3D-модель «Черного ящика» в задаче совмещения коники с квадрикой

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Строительство. Архитектура


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Научно-методический раздел
УДК 681. 327. 11
3й-МОДЕЛЬ «ЧЕРНОГО ЯЩИКА» В ЗАДАЧЕ СОВМЕЩЕНИЯ КОНИКИ С КВАДРИКОЙ
А.Л. Хейфец
3D-MODEL OF «BLACK BOX» IN THE PROBLEM OF COMBINATION CONIC WITH A QUADRIC
A. L. Kheyfets
Приведено решение задачи совмещения заданных эллипса и однополостного эллиптического гиперболоида. На этом примере показан метод 3D-компьютерного геометрического моделирования, заключающийся в построении множества искомых объектов, его исследовании и выборе из него объекта с требуемыми параметрами.
Ключевые слова: компьютерное моделирование, геометрическое моделирование, 3D-mexнoлoгuu, AutoCAD.
A solution of the problem of combining the given ellipse and sheeted elliptic hyperboloid is given. This example demonstrates 3D-computer geometric modeling with the help of which we can construct a set of required objects, its study and the choice of a facility with the required parameters.
Keywords: computer simulation, geometric simulation, 3D-technologies, AutoCAD
Как правило при решении и исследовании задач геометрического моделирования стремятся получить геометрическую, часто 3D-реалистич-ную, или аналитическую модель. Однако для большинства прикладных инженерных задач характерна высокая сложность таких моделей, приводящая к множеству упрощений и допущений, либо невозможность или нецелесообразность их построения.
В экспериментальных исследованиях и задачах управления в таких случаях применяют модели «черного ящика», позволяющие исследовать объекты, внутреннее устройство которых неизвестно.
Цель работы — на примере задачи о совмещении коники с квадрикой показать 3D-метод компьютерного геометрического моделирования, не требующий построения явной геометрической или аналитической модели (модель «черного ящика»), а также рассмотреть решение указанной задачи.
Известны частные случаи задачи совмещения [1, 2 и др.] эллипса и конуса и их явные решения. Автор усложнил задачу, рассмотрев совмещение произвольной коники с произвольной квадрикой [3], а также ввел точку на поверхности квадрики, через которую должна проходить коника. В данной работе приведено решение для эллипса и однополостного эллиптического гиперболоида (ОГ).
Задача: даны эллипс и OГ с наперед заданными параметрами. На поверхности OГ задана точка. Oпрeдeлить положение эллипса, при котором он является сечением OГ и проходит через заданную на нем точку («надеть» эллипс на O^.
Ме^дика peшeния. Работа выполнялась в пакете AutoCAD, как наиболее адаптированном к теоретическим задачам геометрического моделирования [4].
Модель OГ строим по характерным размерам (рис. 1), создав каркас из двух очерковых гипербол
и 10__20 «поперечных» эллипсов и применив к
нему команду Loft [5]. Гиперболы для каркаса получим как сечения эллиптического конуса [3].
Рис. 1. Модель и параметры гиперболоида
Эллипс зададим двумя метриками С1 и С*, где сС1 — длина большой оси, С* = ё2 /ё1 — относительная длина малой оси ё2 (рис. 2, а). В процессе решения задачи эллипсы получались как сечения ОГ -сплайны. Для определения их метрик по методу хорд находим центр, затем с помощью дуги окружности, проведенной из центра и обрезанной контуром сплайна, находим ось и вершины, следовательно, С1 и С2.
Для повышения точности решения ОГ строили как линейчатую поверхность по трем направляющим. Добавив еще две направляющие, эллипс и его метрики находили по пяти точкам пересечения секущей плоскости с отрезками каркаса [5].
Все построения и вычисления выполнялись программными средствами Аи1оЫ8Р [6]. Алгоритмы программной реализации, зачастую оригинальные, в данной работе не приводятся.
Частный случай задачи. Как правило в сложных моделях для их предварительной оценки первоначально выполняют упрощенные частные решения, которые получаются явными и геометрически точными. Для этого в рассматриваемой задаче рассмотрим совмещение заданных эллипса и ОГ без дополнительного ограничения в виде точки.
Эллипс ищем «просто» как фронтально-прое-цирующий, то есть перпендикулярный фронтальной плоскости симметрии ОГ. Пример на рис. 2 приведен для С1 = 90- С* = 0.4. Впишем в ОГ сжатый эллипсоид, образованный вращением эллипса в/, подобного заданному эллипсу в (рис. 2, б). Касание в двух точках приводит к распадению линии пересечения на два эллипса в'-и в//, подобных заданному. Построение можно выполнить на проекционном чертеже (рис. 2, в), где (2−3) — проекция эллипса вёГ — длина большой оси эллипса в '-или в/- (4−5) — произвольная хорда, параллельная (2−3) — 6 — ее средняя точка- отрезки (11−9) и (12−8) параллельны (/-6) и проведены через точки 7, 10, в* и в** - найденные эллипсы, то есть решение задачи для ее частного случая.
По симметрии получим еще два фронтально-проецирующих эллипса в*'-, в**'- (рис. 2, г). Так же находим еще четыре профильно-проецирующих эллипса. Всего частный случай имеет восемь решений. В зависимости от параметров модели количество решений снижается до четырех или может отсутствовать.
Решение в частном случае задачи можно получить по 3Б, если найти направление плоскости эллипсов в'- или в'- поместить в нее искомый эллипс в и «лофтировать» его по фронтально-очерковой гиперболе к (рис. 2, д). Пересечение полученного объекта с ОГ дает искомые эллипсы (рис. 2, е).
Общее решение задачи. Были рассмотрены две точки: точка А, расположенная во фронтальной плоскости симметрии, и точка В общего положения (см. рис. 1). В каждом из вариантов не удалось получить явного геометрического или аналитического решения.
Рис. 2. Частный случай задачи: а — совмещаемый эллипс- б — сжатый эллипсоид при двойном соприкосновении с гиперболоидом- в — решение на проекционном чертеже- г — восемь решений для частного случая- д — вспомогательный объект- е — решение по Эй
Для решения по методу «черного ящика» построим множество возможных эллипсов, расположенных на поверхности ОГ и проходящих через заданную на нем точку. Из этого множества найдем эллипсы с требуемыми метриками.
Для создания множества
1) введем секущую плоскость у (рис. 3), совершающую вращение вокруг двух осей, проходящих через заданную точку. Первое вращение вокруг оси /1, параллельной оси / ОГ. Второе -вокруг горизонтали /2, принадлежащей плоскости у и вращающейся вместе с ней вокруг /1. Положение плоскости у зададим углом и между 12 и большой осью эллипса основания ОГ, а также углом w между плоскостью у и плоскостью основания ОГ-
2) интервалы изменения и, w задаем такими, чтобы получить все множество коник. Для т. А, находящейся в плоскости симметрии, изменение и задаем в интервале (-90°, 0). Для точки В интервал изменения и (-90°, 90°) —
3) шаг вращений принимаем 0.5… 1°. В этом случае размеры множеств составляют 20… 40 тысяч. Они успешно обрабатываются на персональном компьютере-
Научно-методический раздел
Рис. 3. Схема формирования множества коник для точки В
4) для каждого сечения определяется тип коники, выбираются только эллипсы, находятся их метрики d1, d* и точки осей. Эти параметры, а такжеу-координаты секущей плоскости заносятся в базу данных (БД). Формирование Б Д происходит за 2…3 часа-
5) далее по метрикам искомого эллипса в БД находим эллипс с близкими параметрами, извлекаем егоу-координаты и по ним строим сечение ОГ. Отклонение метрик построенного эллипса от заданных значений рассматриваем как погрешность решения-
6) выделяя из БД подмножества с заданными характеристиками, строим различные зависимости, то есть исследуем модель. Все операции, а также построение графиков выполняются средствами ЛиІоЬІБр.
Решение для точки А. Отобразим Б Д, полученную для точки, А и составляющую -38 000 эллипсов, в координатах d1, d* (рис. 4, а). Каждый эллипс отмечаем маркером точки. Получена область возможных решений.
Для исследования области определяем углы наклона эллипсов к плоскостям симметрии ОГ. Получаем зависимости, показывающие положение особых эллипсов. Так, кривые, а — фронтально-
проецирующие эллипсы, для них и = ±90°- кривые Ь — профильно-проецирующие, и = 0°- т — равно-наклоненные к плоскостям симметрии, и = ±45°,
Рассмотрим особые точки (см. рис. 4, а). Точка С — два круговых сечения гиперболоида, проходящих через т. А. Точка В — фронтально-проеци-рующий эллипс с минимально-возможной длиной большой оси. Точка Е — горизонтальный эллипс. Все особые эллипсы можно построить геометрически точно. Так для точки С достаточно построить круговые сечения ОГ на основе двойного соприкосновения со сферой и через точку, А провести секущие плоскости, параллельные выявленным окружностям. Для точки В следует опустить перпендикуляр из точки, А на противоположную ветку фронтально-очерковой гиперболы — это большая ось фронтально-проецирующего эллипса. Для точки Е — построить горизонтальное сечение ОГ.
Исследуем количество возможных решений. Сделаем выборку (вертикальный «срез» области) мость угловых координат секущей плоскости от ё* (рис. 4, б). Получены две пары кривых. Первая пара и1(С*), w1(d*), вторая — и2(С*), w2(d*). Каждая пара задает перемещение секущей плоскости, при котором образуются эллипсы с изменяемой длиной малой оси С* и постоянным значением большой оси С1 = 75.
Видим, что при С* & lt- С*тЫ решение отсутствует. В интервале С*т/п & lt- С* & lt- С*1 имеется одно решение, определяемое парой и1, w1. В интервале С*1 & lt- С* & lt- С*тах добавляется решение от пары и2, w2, то есть имеется два решения. При С* & gt- С*тах решение вновь отсутствует.
Количество решений указано для изменения и в интервале (-90°, 0). Полное количество решений вдвое больше. То есть область, ограниченная кривыми, а (см. рис. 4, а), соответствует двум решениям. Ее граничные точки 1, 3 — два совпадающих фронтально-проецирующих эллипса каждая, для них угол и = ±90°(см. рис. 4, б). Вне этой области возникает четыре решения.
Рис. 4. Исследование множества эллипсов, проходящих через точку А: а — область множества- б — угловые координаты секущей плоскости для 61 = 75
Эллипсы в точках 2 и 4 являются равнонакло-ненными (принадлежат кривой m, угол и = ±45°). В точке 6'- два симметричных профильно-проецирующих эллипса (принадлежат кривой b, и = 0). В точках 4'-, 6, 7 — по два эллипса общего положения, причем в точке 7 эллипсы совпадающие.
В качестве примера построены эллипсы для точек 5, 5'- (рис. 5), соответствующих dl = 75, d* = 0.6. Получено четыре эллипса общего положения. Эллипсы el, e2 построены как сечения ОГ по координатам u, w секущей плоскости (см. рис. 4,
б, точки 5, 5'-). Тот же результат получается при отыскании этих эллипсов непосредственно из БД по параметрам dl, d*. Еще два эллипса построены по симметрии: эллипс el'- симметричен el относительно фронтальной плоскости симметрии ОГ, эллипс e2 симметричен e2.
Погрешность решения (см. таблицу на рис. 5) определяли как del =0.5 (dell + del2), где dell, del2 -погрешности по метрикам dl, d*.
Решение для точки В. Область возможных решений (рис. 6) имеет значительно более сложный вид чем в примере с точкой А. Это отражает и более высокую сложность задачи, хотя с позиции рассматриваемого метода решения это не имеет значения: нужно построить множество эллипсов и делать по нему выборки.
В точках С'- С возникают два различных круговых сечения (035.5 и 084. 6). В точке Е образуется горизонтальный эллипс. Кривая, а — фрон-тально-проецирующие эллипсы, кривые Ь, Ь'-, Ь& quot- -профильно-проецирующие эллипсы.
Рассмотрим срез области для эллипсов с длиной большой оси С1 = 75 (см. рис. 6). Количество решений определяется (рис. 7, а) количеством точек пересечения вертикальной линии с кривыми и1, и2. Видим, что в интервалах Стп & lt- С* & lt- С*1 и С*2 & lt- С* & lt- С*тах существуют два решения. При С*1 & lt- С* & lt- С*2 — от трех до пяти решений. При С* & lt- С*тп и С* & gt- С*тах решение отсутствует.
Рис. 5. Эллипсы через точку, А для dl = 75 и d* = 0. 6
Рис. б. Область множества эллипсов, проходящих через точку B
Научно-методический раздел
Рис. 8. Эллипсы через точку В для 61 = 75 и 6* = 0. 41 и оценка их погрешности
Построение множества подобных срезов для различных значений d1 позволило выделить область (см. рис. 6), ограниченную кривыми с (16−4-Е-К-5−17), в которой количество решений более двух. Эта область существует для d1 & gt- de, (в нашем примере de — 48. 51).
При d1 & lt- de существуют по два решения в каждой точке области определения: вертикальная линия (рис. 7, б) пересекает кривую и в двух точках.
Например, в точке? при d1 = 75, d* = 41 (см. рис. 6) выявлено пять эллипсов, их и, у-координаты определены точками 8,3,3*, 10,6 (см. рис. 7, а). Три из пяти эллипсов приведены на рис. 8. Эллипс е1 -фронтально-проецирующий (и = -90°, см. табл. на
рис. 8) — e2 — близок к профильно-проецирующему- e3 — равнонаклоненный к плоскостям симметрии ОГ (и = 45°).
Технологический пример. Рассмотрим квадрики как тонкостенные оболочки, которые следует сварить. Из технологических соображений сварной шов должен быть плоской кривой — эллипсом. Известно решение задачи в частном случае [1 и др.] для конуса и цилиндра. Наша методика позволяет «сварить» любые две квадрики, имеющие как сечение конику одного типа.
Пусть необходимо сварить эллиптический цилиндр, нормальное сечение которого задано как эллипс e* (рис. 9), и ОГ с заданными размерами. Оси цилиндра и ОГ параллельны. Сварной шов должен проходить через точку B на поверхности гиперболоида.
Решение заключается в извлечении из БД тех эллипсов, проекции которых на плоскости оснований цилиндра и ОГ имеют параметры эллипса e* (см. рис. 9).
Например, если для эллипса e* заданы метрики dl= 65, d* = 0. 45, возникают три решения. Для двух из них построены модели подготовки оболочек под сварку (см. рис. 9).
О нахождении в БД эллипса с заданными метриками. База данных формируется как список на языке AutoLisp. Поиск ведется средствами обработки списков. Вводится допуск поиска del (см. выше). Первоначально, задав del = 5…7%, находим множество из 30. 100 эллипсов. Сортируем эти эллипсы по возрастанию угла и их плоскости и выделяем группы с близкими значениями и. Количество групп — это количество возможных решений. В каждой группе находим эллипс с минимальным значением del, которая является одним из решений. Чтобы «не потерять» решения, в слож-
Рис. 9. Технологический пример: стыковка эллиптического цилиндра и гиперболоида
ных случаях строим зависимости (см. рис. 4, б и 7) и строим эллипсы по их иу-координатам.
Повышение точности решения до любого необходимого значения достигается созданием БД более высокой плотности или применением интерполяции.
Несмотря на то, что приведенные зависимости получены для фиксированных параметров ОГ и точек А, В, они являются характерными для рассмотренной задачи.
Другие варианты задачи совмещения коник и квадрик приведены в [3, 7].
Приведенное решение выполнено на персональном компьютере с параметрами, необходимыми для эффективной работы в пакете А^оСАБ 2010. Затраты на формирование БД составляли 2… 4 часа. Для работы с более сложными моделями возможны оптимизации программ и переход на более производительные, чем А^оЫвр, языки программирования.
Выводы
1. Сложный характер полученных в данной работе зависимостей позволяет с большой уверенностью утверждать, что геометрическая или аналитическая модели рассмотренной задачи вряд ли могут быть построены.
2. Предложенный метод позволил найти решение и исследовать задачу с требуемой точностью.
3. Рассмотренный метод в сочетании с 3Б-алго-ритмами и программированием может быть рекомендован для практических задач геометрического моделирования, в которых построение аналитических и геометрических моделей затруднительно или неоправданно ввиду их сложности.
Литература
1. Пеклич, В. А. Мнимая начертательная геометрия: учеб. пособие / В. А. Пеклич — М.: Изд-во АСВ, 2007 — 104 с.
2. Пеклич, В. А. Задачи по начертательной геометрии: учеб. пособие / В. А. Пеклич, С. Н. Павленко. — М.: Высш. шк., 1999. — 139 с.
3. Хейфец, А. Л. Компьютерные 3С алгоритмы в курсе геометрического моделирования (на примере задачи совмещения коник с квадриками) / А. Л. Хейфец // Труды 18-й международной научнотехнической конф. «Информационные средства и технологии. Москва 19−21 октября 2010». — М.: Издательский дом МЭИ, 2010. — Т. 3. — С. 110−117.
4. Инженерная 3П-компьютерная графика. АЫоСАО: учеб. пособие / А. Л. Хейфец, А.Н. Логи-новский, И. В. Буторина, В.Н. Васильева- под ред. А. Л. Хейфеца. — 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2011. — 464 с.
5. Хейфец, А.Л., Новые возможности 3Б-моде-лирования линейчатых поверхностей в АЫоСАО / А.Л., Хейфец, А. Н. Логиновский // Состояние, проблемы и тенденции развития графической подготовки в высшей школе: сб. тр. Всерос. совещания зав. кафедрами графических дисциплин. — Челябинск. — Изд-во ЮУрГУ, 2007. — Т. 2. — С. 125−133.
6. Хейфец, А. Л. Инженерная компьютерная графика АЫоСАО. Опыт преподавания и широта взгляда / А. Л. Хейфец. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. — 432 с.
7. Хейфец, А. Л. Инженерный 3С-метод компьютерного геометрического моделирования на примере задачи совмещения коники с квадрикой / А. Л. Хейфец // Труды 19-й международной научнотехнической конференции «Информационные средства и технологии. Москва 18−20 октября 2011». — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — С. 78−86.
Поступила в редакцию 12 сентября 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой