О разрешимости обратной задачи для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956. 37
О РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ
Н. В. Бейлина
Самарский государственный технический университет,
443 100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
E-mails: natalie@samdiff. ru
Изучается '-разрешимость обратной задачи для гиперболического уравнения на плоскости с неизвестной правой частью. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи. Доказательство существования обобщённого решения базируется на методе Галёркина, единственности — на полученной априорной оценке.
Ключевые слова: обратная задача, интегральное условие, разрешимость.
Введение. К настоящему времени появилось значительное количество работ, посвященных исследованию обратных задач с интегральным условием переопределения. Однако в подавляющем большинстве изучены задачи для параболических уравнений [1−7]. Более подробная библиография и классификация задач приведена в работах [5,7].
В предлагаемой работе рассмотрена обратная задача нахождения неизвестной функции, входящей в правую часть гиперболического уравнения, с интегральным условием переопределения.
1. Постановка задачи. В прямоугольнике Qt = {(х, t) :0 & lt- х & lt- 1,0 & lt- t & lt- Т} рассмотрим следующую обратную задачу: найти пару функций (и (х, t), p (t)), удовлетворяющих уравнению
Utt (x, t) — ихх (х, t) + с (х, t) u (x, t) = p (t)f (x, t) + G (x, t, u (x, t)), (1)
начальным условиям
u (x, 0) = & lt-p (x), щ (х, 0) = ф (х), (2)
граничным условиям
ux{0, t) = ux (l, t) = 0 (3)
и интегральному условию переопределения
f К (х, t) u (x, t) dx = 0. (4)
Jo
Функции & lt-p (x), ip (x) заданы на отрезке [0- I], a f (x, t), K (x, t), G (x, t, u), c (x, t) — в области Qt-
Введём понятие обобщённого решения задачи (1)-(4). Заметим, что условие (4) эквивалентно следующему условию:
Бейлина Наталья Викторовна (к.ф. -м.н.), старший преподаватель, каф. высшей математики и прикладной информатики.
-1 (
[К (х, t) c (x, t) — Ktt (x, t)]u (x, t) dx+
p (t) = (/ K (x, t) f (x, t) dx
+ / Kx (x, t) ux (x, t) dx — 2 / -К*(ж, t) ut (x, t) dx-
Jo Jo
— / К (ж, t) G (x, t, u (x, t))dx Jo
• (5)
Действительно, дифференцируя (4) дважды по (и учитывая, что и (х, ?) удовлетворяет уравнению (1) и условию (3), получим (5). Обратное показывается прямым вычислением.
Обозначим
Щ1 (Ят) = Мж, ?): ^(ж, ?) € И^Ог), ^(ж, Т) = 0}.
Умножим уравнение (1) на функцию у (х, ?) € И/Г21(& lt-5т) и проинтегрируем по прямоугольнику С,}т- После интегрирования по частям получим
[Т I'-1
/ / [-щ (х, 1^(х, 1)+их (х,?)ух (х, 1)+с (х, 1) и (х,?)у (х,?)]с1хсИ =
J О Л)
Г [1 Г [1
= / / p{t)f{x, t) v{x, t) dxdt + / / С (ж, ?, и{х, ?))г& gt-(ж, ?) dxdt+
Jо л) л) Уо
+ f tp (x)v (x, 0) dx. (6) Jo
Определение. Пару функций («(ж, i), p (i)) будем называть обобщённым решением задачи (1)-(4), если u (x, t) € Ил21(& lt-5т), и (х, 0) = & lt-р (х), p (t) € Ьг (0, Т), и («(ж, i), p (t)) удовлетворяет (5) (в смысле равенства функций в L2) и тождеству (6) для любой функции v (x, t) € W?(QT).
2. Разрешимость поставленной задачи.
Теорема. Если К (ж, t) € C'-1(Qt), Ktt{ ж, i) € C'-1(Qt), с (ж, i) € C'-1(Qt), /(ж, t) € C (QT), & lt-p (x) € И^(0, 0) ^(ж) G ^2(0, 0) & lt-2(ж, ^ e C (Qt x №¦), fl
/ K (x, t) f (x, t) dx ф 0 и для любых (ж, t) выполняется условие Липшица Jo
G (x, t, U) — G (x, t, U2) ^ Lu — W2I) то существует единственное обобщённое решение (1)-(4).
Доказательство. Из условий теоремы следует, что найдутся такие положительные константы со, с, сг, /1, & lt-71, /го, 0,1, 0,2у чт° выполняются следующие неравенства:
max |С (ж, i, 0)| ^ д, |/(ж, i)| ^/1, maxК (х, ^)c (ж, t) — Ktt (x, i)| ^ а,
тах|К (ж, t)-Kt (x, t)-Kx (x, t)| ^ а2, с0 ^ |с (ж, t)| ^ сь ct (x, t) ^ с2,
/ К (ж, t) f (x, t) dx = ho & gt- 0.
Jo
Для доказательства теоремы построим последовательность приближённых решений, а затем покажем, что эта последовательность сходится к обобщённому решению поставленной задачи.
Приближённые решения (ит (х, ?), рт (Ь)) будем искать из следующих соотношений:
[Т I'-1
/ / [~иТ{х1 ?) + и™{х,ух (х, ?) + с (ж, ?)-ит (ж, ?)г& gt-(ж, ?)] (1хсИ =
Уо Уо
= [ [ Рт (1)/(х, Ь) ь (х, ?)с?ж (Й + / (0(х, Ь, ит (х, 1))ь (х, 1)(1х (М+
Уо Уо Уо Уо
+ [ 1р (х)у (ж, 0) с?ж. (7) Уо
и°(ж, ?) = О, «т (ж, 0) = & lt-?т, ш = 1, 2,…, (8)
где ^Ь& lt-р (х),
-1 I
[К (ж, ?)с (ж, ?) — К"(ж, ?)] X
рт (^) = (/ ^(ж, ?)/(Ж) ^с1х
х ит1(х, Ь) йх + / Кх (ж, ?)-и™_1(ж, Ь) г1х — 2 / К*(ж, ?)-и™_1(ж, Ь) с1х-
Уо Уо
— / К (ж, ?)С (ж, t, ьт~1)(1х. (9)
Уо
Покажем, что для каждого т существует единственная функция ит (ж, ?), удовлетворяющая тождеству (7) и условию (8), если рт (?) известно. Для этого заметим, что тождество (7) и равенство (8) определяют обобщённое решение из И^((3т) второй начально-краевой задачи с однородными граничными условиями
¦и™(ж, ?) — и™х (х, ?) + с (ж, ?)-ит (ж, ?) = Я (ж, ?) + С (ж, ?, ьт (ж, ?)), (10)
Я (ж, 4) =рт{Ь)/{ж, 4), ит{ж, 0) = (рт (х), и™{х, 0) = ^(ж), (11)
и™(0, 4) = и™(1, *) = 0. (12)
Применяя стандартные методы [8] и условие Липшица, которому удовлетворяет функция С (ж, ?, «(ж, ?)), нетрудно доказать однозначную разрешимость задачи (10)-(12). Следовательно, можно утверждать, что для любого рт (?) существует единственная функция ит (х, ?), удовлетворяющая тождеству (7). Так как рт (?) находятся явным образом из (9), то можно считать, что последовательность {¦ит (ж, ?), рт (?)} построена.
Для обоснования сходимости этой последовательности рассмотрим разности
гт (ж, г) = ит (Ж,») -^-^ж,»), гт (г)=рт (г) -рт-г).
Заметим, что для гт (х, ?) справедливо тождество
гТ г1
[г™(х, ?)г-(ж, ?) + г™(х,ьх (х, ?)+
/о Jo
+с (ж, ?), гт (ж, ?)г& gt-(ж, ?)] йхсИ = ([ гт (?)/(ж, ?)г& gt-(ж, ?)с?ж (Й+
Уо Уо
ГТ г1
[ [ С{х, ?, ит) — С{х, ?, и& quot-1 *)] г& gt-(ж, ?)(1хМ.
Уо Уо
Полагая ь (х, ?) = -г™(ж, ?) и интегрируя по частям интегралы в левой части, получим
(*г (я, г))2 + (С (ж, г))2 + с (ж, г) (гт (х, г))2
с? ж =
ГТ г1 ГТ г1
= 2 / / гт (?)/(ж, Ь) г™(х, ?)с?жсЙ + 2 / / с*(ж, ?) (& lt-г™(ж, ?))2 с1хсМ+
Уо Уо Уо Уо
ГТ /*/
+ 2
! / / [С (ж, ?, ит) — С (х, ?, и& quot-1 *)] -г™(ж, 1) с1хсИ.
Уо Уо
Применяя к правой части неравенство Юнга, элементарные неравенства, а также условия теоремы, нетрудно получить оценку
ш
(^Г (ж, г))2 + (С (ж, т))2 + (^(ж, г))2
^? (1+?2) / ((гт (?))2 (1х (М+
Уо Уо
+ М3
гг /*/
/0 & lt-/0
(г™(ж, ?))2 + (гт (ж, ?))2 + (& lt-г™(ж, ?))2 йхсИ, (13)
где Мз = тах {(/2 + 1)/& lt-5- 2сг}. Применим к (13) неравенство Гронуолла [9], а затем интегрируя по г от 0 до Т, приходим к оценке
(14)
где Л1 = ехр (~~)(1 + Ь2), 5 & gt- 0 произвольно.
Оценим теперь гт (?), для которого справедливо равенство
К (х, ?)/(ж, ?)с?ж^ J [К (ж,?)с (ж,?) — Ки (х, Щ гт~1(х, 1) (1х+
+ [ Кх (х, ?), г™_1(ж, Ь) г1х — 2 / Kt (x, t) z^l~1(x, t) dx-
Уо Уо
— / К{ж,?) [С (ж,?, и& quot-1 1) — С (х, 1, ит 2)] Уо
с? ж
• (15)
Возводя равенство (15) в квадрат, учитывая условия теоремы, а также то, что гт1(ж, ?) € Ил21(& lt-5т), нетрудно получить неравенство
кт (0)Иыо. т) & lt- У~2||г"^1(. г'-. ()|1и-. («зт),
(16)
где N2 = max {4a^l] 4{al + a^lL2)}.
Из (14) и (16) вытекает, что
\zm (x, t))\wi (0,T) ^ л/^з|кт 1(ж)^)||W^(Qt)' (1^)
\гттыо, т) ^ л/^з1к& quot-г1(^))11ь2(о, т)) (18)
где N3 = N1N25.
Пользуясь произволом 5, выберем его так, чтобы л/Ns = q & lt- 1. Тогда неравенства (17) и (18) означают, что последовательность (um (x, t), pm (t)) фундаментальна.
Так как W^iQr) и Ь2(0, Т) — полные пространства, то фундаментальная последовательность (um (x, t), pm (t)) сходится к элементу (u (x, t), p (t)), где u (x, t) € W^Qt), p (t) € L2(0,T). Но тогда, переходя к пределу в (7) и (9),
получим соответственно тождества (6) и (5), так как из сильной сходимости
следует слабая.
Таким образом, пара функций (u (x, t), p (t)), полученная в результате предельного перехода в (um (x, t), pm{t)) и эквивалентных преобразований, является обобщённым решением задачи (1)-(4).
Единственность задачи (1)-(4) непосредственным образом следует из оценок (17) и (18). Действительно, полагая, что существуют два различных решения (u, р) и (u2,P2), приходим к оценкам
(I — q)\u (x, t)\wi{QT) & lt-0, (1 ~ q)\p (t)\L2{0tT) & lt-0,
где (u, р) = (и — U2, Pi — Р2) — Но так как q & lt- 1, то \и (х, ?)||иД (& lt-зт) = 0 и
\р (Щь2(о, т) = 0. ?
Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009−2013 годы, в рамках мероприятия 1.3.1 (госконтракт № П2589 от 26. 11. 2009)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Cannon J. R., Lin Y. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation // J. Austral. Math. Soc. Ser. B, 1991. Vol. 33, no. 2. Pp. 149−163.
2. Cannon J. R., Lin Y. Determination of a parameter p (t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems, 1998. Vol. 4, no. 1. Pp. 35−45.
3. Иванчов H. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сиб. матем. журн., 1998. Т. 39, № 3. С. 539−550- англ. пер.: Ivanchov N. I. On the determination of the time-dependent leading coefficient in a parabolic equation// Siberian Math. J., 1998. Vol. 39, no. 3. Pp. 465−475.
4. Камынин В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения// Матем. заметки, 2005. Т. 77, № 4. С. 522−534- англ. пер.: Kamynin V. L. On the inverse problem of determining the right-hand side of a parabolic equation under an integral overdetermination condition // Math. Notes, 2005. Vol. 77, no. 4. Pp. 482−493.
5. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, № 5. С. 1053−1071- англ. пер.: Kozhanov А. I. Solvability of the inverse problem of finding thermal conductivity // Siberian Math. J., 2005. Vol. 46, no. 5. Pp. 841−856.
6. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением// Матем. сб., 1992. Т. 183, № 4. С. 49−68- англ. пер.: Prilepko А. I, Kostin А. В. On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation // Russian Acad. Sci. Sb. Math., 1993. Vol. 75, no. 2. Pp. 473−490.
7. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, № 4. С. 562−570- англ. пер.: Prilepko А. I, Tkachenko D. S. Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination // Comput. Math. Math. Phys., 2003. Vol. 43, no. 4. Pp. 537−546.
8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уралъцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.- англ. пер.: Ladyzenskaja О. А., Solonnikov V.A., Ural’ceva N. N. Linear and quasi-linear equations of parabolic type/ Translations of Mathematical Monographs. Vol. 23. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1968. 648 pp.
9. Garding L. Cauchy’s problem for hyperbolic equations / Lecture notes. Chicago, 111, USA: University of Chicago, 1957- русск. пер.: Гордине Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 120 с.
Поступила в редакцию 25/IV/2011- в окончательном варианте — 05/V/2011.
MSC: 35R30- 35L10
ON SOLVABILITY OF A INVERSE PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION WITH AN INTEGRAL OVERDETERMINATION CONDITION
N. V. Beilina
Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443 100, Russia.
E-mails: natalie@samdiff. ru
In this paper we study an inverse problem with an integral overdetermination condition for a hyperbolic equation with an unknown coefficient in equation. The existence and uniqueness of a solution is proved with the help of an a-priory estimate and Galyorkin procedure.
Key words: inverse problem, integral condition, solvability.
Original article submitted 25/IV/2011- revision submitted 05/V/2011.
Natalya V. Beilina (Ph.D. (Phys. & amp- Math.)), Senior Teacher, Dept, of Higher Mathematics & amp- Applied Informatics.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой