Управление объектами в условиях неопределенности и ограничений на амплитуду входного сигнала

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519. 7
И. Б. Фуртат
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ОГРАНИЧЕНИЙ НА АМПЛИТУДУ ВХОДНОГО СИГНАЛА
Синтезирован алгоритм управления объектами в условиях параметрической неопределенности, возмущений и ограничений на амплитуду входного сигнала. Предложен способ формирования сигнала, позволяющий обеспечить ограниченность функции управления в заданной полосе. Определены ограничительные условия для параметров объекта управления, эталонной модели и регулятора, при выполнении которых система управления будет работоспособной. Приведены результаты моделирования для линейного объекта.
Ключевые слова: управление в условиях неопределенности, ограничение на амплитуду сигнала управления, компенсация возмущений.
Введение. Одной из ключевых проблем в теории управления является регулирование объектов в условиях неопределенности, о чем свидетельствует множество публикаций. Однако в большинстве работ при синтезе системы управления не учитываются ограничения на входной сигнал, что в реальных условиях может привести к неработоспособности системы в целом. Более того, практически отсутствуют публикации, посвященные аналитическому построению системы управления в условиях неопределенности.
Так, в работе [1] впервые приведены ограничения на динамику ошибки слежения и эталонной модели, не имеющие, однако, строгого доказательства. Аналогичные результаты описаны в работе [2], где представлена методика задания параметров регулятора на этапе моделирования системы с учетом множества возможных значений параметров объекта. В работе [3] для решения задачи предлагается функцию насыщения амплитуды сигнала управления заменить на гиперболический тангенс от входного сигнала. Возможно также адаптивное управление объектами в условиях неопределенности, при котором для частичной компенсации ограничений на сигнал управления параллельно контуру ошибки слежения подключается контур с настраиваемым параметром [4].
В настоящей статье представлено решение задачи управления объектами в условиях неопределенности и ограничений на амплитуду входного сигнала. Предложен новый способ формирования функции управления, позволяющий обеспечить ее нахождение в заданной полосе. Определены условия для параметров объекта управления, эталонной модели и регулятора, при выполнении которых система управления будет работоспособной. Для компенсации неопределенности использовался изложенный в работе [5] подход, обобщенный для управления структурно неопределенными объектами и мультиагентными системами [6, 7].
Отметим, что для простоты изложения рассматривается линейный объект управления, в ко*
тором доступен измерению вектор состояния и его первая производная.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением
х (0 = Ах (г) + Bg (u) + Б/(О, х (0) = Хо, (1)
где х (г) е Я& quot- - вектор состояния объекта- и (г) е Я — управляющее воздействие- /(г) е Я — неконтролируемое внешнее возмущение, причем |/(г)| & lt- /, / - известное положительное
число- элементы матрицы, А е Я& quot-х"- и коэффициенты векторов В е Я& quot-, Б е Я& quot- - неизвестные числа- х0 — неизвестные начальные условия- g (u) е Я — функция насыщения амплитуды сигнала управления и (г), определяемая выражением
, — (и (г) ^ [и), |и0^ & lt- и- g (u) = и8Е1| -и- Н_ '- _ (2)
V и) 1и)), |и (/)| & gt- и,
где и & gt- 0 — степень насыщения. Зададим эталонную модель:
хт (г) = Атхт () + Втг (г), хт (0) = 0, (3)
здесь хт (р) е Я& quot- - вектор состояния- г (г) е Я — задающее воздействие, причем |г (г) & lt- Т- мат-
0 1& quot--1
рица Ат =
— ап … -а
& quot--1.
— гурвицева, где 1п — 1 — единичная матрица порядка п — 1-
Вт = [0, …, 0, ЪтТ, ът& gt- 0.
Предположение 1. Неизвестные элементы матрицы, А и векторов В и Б зависят от вектора неизвестных параметров $ е 2, где 2 — известное ограниченное множество. Пара (А, В) управляема.
Т
Предположение 2. Выполнены условия: А = Ат + Втс01, В = Вт + ВтС02, Б = ВтС0з,
где с01 е Я& quot- - неизвестный вектор, с02 е Я и с02 & gt- -1, с03 е Я — неизвестные числа.
Цель управления — синтез непрерывного закона регулирования, обеспечивающего выполнение условия
х (г) — хт (г)| & lt-5 при г & gt- Т, (4)
где 5 & gt- 0 — заданное число- Т & gt- 0 — время, по истечении которого должно быть выполнено неравенство (4).
Структура закона управления. В условиях ограничений на входной сигнал сформируем закон управления
1
и (г) =
1 + а
~ (ис (0
ис (г) + аиБа1-
(5)
и
где, а & gt- 0, 0 & lt- и & lt- и, ис (г) — дополнительный сигнал управления, необходимый для компенсации неопределенности модели объекта (1).
Синтез алгоритма управления. Принимая во внимание предположение 2, составим уравнение для ошибки (г) = х (г) — хт (г):
((0 = Ат е (0 + Вти (0 + Вт ф (0, (6)
где ф (г) = g (и) — и (0 + сТ1х (0 + с02g (и) + с0з/(0 — г (0.
В соответствии с работой [5 для выделения возмущений, действующих на объект управления, введем вспомогательный контур
Вариант реализации системы управления, в которой измерению доступен только выходной сигнал объекта управления, приведен в работах [5−7.
е, а (Г) = Am 8a (t) + Bmu (t), (7)
где Sa (i) е Rn.
С учетом выражений (6) и (7) составим уравнение для рассогласования ((?) = - еа (^ в
виде
((i) = Ат ((i) + Bmф (i) (8)
и выделим в системе (8) последнюю строку
(п ^) = ат ((i) + Ьт ф (0, (9)
где — последняя компонента вектора ат = [_а0, …, -ап _ 1].
Тогда исходя из уравнения (9) сигнал управления ис (^ можно определить как
ис (i) = -ф (0 = -Ьт1 ((п (i) -ат ((О). (10)
, с учетом фор-
Выразив u (i) в выражении (5) в виде и ^) = ис ^) + а|и8а1 (и 1ис (i)) — и 0) мулы (10) перепишем уравнение (6) следующим образом:
е ^) = Ат е^) + аВп
ива!
(и-1ис (i)) — и (0
(11)
Введем, предваряя формулировку утверждения, следующие обозначения:
(|со,|)
с01 = тах
I, с02 = тах
((с02с03 = тах (|с031), ?02 = т1П (|с021), Хт = вир (((0|) R = б — 21РВт | € 011 — 2м-1 РВтВТтР ,
Т т т
где матрица Р = Р & gt- 0 является решением уравнения Ляпунова АтР + РАт = -б, б = б & gt- 0-
I — единичная матрица соответствующего порядка- м & gt- 0 — произвольное число. Утверждение. Пусть выполнены условия предположений 1, 2. Тогда при
с0з7 + с01хт + Г & lt-(1 + ?02) и — |х (0)| & lt- К1 + с02) и — с0з7 — с01хт — Г] ,
и + а-1 (1 + а) Г (а-1 (1 + а) + 2 +
с02 + с02) и + с01хт + 2с0з/ + 2г
а& gt--
(12)
(13)
(14)
и — и
система управления (5), (7), (10) обеспечивает выполнение целевого условия (4) и ограниченность входных сигналов в системе.
Доказательство утверждения приведено в Приложении.
Замечание 1. Из уравнения (5) очевидно, что при |и (^| & lt- и величина и (?) = ис (?), при
|и (& gt- и и ({) = -1- Гис ({) + ай (ис (^)] - 1 + а
из последнего равенства следует, что при, а & lt- да
величина |и (^| может принимать значения, принимающие и. Однако при, а ^ да величина
и ({) ^ ^а!1
Г ис (0
^ и
. Следовательно, при достаточно больших значениях, а величина и может
быть достаточно близка к и, так при и = и и, а ^ да и (^ ^ ива! | |.
I и)
Замечание 2. Из уравнения (5) следует, что коэффициент, а можно выбирать исходя из условия, а е (_да- _1) и (0- +да).
Для иллюстрации полученных результатов приведем следующий пример. Пример. Рассмотрим модель объекта управления
х (0 =
& quot- 0 1 ] & quot-0 ] & quot- 0 ]
х (0 + Ь g (и) + й
а0 а1
/(0, х (0) = Х0.
Множество возможных значений 2 задано неравенствами |а0| & lt- 2, |а1| & lt- 2, 1 & lt- Ъ & lt- 3, 1 & lt- d & lt- 3 и / = 5. Ограничения на сигнал управления и = 1. Пусть эталонная модель задана уравнением
хт () =
& quot- 0 1 ] & quot-0]
-1 -2 хт 0) + 1
0,291, 2^, хт (0) = 0.
Цель управления заключается в обеспечении целевого условия (4).
Сформируем систему управления, подчиняющуюся закону управления (5) и состоящую из вспомогательного контура
(а (г) =
& quot- 0 1 ] & quot-0]
-1 -2 ?а (г) + 1

и (г)
при наличии сигнала для компенсации возмущений
ис (г) = -(С (0-[-1 -2]С (0).
Пусть параметры объекта управления следующие: а0 = 2, а1 = 2, Ъ = 1, d = 3, //)=0,01+0,1втг, х (0) = [0,12 0,12 0,12. Очевидно, что условия (12) и (13) выполнены. Пусть и = 0,9, а из условия (14) выберем, а = 100.
Результаты моделирования переходного процесса по ошибке ?(г) и по сигналу управления и (г) представлены на рис. 1 и 2 соответственно.
е (0
0,1
0 -0,1
и (0 0,5
0
-0,5 -1
0
5
10
Рис. 1
15 /, с
0
5
10
Рис. 2
15 г, с
Заключение. Синтезирована система управления в условиях неопределенности параметров объекта, внешней среды и ограничений на амплитуду сигнала управления. Определены условия, при выполнении которых система управления будет работоспособной при ограничениях на входной сигнал. Результаты компьютерного моделирования подтверждают аналитические расчеты, а именно: предложенная структура системы управления обеспечивает нахождение входного сигнала в заданной полосе, когда объект управления функционирует в условиях неопределенности.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство утверждения. Выберем функцию Ляпунова У (г) = V (s (t)) в виде
V (г) = еТ (г) ре (г). (15)
Для исследования системы (11) рассмотрим три варианта.
Вариант 1: |ф (г)| & lt- и, что согласно уравнению (10) равносильно |ис (г)| & lt- и. Тогда исходя
из (5) и (г) = ис (г), а значит, уравнение (11) примет вид ((г) = Ате (г). Так как матрица Ат гур-вицева, то цель управления (4) будет достигнута.
Вариант 2: и & lt-|ф (7)| & lt- и. Тогда исходя из (10) и & lt- |ис (г) & lt- и, а исходя из (5)
и (г) = (1 + а) 1 [ис (г) + аи (ис (г)). С учетом последнего перепишем уравнение (11) как
() = Ат) + а (1 + а) Вт ['-и 8§ п (ис))-ис (г)]. (16)
При и & lt- |ф (1) & lt- и разность и — и характеризует максимальную амплитуду возмущения, а значит, перепишем уравнение (16) следующим образом:
е (1) = Ате^) + а (1 + а)1 Вт (и — и) 8§ п (ис (1)). (17)
Производная от функции (15) по времени вдоль траекторий системы (17) определяется
как
V (1) = -ет (1)бе (1) + 2а (1 + а)& quot-1 ет (t)РВт (и — и) 8§ п (ис (1)). (18)
Воспользуемся оценкой
2а (1 + а)1 ет (t)РВт (и — и) ввп (ис (t)) & lt- 2а (1 + а)1 [ет (t)РВт^Т) + (и — и)2.
Тогда выражение (18) можно оценить как
V (1) & lt--ет (t) [б — 2а (1 + а)-1 РВтВТтР ] е (1) + 2а (1 + а)-1 (и -и)2.
Очевидно, что всегда существует, а & gt- 0, такое что б — 2а (1 + а) 1 РВтВтР & gt- 0. Таким образом, при и & lt- |ф (1)| & lt- и цель управления (4) также будет достигнута.
Вариант 3: |ф (1)| & gt- и. Принимая во внимание структуру функции ф (1), перепишем уравнение (6):
е (1) = Ате (г) + Втс^) + (1 + ^)ВтЕ (и) + Вт (с0з/(1) — Г (t) — ст1Хт (О). (19)
Найдем производную от функции (15) вдоль траекторий системы (19):
V (0 = -ет (0бе (0 + 2ет (0РВт^ 0 + 2ет (0РВт (1 + с^) е (и) +
+2ет (1)РВт (/(0 — г (0 — ст1Хт (0). (20)
Рассмотрим вначале случай, когда 8§ п ((и)) = -8§ п (ет (1) РВт). С учетом этого оценим выражение (20):
V (0 & lt--^тт (б)|е (0|2 +2с01 ет (0РВт -|е (0|-2|ет (0РВт (1 + сн) и
+2
(21)
(0РВт (/ + с01Хт + Г),
где — наименьшее собственное число матрицы б. Если
|е (0| & lt- с0−11 К1 + с02) и — с0з7 — с01хт — Г] ,
то V (t) & lt- 0, откуда следуют оценки (12) и (1з).
Рассмотрим теперь случай, когда 8§ п ((и)) = 8§ п (ет (1)РВт). Перепишем второе слагаемое системы (11) в виде
(22)
ива!
(и 1ис (1)) — и (1) = (1 + а) 1 ша! (и 1ис (1)) — ис (1)
(2з)
С учетом выражения (2з) и ис (1) = _ф (1) перепишем систему (11) следующим образом:
е (0 = Ате (.0 + а (1 + а) 1 Вт ива! (и (0) + ф (0
(24)
Управление объектами в условиях неопределенности 25
Найдем производную от функции (15) вдоль траекторий системы (24):
V (г) = -(Т (г)0е (О + 2а (1 + а)-1 еТ (г)РВт (й-1ис (г)) + ф (0. (25)
С учетом уравнения (5) перепишем выражение для функции ф (г) в виде
ф (г) = (1 + с02)(и) -(1 + а) 1 -ф (г) + аи8аг (и (г))]+с0Т1х (г)+с03/(г)-Г (г). (26)
Решим (26) относительно ф (г) и подставим ф (г) в выражение (25):
V (г) & lt- -(Т (г) + 2(Т (г)РВт ((1 + с^) и +€ 03/ + с^ + г). (27)
Тогда V (г) & lt- 0, если
|е (/)| & gt- 21Щ- РВт|((1 + с02) и + с03/ + слхт + г). (28)
Из выражений (22) и (28) следует, что функция |е (г)| будет находиться в области
21Щ & quot->-В.| ((1+ с02) и + с03/ + с01хт + г)& lt-|е (0| & lt- с011 ((1 + с02) и — с03./ - с01хт — г). Теперь определим оценку для коэффициента а, при котором и (г)| & lt- и. Для этого с учетом выражений (2) и (5) оценим (1 + а) 1 ис (г) + аи8аг (и-1ис (г)) & lt- и и решим последнее не-
и — ис (г)
равенство относительно а: а& gt---1-т. С учетом того, что ис (г) = -ф (г), оценим
и -иъаХ (и- ис (г))
сверху правую часть последнего неравенства:
и — и (0 и + а-1 (1 + а) (а-1 (1 + а) + 2 + с02 +с02) и + с01хт + 2с03/ + 2г
-i-L^L- & lt-.
u — г/satu -1uc (t)j u — u
откуда следует оценка (14).
Очевидно, что оценки (12)-(14) достаточно грубые, но из них следует, что существуют определенные значения параметров объекта, эталонной модели и регулятора, при которых в условиях ограничений можно обеспечить цель управления (4).
Статья подготовлена по результатам работы, выполненной при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12−08−1 183, 13−08−1 014, 12−01−31 354), а также в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России& quot- на 2009−2013 гг., соглашения № 14. В37. 21. 0871, 14. В37. 21. 1480.
список литературы
1. Monopoli R. Adaptive control for systems for hard saturation // Proc. of 14th IEEE Conf. on Decision and Control, Houston, TX, USA. 1975. P. 841−842.
2. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
3. Wen C., Zhou J., Liu Z., Su H. Robust adaptive control of uncertain nonlinear systems in the presence of input saturation and external disturbance // IEEE Trans. on Automatic Control. 2011. Vol. 56, N 7. P. 1672−1678.
4. Schwager M., Annaswamy A. M. Direct adaptive control of multi-input plants with magnitude saturation constrains // Proc. of 44th IEEE Conf. on Decision and Control, and the European Control Conf., Seville, Spain. 2005. P. 783−788.
26
М. М. Шакирьянов
5. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 10з-115.
6. Фуртат И. Б. Алгоритм субинвариантного управления по выходу линейным структурно неопределенным динамическим объектом // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 9. С. 22−27.
7. Фуртат И. Б. Субоптимальное управление нелинейными мультиагентными системами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 201з. № 1 (8з). С. 19−2з.
Игорь Борисович Фуртат
Сведения об авторе — д-р техн. наук, профессор- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: cainenash@mail. ru
Рекомендована Институтом проблем машиноведения РАН
Поступила в редакцию 26. 06. 13 г.
УДК 621. 515
М. М. Шакирьянов СИСТЕМА ЗАЩИТЫ ТУРБОКОМПРЕССОРА ОТ ПОМПАЖА
Рассматривается возможность построения системы защиты турбокомпрессора по результатам обработки экспериментальных данных о помпаже. В системе предусматривается одновременный контроль определенного набора параметров давления и температуры воздуха (газа) в газовоздушном тракте.
Ключевые слова: помпаж, струйный генератор, газовоздушный тракт.
Помпажные явления сопровождаются резкими понижением давления и повышением температуры воздуха по сечению турбокомпрессора [1, 2]. Контроль лишь отдельных параметров и (или) их определенных наборов далеко не всегда точно характеризует нарушение устойчивости газодинамической системы с компрессором.
В этой связи вполне обоснованным представляется проектирование системы с использованием экспериментальных данных о помпаже для контроля определенного набора параметров газовоздушного тракта.
Состояние газодинамической системы компрессора с присоединенными всасывающим трубопроводом и нагнетательным трубопроводом реально может характеризоваться параметрами т1 и т2 — температурой воздуха на входе и выходе компрессора соответственно, а также Р1 и Р2 — давлением воздуха на входе и выходе компрессора соответственно. Однако для прогнозирования помпажных явлений ограниченное количество параметров может оказаться недостаточным ввиду разновидностей помпажа, каковым является «вращающийся срыв& quot-. Под термином «вращающийся срыв& quot- понимается явление, при котором срыв потока газа происходит на части лопаток компрессора в течение длительного времени [з].
Возникновение и развитие помпажа сопровождается значительным понижением давления воздуха за компрессором (Р2) и повышением температуры воздуха в газовоздушном тракте. Это утверждение подтверждается экспериментальными исследованиями, в ходе которых обнаружен эффект экспоненциального повышения температуры в газовоздушном тракте непосредственно перед возникновением помпажа. В связи с этим, помимо названных параметров т1 и т2, введены дополнительные температурные параметры: тз — температура газа перед камерой сгорания и т4 — температура газа за турбиной. Для измерения этих параметров наиболее эффективным представляется использование струйно-акустического датчика с быстродействием до 0,001с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой