Математическая модель вентильно-индукторной реактивной электрической машины

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №& lt-Ш 77 — 30 569. Государственная регистрация № 421 1000Z5. ISSN 1994−04OS_
Математическая модель вентильно-индукторной реактивной электрической машины
77−30 569/219402
# 10, октябрь 2011
Дмитриевский В. А., Прахт В. А., Сарапулов Ф. Н., Климарев В. А.
УДК. 621. 313. 1
Уральский федеральный университет ООО «ЭЛТЕХНО» vdmitrievsky@gmail. com emf2010@mail. ru
Изучение электрических машин (ЭМ) с помощью компьютерных математических моделей в ходе подготовки специалистов электротехнических специальностей позволяет сформировать более глубокое понимание физических процессов, протекающих в ЭМ, повысить наглядность изложения учебного материала и облегчить изучение конструкции ЭМ. В статье рассматриваются вопросы разработки математической модели вентильно-индукторной реактивной электрической машины (ВИРЭМ) [1]. В англоязычной литературе [6] такой тип электрических машин называется switched reluctance machine.
Основное достоинство ВИРЭМ — отсутствие в их устройстве дорогостоящих магнитов. Отсутствие обмотки на роторе снижает стоимость ВИРЭМ по сравнению с асинхронным двигателем. ВИРЭМ являются перспективным типом электрических машин, так как они дешевле и надежнее традиционных типов электрогенераторов и электродвигателей, имеют лучшие энергетические характеристики, но производятся мелкосерийно и только за рубежом. ВИРЭМ изобретены давно, однако внедряться на практике они стали только в последние годы, так как эта ЭМ является сложным нелинейным объектом управления, а для создания энергоэффективных режимов её работы требуется интеллектуальная система оптимального управления, работающая на основе математической модели. Отметим также, что вопросы оптимального проектирования ВИРЭМ и оптимизация режимов её работы до сих пор являются актуальными и недостаточно освещены в литературе.
На рис. 1 представлен один из вариантов конструкции ВИРЭМ. ВИРЭМ имеет сосредоточенную обмотку на статоре и зубчатый ротор. Принцип действия ВИРЭМ в
качестве двигателя основан на пондеромоторных силах, стремящихся повернуть ротор так, чтобы уменьшить сопротивление двигателя протекающему через него магнитному потоку. А именно, при включении фазы, А соответствующий полюс статора выполняет роль электромагнита и ротор поворачивается против часовой стрелки, стремясь занять положение, в котором зубец ротора оказался бы напротив зубца статора, охваченного обмоткой фазы А. Для продолжения движения затем активизируют фазу В, фазу С и т. д. Примечательно, что вращение ротора осуществляется в направлении, противоположном направлению вращения квадрата магнитной индукции.
Любая электрическая машина обратима с точностью до диссипативных процессов, поэтому ВИРЭМ может использоваться как генератор. В этом случае электрический ток пропускают по обмотке в промежутке от момента времени, в котором зубцы ротора и статора оказываются друг напротив друга, до момента времени, в котором напротив полюса статора отсутствует полюс зубца.
Рис. 1. Конструкция ВИРЭМ.
Запишем закон сохранения энергии для ВИРЭМ, при этом пренебрежём потерями в стали. Бесконечно малое приращение энергии магнитного поля ВИРЭМ со знаком минус «-dW» равно сумме бесконечно малых работ: работы, которую совершает машина над электрическим током, протекающим через обмотки машины (энергия, отданная в сеть), и механической работы, совершаемой ротором. Энергия, отданная в сеть, равна
«-^IidФI», где Ц — фазовые токи, Фг — фазовые потоки. Механическая энергия
равна Mdф, где М — момент усилия, ф — угол положения ротора. Поэтому закон сохранения энергии имеет вид
dW = ^ I^ Ф, — Md ф. (!)
Величины Ф^, -, Фт (где т — число фаз) и ф независимы, потому что при произвольном положении ротора можно подобрать такие токи 1^,…, 1 т, чтобы потоки Ф^, -, Фт приняли требуемое значение.
Выражение (1) представляет собой полный дифференциал W как функции от переменных Ф^, -, Фт, ф. Если эта функция W (Фц,-, Фт, ф) известна, то через независимые переменные Ф| и ф можно выразить ^ и М
Т дW дW
I =-, М =--. пл
1 дФ| дф (2)
Более того, функции 1|(Фх, -, Фт, ф) и М (Ф^,-, Фт, ф) не являются независимыми и удовлетворяют соотношениям
дЦ / дФ ] = д1] / дФ|- дМ / дФ| = дЦ / дф.
При постоянных потоках отданная в сеть энергия равна 0. Поэтому механическая работа ВИРЭМ равна убыли магнитной энергии.
Знание функций ^(Ф^,-, Фт, ф) и М (Ф^, -, Фт, ф) позволяет построить математическую модель ВИРЭМ, которая при заданных зависимостях фазовых напряжений и| и угла ф от времени позволяет вычислить токи, протекающие через обмотки, и момент усилия. Учитывая, что ЭДС, создаваемая электрической машиной,
d Ф1
равна--, получим уравнения равновесия электрической цепи:
dt
и — ^ = г1г (Ф!, -, Ф т, ф)'- (3)
где Г — сопротивление фазы. Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями относительно Ф^, -, Фт. Ток и момент в любой момент времени можно найти, подставив значения Ф^, -, Фт и ф в соответствующие выражения.
Тем самым моделирование динамического процесса электромеханического преобразования энергии в ВИРЭМ можно осуществить, выбрав в качестве независимых
переменных Ф^---, Фт и ф, если известны две функции /?(Ф^---, Фт, ф) и
М (Ф^- • •, Фт, ф) или, согласно (2), только одна функция Ж (Фц, — • Фт, ф).
Другой подход к моделированию ВИРЭМ основан на выборе в качестве независимых переменных / и ф. Тогда, подставив Ф/й/ = й (Ф//) — /?йФ, в (1), получим
йС = У Ф + Мй ф, (4)
где функция С (/т, ф) = (У Ф///) — Ж называется коэнергией [5].
Через независимые переменные /1,… ,/т и ф можно выразить Ф1,---, Фт и М
Ф =дс М=дс
1 д/,'- 5ф. (5)
Если на некотором интервале времени токи поддерживаются постоянными, то для любого бесконечно малого промежутки из этого интервала уФ? й/, = 0, и, следовательно, механическая работа на этом интервале равна приращению коэнергии.
Учитывая, что Ф, является зависимой переменной, запишем уравнения равновесия цепи (3) в виде
и, — у ьЛ у — ^^ ф = г /,, .
1 у 1 ] дф г (6)
где точка над буквой означает производную по времени, Ь, у =
дФ, д2С
1 д/] 6Щ]
дифференциальные взаимные индуктивности.
Таким образом, задача построения модели ВИРЭМ сводится к вычислению
зависимости Фг (/1,---,/т) или / (Фц,---, Фт). Тогда функции С и Ж, которые
однозначно задают модель, вычисляются по формулам
ф, … ф
1'- '- т
Ж_ | X ,
?1-'-, 1т
С = | ^ф^. ,
причём вследствие закона сохранения энергии интегралы могут быть вычислены по любой траектории.
Для получения зависимостей Фг (/1, -, 1т) или / (Ф1,& quot- •, Фт) была разработана
математическая модель ВИРЭМ и создано программное обеспечение на основе метода конечных элементов, которое вычисляет магнитное поле в ВИРЭМ.
Модели на основе МКЭ требуют больших вычислительных ресурсов, но позволяют с высокой степенью детализации учесть геометрические особенности машины. Кроме того программные пакеты, основанные на МКЭ, визуализируют конструкцию, что упрощает процесс разработки конструкторской документации для проектирования ЭМ.
Допущения, положенные в основу математической модели состоят в следующем:
1. Все физические свойства сред, образующих машину, однородны вдоль оси z (оси вращения вала ротора).
2. Пазовые токи равномерно распределены по проводящим частям паза.
3. Токи ориентированы вдоль оси z.
4. Магнитное поле и токи однородны вдоль поперечной координаты z. Плоскопараллельное поле может быть описано посредством поля векторного
потенциала, имеющего только 2-составляющую
я _дЛ в _ дЛ
вх _-, ву _--
ду дх
(8)
Поле Л2 удовлетворяет уравнению
V
чЦЦо у
Jz'-
(9)
где V
дх'- ду
Ц — относительная магнитная проницаемость, Цо — магнитная
постоянная, Jг — плотность тока.
Расчётная область математической модели магнитного поля в ВИРЭМ, для которой решается уравнение (8), состоит из следующих подобластей: подобласть магнитопровода ротора- подобласть воздуха, прилегающая к ротору (состоит из подобластей пазов ротора) — подобласть воздуха, прилегающая к статору (состоит из подобластей незанятых обмоткой частей паза) — подобласть магнитопровода статора- подобласти пазовых частей обмоток- кольцевая подобласть немагнитного зазора.
На границе подобластей выполняется условие непрерывности Л* (непрерывность
тангенциальной составляющей напряжённости магнитного поля в методе конечных элементов выполняется автоматически).
Отличная от нуля плотность тока задаётся только для областей пазовых частей обмоток
Ы т
— ± у Л '- (10)
здесь знак & quot-+"- выбирается для условно положительных подобластей, а знак & quot--"- для
условно отрицательных, N — число витков, У — площадь сечения пазовой части обмотки.
При программной реализации описываемой модели для аппроксимации относительной магнитной проницаемости магнитопроводов от модуля магнитной индукции применёно выражение из [4]
1 Ц
Ц-1 + 1
1 + а (0.1 + Б2) п'- (11)
где, а и п подбираются так, чтобы минимизировать среднеквадратичное различие
-1
значений Ц согласно (11) и в соответствии с кривой намагничивания для выбранной электротехнической стали.
После решения краевой задачи (9) потоки могут быть вычислены по формуле
ф / - у ?+Я л^,
у & quot- (12)
к (г) ак
В выражении (12) суммирование выполняется по областям, соответствующим проводящим частям паза Ок, относящимся к фазе г, причём знак минус выбирают для
условно положительных, а знак плюс — для условно отрицательных областей.
Несмотря на то, что момент усилия может быть вычислен по формулам (2) или (5), для контроля созданной модели момент усилия вычислялся на основе интегрирования максвелловских напряжений [2]. В литературе отмечается [5], что результат вычисления момента при помощи интегрирования по окружности, проходящей через зазор содержит большую трудно предсказуемую ошибку, зависящую от триангуляции расчётной области и для получения удовлетворительного результата все вычисления должны выполняться на очень мелкой сетке. Поэтому при вычислении момента выполняют усреднение по толщине зазора
м — ь \
ху (Б2у — Бх2) + (х2 — у2) БХБ
Х у
О.
Ъагг Цоу1×2 + У '-

(13)
здесь ОаГ — область воздушного зазора, ограниченная окружностями поверхности ротора и статора, 8агг — толщина воздушного зазора, Ь — длина машины.
Разработанная компьютерная модель позволяет при произвольных токах /1, -, /т вычислить потоки Таким образом, табулирование функций Фг (/1, -,/т) решает
задачу построения модели ВИРЭМ. Однако табулирование многомерных функций требует больших вычислительных затрат. Более того, табулированные многомерные функции требуют больших затрат памяти, что не позволяет строить алгоритмы управления на основе данной модели с использованием современных микроконтроллеров. Этим обусловлена потребность в упрощённых моделях ВИРЭМ.
Одной из упрощённых моделей является модель, не учитывающая насыщение стали. В этом случае зависимость потоков от токов линейна

J & lt-14>-
где индуктивности Ь- зависят лишь от угла поворота.
Основные соотношения математической модели имеют вид:
С _ -О--, Ж _ -И-, (15)
дТ ?-?я г /
и-У/-ФУ/_г/& quot- м_-^г- (16)
где Т 1 — матрица обратная матрице сопротивлений.
Отметим что значения величин С и Ж совпадают в линейном приближении, а функции С и Ж не совпадают, поскольку имеют разный набор аргументов.
В инженерной практике широко применяется приближение, в котором фазы независимы [5]. Это значит, что поток Фг зависит только от тока // и не зависит от токов других фаз. Удобство этого приближения состоит в том, что каждая фаза может рассматриваться по отдельности. В этом случае для одной фазы энергия //йФ/,
полученная из сети, равна площади криволинейной трапеции под функцией // (Ф/).
Рассмотрим некоторые свойства линейной модели ВИРЭМ в режиме генератора в приближении независимых фаз.
Пусть в момент, когда зубец ротора совпадает с зубцом статора, в соответствующей фазе пропускают электрический ток. Обозначим энергию магнитного поля в данный
момент через Жо. Затем ток поддерживается постоянным и в момент, когда напротив
зубца ротора оказывается паз статора, энергия оказывается равной Ж1. Поскольку в линейном приближении значение энергии и коэнергии совпадают, механическая работа, совершаемая над генератором, равна Л _ Ж0 — Ж1. Энергия, отданная генератором в сеть, равна Ж0 — Ж1 + Л _ 2(Ж0 — Ж1). Поэтому генератор возвращает инвертору не более чем удвоенную энергию, полученную от него. Аналогично, в двигательном режиме ВИРЭМ преобразует в работу не более 50% полученной от инвертора энергии. Постоянный обмен энергией между машиной и инвертором повышает нагрузку на инвертор и уменьшает КПД системы в целом. Это обстоятельство является существенным недостатком ненасыщенного режима работы ВИРЭМ при постоянном токе в течении активности фазы. Этим обусловлен интерес к другим режимам работы ВИРЭМ.
77−30 569/219402, № 10 октябрь 2011 г. http: //technomag. edu. ru 8
Рассмотрим теперь влияние насыщения на работу ВИРЭМ в генераторном режиме. На рис. 2а показан цикл активности фазы генератора при питании постоянным током- при наличии насыщения и без насыщения. ОВ — зависимость потока от тока при положении зубов ротора и статора напротив друг друга без учёта насыщения. ОС — эта же зависимость с учётом насыщения. ОА — зависимость потока от тока при положении зубцов статора напротив пазов ротора. При таком положении магнитный поток, вызываемый током, оказывается небольшим, и насыщение проявляется в незначительной мере.
Когда зубцы ротора оказываются напротив зубцов статора, в обмотке генератора возбуждают электрический ток (прямая ОВ или кривая ОС). Затем ток поддерживается постоянным (ВА или СА) и когда зубцы ротора оказываются напротив пазов статора, электрический ток прекращает своё течение (АО). Конвертируемая в электрическую механическая работа равна площади цикла (ОВАО или, при наличии насыщения, ОСАО). Подводимая к генератору энергия равна площади ОВБО при отсутствии насыщения и площади ОСЕО при наличии насыщения.
Из рисунка видно, что вследствие насыщения уменьшение механической работы может оказаться меньше уменьшения подводимой к генератору электрической энергии.
Поэтому генератор оказывается способным возвратить электрическую энергию, превышающую затраченную электрическую энергию более чем в 2 раза, а двигатель может производить работу, превышающую 50% подведённой электрической энергии [6].
Рис. 2. Цикл функционирования фазы ВИРЭМ в генераторном режиме: а — насыщенный и ненасыщенный циклы- б — ненасыщенный цикл с повышенным отношением полученной от инвертора и отданной инвертору энергий.
Однако выбирая алгоритм управления, можно добиться формы ненасыщенного цикла, близкого по форме к насыщенному циклу (рис. 2б). Например, когда зубцы ротора оказываются напротив зубцов статора, по обмотке пускают электрический ток (ОА).
Поворот ротора в положение, в котором его зубцы оказываются напротив пазов статора, состоит из двух участков: на участке АВ поток поддерживается примерно постоянным, а на участке ВС поддерживается постоянным ток. После чего течение тока прекращается (СО). Реальный цикл машины может отличаться от идеального. Этот пример приведён лишь для того, чтобы показать, что, как и в любой машине, насыщение в ВИРЭМ является нежелательным явлением, и кажущиеся достоинства насыщенного режима [6] могут быть достигнуты и в ненасыщенном режиме при условии оптимального управления.
Вместе с тем, как и для других типов электрических машин, чтобы получить высокие энергетические характеристики, необходимо выбирать режимы работы, близкие к насыщенному режиму, чтобы максимально использовать материал машины.
На рис. 3 показан результат одного из расчётов магнитного поля в ВИРЭМ. Диаметр ВИРЭМ равен 12 см, воздушный зазор равен 0.5 мм. Число витков N=20. Длина машины Ь=Ю см. Расчет распределения магнитного поля позволяет определить те фрагменты магнитопроводов, где модуль магнитной индукции максимален. Тем самым облегчается конструирование машины, в которой насыщение проявляется в меньшей мере.
Табулирование зависимости потока фазы от тока фазы и угла выполнено при токе от 0 до 54.5 А и угле от 0 радиан (зубцы ротора и статора напротив друг друга) до П /4 (зубцы ротора напротив пазов статора). Интервал токов разбит на 50 подинтервалов, а потоков на 10 подинтервалов.
На рис. 4а представлены результаты табулирования потока. На рис. 4б представлены зависимости коэнергии от угла при разных пазовых токах, вычисленные по формуле (7), численное интегрирование выполнено методом трапеций.
На рис 5а и 5б представлен момент (по модулю). Результаты, представленные на рис. 5а, получены численным дифференцированием коэнергии по углу с использованием центральноразностной формулы второго порядка. Результаты на рис. 5б получены интегрированием максвелловских напряжений.
Модуль индукции магнитного поля (Тл) пространственные размеры приведены в метрах
Мл: 2. (Н5е-?
Рис. 3. Пример расчётного поля модуля магнитной индукции.
I. А радианы
в) 5)
Рис. 4. Результаты моделирования ВИРЭМ: а — зависимость потока фазы от тока фазы- б — зависимость коэнергии от угла при разных токах фазы-
Рис. 5. Результаты моделирования ВИРЭМ: а — зависимость момента усилия от угла при разных токах фазы, вычисленная
посредством дифференцирования коэнергии по углу- б — зависимость момента усилия от угла при разных токах фазы, вычисленная посредством интегрирования максвелловских напряжений.
Видна схожесть соответствующих кривых рис. 5а и 5б, что подтверждает возможность применения численного интегрирования по формуле трапеций и численного дифференцирования по центральноразностной формуле второго порядка.
Описанная в статье математическая модель и созданная компьютерная программа могут быть использованы при проектировании ВИРЭМ и системы управления к ней, а также позволяют сократить дорогостоящие и длительные циклы разработки «проектирование — изготовление — испытание». Кроме того, математическая модель может применяться в учебных целях при проведении компьютерных практикумов.
Список использованных источников
1. Голландцев Ю. А. Вентильные индукторно-реактивные двигатели. СПб.: ГНЦ РФ -ЦНИИ «ЭЛЕКТРОПРИБОР», 2003. 148 с.
2. Иванов-Смоленский А. В. Электромагнитные силы и преобразование энергии в электрических машинах. М.: Высш. шк., 1989. 312 с.
3. Прахт В. А., Сарапулов Ф. Н., Дмитриевский В. А. Компьютерное моделирование вентильного двигателя с постоянными магнитами // Дистанционное и виртуальное обучение. 2010, № 10. С. 38−46.
4. Рымша В. В., Радимов И. Н., Порайко А. С. Расчет статического электромагнитного момента вентильно-реактивного двигателя модифицированным методом натяжений // Электромашиностроение и электрооборудование, 2003, Вып. 60. С. 35 — 38.
5. Krishnan R. Switched reluctance motor drives: modeling, simulation, analysis, design and applications. CRC Press, 2001. 432 p.
6. Miller T.J. E, Switched Reluctance Motors and Their Control. Oxford University, 1993. 203 p.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой