорическими атрибутивными суждениями и соответствующих им формул логики предикатов
Одним из центральных аспектов курса логики является рассмотрение различных логических отношений между категорическими атрибутивными высказываниями. Согласно единой количественно- качественной классификации высказывания делятся на четыре вида:
(а) Всякий S есть Р- общеутвердительные-
(е) Всякий S не есть Р- общеотрицательные-
(i) Некоторый S есть Р- частноутвердительные-
(о) Некоторый S не есть Р- частноотрицательные-
Заметим, что единичные высказывания вида «а есть Р» и «а не есть Р», где, а — индивид, являются частным случаем высказываний вида (i) и (о), и поэтому отдельно не рассматриваются.
В имеющихся учебниках по логике приведенным высказываниям сопоставляются как правило формулы логики предикатов следующего вида: (a) (Vx)(S (x) -> Р (х)) — (е) (Vx) (S (x)-> -т Р (х)) — (i) (Эх) (S (x) & amp- Р (х)) — (о) (Зх) (S (x) & amp- - Р (х)).
При таком переводе исходных суждений в язык логики предикатов некоторые формулы, соответствующие выводам по логическому квадрату, оказываются не общезначимыми. В частности, формулы вида, а -& gt- i, а -& gt-е не являются общезначимыми, тогда как формулы вида, а -ю, -& gt-а -" о являются общезначимыми. Условия непустоты и неуниверсальности, налагаемые на термины S и Р, означают добавление утверждения вида:
(*) Ox) S (x) & amp- (Зх) Р (х).
Условие (*) используется для доказательства правильности соответствующих выводов. Таким образом, указанные выше выводы необходимо переформулировать как, а & amp-(*) -«i, а & amp- (*) -о, -¦ а & amp-(*)->- о и так далее.
В работе предлагается иной способ классификации утверждений и перехода к формулам логики предикатов.
Включение условия (*) является, безусловно, достаточным для доказательства справедливости всех выводов по логическому квадрату, но не является необходимым. Так, например, в вводах вида i — е, а -¦ о условие (*) поглощается на основании свойства операции дизъюнкции 1V (*) =1. Нетрудно заметить, что добавление условия (*) требуется лишь в тех случаях, когда в основании посылки субъект
распределен (то есть входит в полном объеме1), а в заключении — нераспределен. Более того, во всех этих выводах достаточным является добавление лишь условия вида (3x)S (x).
Другим возможным уточнением суждений является более тонкая дифференциация искомых суждений. Так, вместо четырех типов (а, е, i, о) предлагается ввести восемь типов суждений: (а), (е), (i), и (о) формулируются как и ранее, а (а'-), (е'-), (Г) и (о'-) следующих образов: (а'-) Всякий S влечет Р- (е'-) Всякий S влечет не — Р- (i'-) Некоторый S влечет Р-
(0) Некоторый S влечет не — Р-
Сопоставим этим утверждениям следующие формулы логики предикатов:
(a) (Vx) (S (x) & amp- Р (х)) — (е) (Vx) (S (x) & amp- - Р (х)) —
(1) (Зх) (S (x) & amp- Р (х)) — (о) (Эх) (S (x) & amp- - Р (х)) —
(a'-) (Vx) (S (x) — Р (х)) — (е'-) (Vx) (S (x) — Р (х)) — (i'-)(3x)(S (x)-P (x)) —
(о'-) (Эх) (S (x) -» -1 Р (х)).
Обозначим через, А множество суждений вида а, е, i, и о, а через А'-- множество суждений вида а'-, е'-, Г, и о'-.
Нетрудно показать, что в этом случае для любых выводов вида, а ?, где суждение, а и? либо одновременно принадлежит множеству А, либо одновременно принадлежит множеству А'-, соответствующие им формулы логики предикатов являются общезначимыми.
Очевидно, что необходимость введение дополнительного условия (3x)S (x) возникает лишь в тех случаях, когда a S А'-, а? е, А в выводе, а ?.
Предложенная классификация суждений и их представление в логике предикатов позволяет подойти аналогичным образом и к доказательству более сложных выводов, в частности к доказательству правильности силлогизмов. Так, например, если все три высказывания в силлогизме принадлежат одному и тому же множеству, А или А'-, то введение дополнительных условий не требуется. Также не требуется введение дополнительных условий и в случае, когда хотя бы одна из посылок принадлежит множеству А. Единственным же случаем, требующим введения дополнительного условия существования, является случай, когда обе посылки принадлежат множеству А'-, а заключение — множеству А.
В заключении работы мы проиллюстрируем применение предложенной методики для доказательства различных выводов.
Пример № 1. Пусть требуется доказать справедливость вывода аЧ Г, то есть показать, что формула:
(Vx)(S (x) -> Р (х)) (3x)(S (x) -> Р (х)) является общезначимой.
Доказательство:
(Vx) (S (x) — Р (х)) -& gt- (Зх) (S (x) -& gt- Р (х)) =
= - ((Vx) (-S (x) v Р (х)) V (Эх) S (x) V Р (х)) =
— (Эх) (S (x) & amp- - Р (х)) V (Зх) (- S (x) V Р (х)) —
= (Эх) (S (x) & amp- - Р (х) V — S (x) V Р (х)) =
= (Эх) ((- Р (х) V — S (x)) & amp- (S (x) v — S (x) v Р (х)) —
= (Эх) Р (х) V — S (x)) V Р (х)) = (Эх) (1 V — S (x)) = (Эх) (1)) = 1, ч.т.д.
В дальнейшем для доказательства правильности выводов мы будем использовать метод резолюций.
1 Субъект всегда распределен в общих (а, е) и не распределен в частных суждениях (?, о).
Заметим, что формула (Vx) (S (x) -& gt- Р (х))-& gt- (3x)(S (x) & amp- Р (х)) не является общезначимой, то есть для вывода типа аЧ i необходимо введение дополнительного условия. В этом случае общезначимой будет формула (Vx) (S (x) -> Р (х)) & amp- (Эх) (S (x) -& gt-• (Эх) (S (x) & amp- Р (х)). Пример № 2. Пусть задан категорический силлогизм вида е'-, а'- е'-, то есть
(1)(Vx) (М (х) -> Р (х))
(2) (Vx) (S (x) -& gt- М (х))
(3)(Vx)(S (x)-& gt--P (x))
Нетрудно показать, что формула (1) & amp- (2) (3), то есть:
(Vx)(M (x) — Р (х)) & amp- (Vx) (S (x) -& gt-М (х)) -> (Vx) (S (x) — Р (х))
является общезначимой. Представляя посылки (1), (2) и отрицание заключения (3) в виде дизъюнктов соответствующих скулемовских стандартных форм, получим следующий вывод:
(1) -1 (М (х) V -1 Р (х)), посылка
(2) -1 (S (x) V М (х)), посылка
(3) S (a), посылка
(4) Р (а), посылка
(5) М (а) — ПР (2,3), {а/х}
(6)-Р (а)-ПР (1,5), {а/х}
(7)? — ПР (4,6), ч.т.д.
Пример № 3. Пусть задан категорический силлогизм вида е'-а'-о. Для доказательства его правильности
требуется введение дополнительного условия (Эх) (М (х).
(1)(Vx) (М (х)--Р (х))
(2) (Vx) (М (х) — S (x))
(3) (Эх) (М (х)
(4) (Эх) (S (x) & amp- - Р (х))
Нетрудно показать, (1) & amp- (2) & amp- (3) (4) является общезначимой формулой, тогда как (1)& amp- (2) -" (4) не является общезначимой формулой.
Доказательство:
(1) М (х) V -1 Р (х), посылка
(2) -1 М (х) V S (x)), посылка
(3) М (а), посылка
(4)S (x) V Р (х), посылка
(5)-Р (а), ПР (1,3), {а/х}
(6) S (a), ПР (2,3), {а/х}
(7)Р (а), ПР (4,6), {а/х}
(8)? — ПР (5,7), ч.т.д.
Очевидно, что отсутствие посылки (3) не позволит вывести пустой дизъюнкт из оставшихся посылок.
Предложенная классификация суждений более точно характеризует их семантику в логике предикатов первого порядка, что позволяет упростить их понимание и доказательство правильности выводов по логическому квадрату, силлогизмов и других, более сложных выводов, семантика которых характеризуется предикатами от единственной переменной, то есть предикатами в языке монадической логики.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой