Рецензия на монографию Н. В. Гуцко, Ю. В. Луценко «Обобщенно квазинормальные подгруппы в теории конечных групп»

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

118
ВЕСНІК МДПУ імя І. П. ШАМЯКІНА
Р Э Ц Э Н З І Я
Рецензия
на монографию Н. В. Гуцко, Ю. В. Луценко «Обобщенно квазинормальные подгруппы в теории конечных групп»
Подгруппы, А и В группы G называются перестановочными, если АВ = ВА. Важность этого понятия для теории групп связана, прежде всего, с тем, что для перестановочных подгрупп, А и В их произведение АВ само является подгруппой в G. Особое место в исследованиях по теории перестановочных подгрупп заняли квазинормальные подгруппы (Оре, 1939), т. е. подгруппы, перестановочные со всеми подгруппами основной группы, и различные их обобщения, в частности S-квазинормальные подгруппы, т. е. подгруппы, перестановочные со всеми силовскими подгруппами. Оказалось, что S-квазинормальные подгруппы образуют подрешётку решётки всех подгрупп (Кегель, 1962). Это важное свойство S-квазинормальных подгрупп лежит в основе их многочисленных применений и, в частности, это позволяет ввести следующее понятие: пусть Н -подгруппа группы G и HSG — подгруппа из Н, порождённая всеми теми подгруппами группы Н, которые
S-квазинормальны в G. Тогда HSG называется s-ядром подгруппы Н в группе G (А. Н. Скиба, 2007). На основе
этого понятия в монографии введено
Определение. Пусть Н — подгруппа конечной группы G. Тогда Н называется Q-вложенной в G, если в G существует такая квазинормальная подгруппа Т, что HT = G и T I H & lt- HG.
Заметим, что если Н — S-квазинормальная подгруппа группы G, то HSG = H, и поэтому Н Q-вложена в G. Таким образом, каждая S-квазинормальная подгруппа Q-вложена.
Ещё один важный подкласс класса Q-вложенных подгрупп составляют так называемые с-нормальные подгруппы. Напомним, что подгруппа Н группы G называется с-нормальной в G, если в G существует такая нормальная подгруппа Т, что G = HT и T I H & lt- НС (Оре, 1939- Ванг, 1995).
Хотя понятия S-квазинормальной подгруппы и с-нормальной подгруппы являются вполне различными обобщениями нормальности, в последние годы появилось большое число аналогичных теорем, доказанных независимо для S-квазинормальных и с-нормальных подгрупп. Понятие Q-вложенной подгруппы позволяет с единой точки зрения посмотреть на все результаты такого рода, что и явилось главной целью данной монографии.
Книга состоит из перечня условных обозначений, введения, трёх глав, заключения и библиографического списка в алфавитном порядке.
В главе 1 приведён аналитический обзор литературы по развитию квазинормальных подгрупп и различных их обобщений.
Основными результатами главы 2 являются теорема 2.3. 1, доказанная в разделе 2. 3, и теорема 2.3. 2, являющаяся одним из главных этапов в доказательстве теоремы 3.3.1. Следствиями этих двух теорем являются многие известные результаты, т. е. соответствующие результаты о нормальных, с-нормальных и S-квазинормальных подгруппах, полученных в разное время Бакли (1970), Сринивазаном (1980), Шааланом (1990), Асаадом и Рамаданом (1991), Вангом (1996), А. Баллестером-Болинше и М. С. Педразой-Агуилерой (1996), Асаадом (1998), А. Баллестером-Болинше и Вангом (2000), Го Шуином и К. П. Шамом (2003),
Н. В, Гуцко Ю. В. Луценко
ОБОБЩЕННО КВАЗИНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ V ТЕОРИИ конечных групп
РЭЦЭНЗІЯ
119
Аль-Шейкахмадом (2004), Радаманом и Хелиел (2005), А. Н. Скибой (2005), А. Н. Скибой и О. В. Титовым (2007) и др., что свидетельствует об актуальности данной работы.
В связи с возросшим в последнее время интересом к исследованию групп в зависимости от свойств их вторых максимальных подгрупп естественной является задача описания наиболее важных классов конечных групп по свойствам их 2-максимальных подгрупп. Отметим, что первое описание разрешимых групп в терминах 2-максимальных подгрупп получено Го Шуином и К. П. Шамом (2003). Описание сверхразрешимых групп в терминах 2-максимальных подгрупп было получено Го Веньбинем, К. П. Шамом и А. Н. Скибой (2007). Существенным дополнением к этим результатам является теорема 2.7. 1, доказанная в разделе 2.7. Отметим, что следствиями теоремы 2.7.1 являются соответствующие результаты работ Хупперта (1954) и Аграваля (1976). Кроме этих результатов, в главе 2 представлены новые интересные критерии-нильпотентности и р-сверхразрешимости групп в терминах-вложенных подгрупп (теоремы 2.5. 1, 2.5. 6, 2.6.1 и 2.6. 2).
В заключительной третьей главе книги исследуются группы, факторизуемые холловыми, субнормальными, нильпотентными и дисперсивными по Оре подгруппами. В частности, в разделе 3.1 доказана теорема 3.1. 1, дающая необходимые и достаточные условия метанильпотентности факторизуемых групп в терминах-вложенных подгрупп. Используя эту теорему, получен новый критерий метанильпотентности (следствие 3.1. 4). В разделе 3.2 доказана разрешимость факторизуемой группы на основе условия-вложенности максимальных подгрупп её факторов (теорема 3.2. 1). Используя теорему 3.2. 1, получен новый критерий разрешимости в терминах-вложенных подгрупп (следствие 3.2. 3).
Результаты монографии Н. В. Гуцко имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях, проводимых специалистами в университетах и вузах Витебска, Полоцка, Могилёва, Минска, Киева, Новосибирска, Москвы, а также научных алгебраических центрах дальнего зарубежья (США, Германия, Англия, Испания, Китай, Австралия). Отдельные результаты могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей, написании курсовых и дипломных работ.
Рецензент
В. Н. Семенчук,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой