О решении уравнения, отображающего реакцию двухэлементной цепи на синусоидальное воздействие

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

А. И. Никонов
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ, ОТОБРАЖАЮЩЕГО РЕАКЦИЮ ДВУХЭЛЕМЕНТНОЙ ЦЕПИ НА СИНУСОИДАЛЬНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Рассмотрено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, в котором искомая функция выражает реакцию двухэлементной физической цепи на гармоническое воздействие. Его решение как комбинация элементарных функций найдено с использованием формул Тейлора и Лейбница.
В настоящей работе представляются результаты решения начальной задачи применительно к обыкновенному дифференциальному уравнению вида
у +(р/1) У = (1/1) sin ®x, (1)
где у, у'- - искомая функция действительного аргумента x и её первая производная dy/dx- р & gt-0, 1 & gt-0 — многочлены от аргумента х, заданные в пределах известного интервала Ix = [х0, хв ], причем величина р является суммой (рL + рR) с естественно выделенной производной 1 = dl / dx = рL — ~ = 2л. Начальное значение искомой функции у (х0) = у0 определяется по известному уровню x0. Правая часть (1) ниже будет обозначаться также через q=q (x).
Уравнения вида (1) используются при описании действия пар последовательно включенных индуктивных и резистивных элементов электрических цепей, которые в общем случае функционируют в динамическом режиме, когда параметры каждой цепи с указанной элементной базой (индуктивность и активное сопротивление) зависят от времени t. Уравнение (1) может
быть составлено с использованием аппарата операционнопараметрического моделирования [1, 2] применительно к параметрической схеме, показанной на рис. 1, где обозначено:
u = u (t) = Um sin wt — синусоидальное напряжение — воздействие с известными амплитудой Um и круговой частотой w = 2л/T (T -период синусоиды) — i = i (t), i'- = i'-(t) = di/dt — искомый ток и его временная производная- L = L (t) & gt- 0, R = R (t) & gt- 0 — индуктивность и активное сопротивление рассматриваемой физической цепи, которые являются аналитическими функциями [3] и исходно представляются как многочлены- S — символ суммирования.
Структура, показанная на рис. 1, отображает следующую взаимосвязь общего синусоидального воздействия u (t) на рассматриваемую цепь, обладающую параметрами L (t), R (t), и реакции — искомого тока i:
Li'-t + (L'-t + R) i = u, L'-t = L'-t (t) = dL/dt. (2)
Наличие неединичного переменного коэффициента L перед записью величины it обусловлено здесь физической сущностью моделируемого явления. Поскольку при этом L ф 0 (L& gt-0) уравнение (2) может быть модифицировано как
it + ((Lt + R)/L) i = (1/L) u. (3)
Перевод компонентов (3) в безразмерную форму путем их нормирования позволяет получить линейное дифференциальное уравнение вида (1), в котором используются аргумент x=t/T, искомая функция у = i/IN (IN ф 0 — нормировочный уровень тока), и её производная по x
у'- = (1/IN) it (dt/dx) = (T/IN) i'-t, а многочлены рL = 1'-, рR представляют величины, определяемые (с учетом их масштабирования) соответственно временными изменениями индуктивности (L'-) и активного сопротивления ® рассматриваемой цепи. Интервал Ix при этом соответствует исходному отрезку наблюдения It с заданным начальным моментом t0- x0 = t0 / T.
Используя известное аналитическое представление линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка [3, 4], общее решение начальной задачи (1) можно представить следующим образом:
Р и с. 1. Схема подачи воздействия и в цепь последовательного соединения элементов с параметрами Ь, Я
У =
Уо + | Ч ехр Ц (р /Я) Сх
\ / / ехр
ехр
х Л (X
|(р/Я) Сх
= ехр |(я у я) сх
|(р/Я) Сх
х0
/я (х) = (Я/Яо) /я (х) —
/я (х)=ехр|ФяСх, Фя = Фя (х) = Ря/Я- Яо = Я (Хо) •
(4)
(5)
(6)
Функции /я (х), фЯ (х), рЯ, (1Я) (с учетом их определений на интервале Iх) непрерывны и имеют производные любых порядков.
Представление величины /, (х) формулой Тейлора со степенями к = (х — х0), выполняемое при соблюдении условий сходимости соответствующего ряда [5−6] (полагаем эти условия соблюдаемыми), предусматривает использование производных данной величины по х различных порядков (т), берущихся при значении аргумента, равному х0:
/я{ т}(хо) = С т /я С т —
1х0
т е — множество целых неотрицательных чисел).
Значения /я х0) могут быть выражены как
/Ухо) =
[ /я (0) (хо) = /я (хо) = е° =1: т =о- (/яфя)(т)(хо): т = т-1о.
(7)
Используя формулу Лейбница [5], имеем (I = 1, 2,…, т)
., т
(I, яФя)(т) (хо) = IС/т-& gt- (хо ф] (хо) —
I=о
С1т — биноминальный коэффициент- фя' ^ = С’фЯ/Сх'.
1хо
Нахождение значений производных вида фя' ^ (хо) предусматривает дополнительное применение формулы Лейбница (X = о, 1, 2,…, I):
фя{'] (хо) = ^^Ря{1- ] (хо)(1/Я)] (хо) — (8)
X=о
рЯ^'--Х)(хо) = С (-х)Я/ах (-, (1/Я)(Х)(х0) = (1/Я)/сххI.
1хо о
Итак, соотношения (7)-(8) обеспечивают возможность рекуррентного оценивания величин вида (/ЯфЯ)(т) (хо), входящих в выражение /, т^ (хо).
Применительно к функции /я (х) формула Тейлора [5, 6] выражается следующим образом:
/я (х) = Х/я (т)(хо)кт/т!+г, (9)
где пе 2о- Г/, — остаточный член, причем для определенности будем полагать, что он имеет здесь форму Лагранжа, то есть
ГЯ = к (п+1)/я (П+1)(к)/(п + 1) !, кхв).
При установлении факта сходимости ряда Тейлора с компонентами рассматриваемого вида возможно учитывать то обстоятельство, что производная (п+1)-го порядка /я п+1) (х) является в то же время производной п-го порядка произведения /Я (х)фЯ (х). Исследование процесса убывания остаточного члена данного ряда при п ®? предусматривает в этом случае рассмотрение двух таблиц неограниченно наращиваемых размеров. Эти таблицы содержат строки соответственно
?0к • ?п ?0 ^ • ?п •
1п 1п 1п 1п ' 2п 2п 2п 2п '
где П. = СпСкп, ?2п = СпСп, Сп = кп+У (п +1) !- к = 0,1,2,…, п -]=п — к.
Биноминальные коэффициенты Cj, CJn соответствуют структуре формулы Лейбница, которая применяется для получения производных произведения fR (xfR (x).
Из первой наращиваемой таблицы выделяется и ставится в соответствие любому неограниченному k (n) последовательность вида (fJ), формируемая с поддержанием
фиксированной разности n — k = j0. Из второй наращиваемой таблицы выделяется последовательность вида (fJ), соответствующая любому ограниченному, фиксированному значению n — j = kF (n ® ?, j ® ?). Далее следует убедиться в существовании нулевых пределов данных последовательностей.
Практическая малость остатка Tr и соответствующее значение индекса n выявляются из
условия непревышения (на интервале Ix) заданного порога расхождения величин fR и аппроксимирующего многочлена Тейлора, который входит в соотношение (9). Объединяя постоянные коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в соотношении (9) операциями сложения, получаем следующее выражение полинома, аппроксимирующего функцию fR (x) на интервале Ix (индексы i = 0,1,2,…, n):
faR (X) = Xhm fR (& gt-l)(X0)/m ! = ZaRiXi, (10)
m=o i=o
где ai — приведенные коэффициенты при степенях аргумента x.
Второе слагаемое числителя из (4) представляется интегралом
{ n X (n ^
f q (x)(A/Яо)faR (x)dx = Яо-1 f sind®x?aRixi dx =(Яо (В)-1 J SinaRiX
xo xo i = 0 Xo V '- = 0
dx, (11)
где X = wx, Xo = wxo, aR, = am/W.
Интеграл (11) берется с учетом следующих известных соотношений [7]:
JXi sin X dX = - Xi cos X + i JXi-1 cos X dX- (12)
JXi cos X dX = Xi sin X — i JXi-1 sin X dX. (13)
Проведение конечного числа рекуррентных действий (12)-(13) дает возможность представить искомое решение дифференциального уравнения (1) следующим образом:
-1 f л У = (Я faR (x)) У0Я0 + (%& gt- '-'- X ^ sin Ф x + PC COs W x)
V 1 =0 0
bi sin W x + Pf cos W x = bi sin (W x + ji), где величина faR (x) определяется выражением (10).
Параметры вида pS, PC, Pi, принимают конкретные значения после проведения про-
цедур (12)-(13) применительно к каждому степенному компоненту подынтегральной суммы из выражения (11) и приведения подобных членов.
Получение математического описания размерной физической реакции i (t) рассмотренной двухэлементной цепи (рис. 1) на общее синусоидальное воздействие в динамическом режиме как решения исходных уравнений (2)-(3) производится путем освобождения от выполненного прежде нормирования значений найденной безразмерной величины у и её аргумента x. Для упрощения подынтегрального выражения в формируемом решении дифференциального уравнения первого порядка с переменным коэффициентом перед производной искомой функции, выделение отношения (Я 7 Я) как аддитивной части коэффициента перед самой искомой функцией может осуществляться в качестве специального технического приема. Например, пусть имеется дифференциальное уравнение, аналогичное (1), применительно к которому полагаем р = р (x) произвольным многочленом.
Уже специально выделив из многочлена р величину рL = Я'- (другой составной частью р как суммы становится многочлен рr = р — рl), можно считать, что общее решение рассматриваемого уравнения представляется соотношениями (4)-(6). Делитель из правой части (1) — величина l (x) в подынтегральном выражении числителя общего решения — подвергается здесь сокращению рассмотренным образом, и поэтому интегрирование данного выражения при на-
личии соответствующей аппроксимации /аК (х) осуществляется проще сравнительно со случаем присутствия в нем делителя 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Никонов А. И. О задачах определения компонентов — величин операционно-параметрических моделей // Успехи современного естествознания, 2004. № 8. С. 123−124.
2. Никонов А. И. Виды компонентов параметрических схем-моделей действия технических объектов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки, 2005. Вып. 32. С. 63−68.
3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. М.: Наука, 1998. 232 с.
4. МатвеевН. М. Дифференциальные уравнения: Метод. пособие. Л.: ЛГУ, 1963. 416 с.
5. Бронштейн И. Н. Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 720 с.
6. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. М.: Наука, 1984. 432 с.
7. Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986. 192 с.
Поступила 23. 08. 2006 г.
УДК 519. 1
И. Х. Найманова, А. М. Кочкаров
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА
Рассматривается задача распознавания предфрактального графа с непересекающимися старыми ребрами, при этом в качестве затравки выступает регулярный п-вершинный граф степени .5 = п — 2.
Задача распознавания объектов и явлений является актуальной задачей искусственного интеллекта и многих задач в военной области, в связи с этим вызывает интерес ее постановка и исследование.
В данной работе рассматривается задача распознавания предфрактального графа (см. [1]) О = (У, Е) с непересекающимися старыми ребрами, когда в качестве затравки
Н = (Ж, Q) выступает регулярный п -вершинный граф степени 5 = п — 2.
, | п (п — 2)
Пусть множество Q состоит из ц = -- ребер. Найдем количество ребер данного
предфрактального графа
/ / 2 г-п п (п — 2) пь -1
т (п, ц, Г) = ц (1 + п + п +… + п) =-2---------------------------1. (1)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть граф О = (У, Е) является таким (п, Г) -графом, в котором старые ребра не пересекаются и его затравка Н = (Ж, Q) является однородным графом степени deg Н = п — 2. Тогда его множество вершин V разбивается на два подмножества Ух и Уг, где
V составляют вершины, степень которых равна п -1, а V2 составляют вершины, степень которых равна п — 2. При этом мощности этих множеств определяются соотношениями:
.. п (п — 2)(пг-1 -1)
V, = ---------------------------------------------------^-1, (2)
п-1
і і п -1
К =------т + п -1. (3)
п -1
Доказательство. По условию теоремы старые ребра в графе О не пересекаются. Это значит, что какая-либо из вершин V є V либо инцидентна одному старому ребру, либо не инци-

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой