О разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 929
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© Е.И. Бравый
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения- краевые задачи- периодическая краевая задача- задача Дирихле- условия однозначной разрешимости. Для всех уравнений из семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, заданных поточечными ограничениями на коэффициенты, получены необходимые и достаточные условия разрешимости краевой задачи Дирихле и периодической краевой задачи.
Задача Дирихле и периодическая задача — краевые задачи, наиболее часто встречающиеся в приложениях функционально-дифференциальных уравнений. В последние годы условиям однозначной разрешимости этих задач посвящено множество работ, например, [1−7]. В части работ условия существования решения краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений получены в случае, когда на функциональные отклонения аргумента (запаздывание или опережение) не накладывается никаких ограничений, иногда ограничения на отклонения аргумента являются ограничениями метода, а не постановки задачи. Оказывается, для линейных функционально-дифференциальных уравнений существуют достаточные условия существования решения, которые являются неулучшаемыми в следующем смысле: если эти условия не выполнены, то найдется такое отклонение аргумента, что краевая задача не имеет решения. Эти достаточные неулучшаемые условия могут быть сформулированы в виде необходимых и достаточных условий того, что краевая задача имеет решения для всех функционально-дифференциальных уравнений из заданного семейства уравнений. Для некоторых семейств уравнений, определяемых интегральными ограничениями на коэффициенты, такие необходимые и достаточные условия уже получены [3−7].
Здесь для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, определяемых поточечными ограничениями, будут найдены необходимые и достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле. Проверка этих условий заключается в решении задачи конечномерной оптимизации.
Мы рассматриваем задачу Дирихле
Г Х (*) = (Тх)(*) + f (*), * € [0,1],
х (0) = Со, х (1) = а, ()
и периодическую краевую задачу
Г Х (*) = (Тх)(*) + f (*), * € [0,1],
х (0) = х (1), X (0) = Х (1), ()
где Т: С[0,1] ^ Ь[0,1] - линейный ограниченный оператор, f € Ь[0,1], с0, С1 € М, решение X: [0,1] ^ М задач (1) или (2) абсолютно непрерывно вместе со своей производной на отрезке [0,1] (здесь пространства вещественных непрерывных и суммируемых функций на [0,1] со стандартными нормами будем обозначать С[0,1] и Ь[0,1] соответственно). Оператор Т: С[0,1] ^ Ь[0,1] называется положительным, если отображает неотрицательные функции в почти всюду неотрицательные.
Обозначим G (t, s) функцию Грина двухточечной задачи
X (t) = f (t), t € [0,1], x (0) = 0, x (1) = 0,
определенную равенством
(t — 1) s при 0 ^ s ^ t ^ 1,
С (М) (в — 1)* при 0 & lt- & lt- 1.
Теорема 1. Пусть задана неотрицательная функция р € Ь[0,1]. Задача Дирихле (1) является однозначно разрешимой при всех линейных положительных операторах Т: С[0,1] ^ Ь[0,1], удовлетворяющих условию
(Т1)(*)= р, * € [0,1],
тогда и только тогда, когда
mm
1 — Ц G (t1, s) p (s) ds 1 — /0 G (t1, s) p (s) ds — ftl G (t2, s) p (s) ds 1 — /0 G (t2, s) p (s) ds
& gt- 0.
Далее используем следующие обозначения: для любой функции г € Ь[0,1] г+(*) ^ (г (*) + |г (*)|)/2, г-(*) = (|г (*)| - г (*))/2, для ?1, ?2 € [а, Ь] и г € Ь[0,1]
дн (в) = С (*2,в) — ^(?1,8), 8 € [0,1],
¦ '- а
Теорема 2. Пусть заданы неотрицательные функции р, д € Ь[0,1] и
P = f (p (s) — q (s) ds = 0. 0
Периодическая задача (2) имеет единственное '-решение при всех таких линейных ограниченных операторах Т: С[0,1] ^ Ь[0,1], что
Т = Т+ - Т-, Т+1 = р, Т-1 = д,
и линейные операторы Т +, Т-: С[0,1] ^ Ь[0,1] положительны, тогда и только тогда, когда
O^fki/ (P (t)g+1& gt-t2,(P-q)/P (t)+ q (t)g-1,t2,(p-q)/P (t0 dt& lt- 1-
ЛИТЕРАТУРА
1. Mukhigulashvili S. The Dirichlet boundary value problems for strongly singular higher-order nonlinear functional-differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 2013. V. 63. № 1. P. 235−263.
2. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
3. Hakl R., Lomtatidze A., PuZa B. On periodic solutions of first order linear functional differential equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & amp- Applications. 2002. Vol. 49. № 7. P. 929−945.
4. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2002.
5. Kiguradze I., PuZa B. Boundary value problems for systems of linear functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2003.
6. Бравый Е. И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва- Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2011.
7. Бравый Е. И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 1029−1032.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки Р Ф (задание 2014/152, проект 1890) и поддержана РФФИ (проект 14−01−338).
Поступила в редакцию 27 мая 2015 г.
Bravyi E.I. ON SOLVABILITY OF PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM AND DIRICHLET PROBLEM FOR SECOND ORDER FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS
The Dirichlet boundary value problem and the periodic boundary value problem for for some classes of linear second-order functional-differential equations are considered. Necessary and sufficient conditions of a unique solvability of the boundary value problem for all equations from these classes are obtained.
Key words: functional-differential equations- boundary value problems- periodic boundary value problem- solvability conditions- Dirichlet problem.
Бравый Евгений Ильич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», email: bravyi@perm. ru
Bravyi Evgenii Ilich, Perm National Research Polytechnical University, Perm, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Center «Functional-Differential Equations», e-mail: bravyi@perm. ru
УДК 517. 968. 4
ON CONNECTION BETWEEN CONTINUOUS AND DISCONTINUOUS HOMOGENIZED NEURAL FIELD EQUATIONS
© E. Burlakov, A. Ponosov, J. Wyller
Key words: discontinuous Hammerstein equations- solvability- continuous dependence. We study existence and continuous dependence of the solutions to the Hammerstein equation under the transition from continuous nonlinearities in the Hammerstein operator to the Heaviside nonlinearity in a vicinity of the solution, corresponding to the discontinuous nonlinearity case.
We consider the following generalization of the homogenized Amari neural field equation (see for example [1], [2])
dtu (t, x, xf) = - u (t, x, xf)+ / / w (x — y, xf — yf)/д (u (t, y))dyfdy,
i Y (d
t & gt- 0, x € S С Rm, Xf € У e Rk,

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой