Оценка времени итерации при решении задач нестационарной фильтрации методом конечных элементов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

4. Шахтостроители Кузнецкого угольного бассейна / авт. -сост. А. В. Дерюшев — гл. ред. М.И. Найдов- ред. Ю.С.- Кемерово: СИНТО, Весть, 2010. 648 с.
5. Незабываемый, легендарный В.Г. Кожевин/ В. И. Нестеров [и др.] Кемерово, 2007. 186 с.
6. Дерюшев А. В., Першин В. В. Высшее шахтостроительное образование в Кузбассе: в 3 т. Т. 2. Подготовка специалистов. Кемерово: СИНТО- Новосибирск: ЦЭРИС, 2005. 303 с.
7. Угольный Кузбасс. Страницы истории/Ю.И. Дьяков [и др.] Кемерово: Агентство рекламных форм. 2005. 460 с.
V. V. Pershin, A. V. Deryushev
FROM THE HISTORY OF PARTICIPATING N.S. BULYCHEV AT THE PREPARATION SPECIALISTS FOR MINING CONSTRUCTION OF KUZBASS
The historical facts of personal involvement N.S. Bulychev (professor of Tula State University) at the preparation mining engineers and scientific personnel of highly qualified personnel for mine construction of Kuzbass were presented.
Keywords: history, mining construction, science, education, human resources.
Получено 10. 05. 12
УДК 622. 831
В. А. Подольский, канд. физ. -матем. наук, доц., зав. кафедры (Россия, Новомосковск, РХТУ им. Д.И. Менделеева)
ОЦЕНКА ВРЕМЕНИ ИТЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Приведено сравнение решений уравнения нестационарной фильтрации, выполненных аналитически и методом конечных элементов для одномерной задачи при линейном изменении давления на кровле. Предложен критерий оценки времени итерации.
Ключевые слова: нестационарная фильтрация, метод конечных элементов, одномерная задача.
При формировании очистных выработок происходит нарушение естественного напряженного состояния массива, что вызывает дополнительные деформации. В обводненных массивах эти деформации сопровождаются изменениями водного баланса и давления воды, которые, в свою очередь, влияют в той или иной степени на деформацию массива. Корректный прогноз изменений давления воды является одним из критериев, определяющих возможность технологической и экологической безопасности ведения горных работ.
Метод конечных элементов (МКЭ) широко используется для расчета напряженно-деформированного состояния массивов горных пород, в том числе и для расчета давления воды в водоносных горизонтах [1,2]. Во многих практически важных случаях для условий плоской фильтрации (в плоскости ХУ ось У направлена вниз — профильная фильтрация) уравнение фильтрации можно представить в виде [3,4]
д_ дх
к"
— + к (-
дх ду
+ -
д_ ду
кУх ~дХ + кУУ
(дк ду
¦ п
дЪ_ дг
(1)
9 9 9 9
кхх=кх (соБа) + ку (Бта) — куу=кх (Бта) + ку (соБа) — кху=(ку-кх)вта-сова., где И — пьезометрическая высота- ^ - коэффициент упругоемкости- кх, ку, главные коэффициенты фильтрации- угол, а — угол между главной осью тензора коэффициентов фильтрации У1 и осью координат У.
Уравнения (1) решались методом конечных треугольных элементов с линейной функцией формы. Заменяя производную по времени конечной разностью и применяя метод взвешенных невязок в аппроксимации Галер-кина, получим систему уравнений
[КЫ^МПь, (2)
где элементы матрицы [К]И и свободные члены Щь, получаются суммированием по треугольным элементам, содержащим одновременно узел 1 и т выражений
К
V дх Jl V (злЛ (злЛ
к +
(дм ^
дх
Jl
(дмл
ду
кху +
(дмл
ду
JlV
(ш }
дх
кху +
+
V
дм
ду
Jl
д^ ду
к
УУ
Л
+ 1 ±
1 т л,
Аг
/к =
дм. ,
* I кху +
Я,
(дМ ^ ду
к
Jl
Я + ЧтКр — Кът
Н.
(3)
(4)
11т=1/12 при 1^т, 11т=1/6 при 1=т.
В уравнениях (2) — (4) Ип и Ип+1 — соответственно пьезометрическая высота, полученная для итерации п и п+1- N — линейная функция формы треугольного элемента- 8 — площадь треугольного элемента- Итр — средняя пьезометрическая высота по узлам треугольного элемента. В уравнении (4) последнее слагаемое рассчитывается, если узел т принадлежит границе или треугольному элементу, для которого известно давление, при этом соответствующий элемент матрицы [К]ь не заполняется (если границы водонепроницаемые, третье слагаемое обращается в ноль).
Из уравнения (3) следует, что для уменьшения ошибка итерации для интервала времени А1 должно выполняться условие
Д1 & lt- 1тЛ/К, (5)
1
1
т
т
где
К
(N ш л
дх) I дх
К, +
(дИ Л
дх
)1
(дИ Л
ду
К +
+
(ди л
ду
) V
(т л
дх
(ди Л (дм Л
к +
хУ
дУ) I дУ
ди
к
Для уточнения вопроса об интервале времени итерации А1 были выполнены расчеты методом конечных элементов, соответствующие одномерной задаче
9 9
куу (Э И/Эу)=^(дИ/д1), или Ьг=аИуу, где а=куу/^. (6)
При решении этого уравнения принято, что давление на «кровле» возрастает по линейному закону, давление на «подошве» равно нулю:
И (у, 0)=0, И (0,1)=М, И (ЬД)=0, где И0 — постоянная- Ь — мощность слоя. Уравнение (6) может быть решено методом разделения переменных [5]. Введем функцию
и=И-Ьо1(1-у/Ь), которая удовлетворяет уравнению
и1=аиуу-И0(1-у/Ь)
и нулевым начальным и граничным условиям и (у, 0)=0, и (0Д)=0, и (ЬД)=0. Решение для функции и имеет вид
иЫ)=2
I
| [ ехр { - (пп/Ь)2 а (1 — т)}]/пёт
. пп БШ-у ,
Ь
/п=- у? к [1 — у)™ Ь м
После соответствующих преобразований получим
ъ_ К
(1 — у/у)-[1 — ехр (-п2Г/т)]
п п=1 п
. пп БШ-у
у
, 1 = а (п/Ь)
(7)
Решение методом конечных элементов исходного уравнения (6) выполнено для кхх=кху=0, вес жидкости не учитывается. Расчетная область 2000×400 м включает около 600 узлов и 250 треугольных элементов. Сетка треугольных элементов неравномерная, линейные размеры элементов варьируются от 30 до 100 м.
т
т
т
п=1
0
0
I
Рис. 1. Интервалы времени для итераций при решении уравнения
нестационарной фильтрации
В идеальном случае неравенство (5) должно выполняться для всех треугольных элементов, т. е. для наименьших значений А1т^/К. По физическому смыслу эта величина есть постоянная времени для данного треугольного элемента, аналогичная т в уравнении (7). Ясно, что если т®0 (^®0), то фильтрационный процесс практически стационарный, т. е. для любого реального интервала времени ДТ, за который он рассчитывается, при любом времени А1 (т.е. при любом числе итераций) получится результат, соответствующий стационарному распределению давлений. Поэтому те треугольные элементы, для которых А1т^/К очень мало, в оценке интервала итерации А1 можно не учитывать. В данных расчетах не учитывались треугольные элементы, для которых 11т^/К & lt-0,002 сут (ДК0,002 сут). Для остальных треугольных элементов в отдельной подпрограмме рассчитывалось среднее значение величины & lt-К/АиЛ)=(Е КД, пЛ)^ по всем диагональным элементам ^ число неизвестных узловых значений И). При такой оценке среднего вклад малых величин в сумму наибольший. По найденному среднему значению (К/АиЛ) определяется интервал времени итерации
А1 =1/& lt-КДиЛ). (8)
Непрерывное изменение давления на кровле И (0,1-) за время 10 заменяется дискретным изменением И на величину АИ, которое происходит за время АТ (рис. 1). Число итераций за время АТ определяется как АТ/А1. Общее число интервалов времени АТ ^=10/АТ, а величина интервала АИ находится из соотношения АИ= И (0, 10)/№т.
Чтобы выполнить анализ точности такого приближения, учтем, что при г0 О т последнее слагаемое правой части уравнения (7) равно (1-у/Ь). Следовательно, И=0, что физически очевидно — за малое время дав-
ление с поверхности не успевает рассеиваться. С другой стороны, при t0 О т второе слагаемое равно нулю и давление соответствует «стационарному» Ь=И01−0(1-х/Ь) — давление успевает распределиться по линейному закону в соответствии с его величиной на поверхности, равной И01−0. Следовательно, необходимо проанализировать точность приближения для времени 1−0, сравнимого с постоянной т. Поскольку для горных работ время измеряется сутками, анализ был выполнен для нескольких значений постоянной т, лежащих в пределе 0,5 сут. <-т<-25 сут.
На рис. 2, 3 приведены некоторые результаты расчетов для двух значений т, равных 1,6 и 16 сут. Время итерации для этих расчетов соответственно М"0,06 сут и М"0,3 сут.
0 6 ¦--ГР-^У& quot--"-Г ------1
О 5 10 15 20 25 30 35 40
Время (1)
Рис. 2. Зависимости к (1)/к0 теоретические (уравнение (7), сплошные линии) и расчетные (МКЭ, пунктирные линии) для трех значений У/Ь
при т=16 сут
0 3 6 9 12 15
Время (1)
Рис. 3. Зависимости Н (1)/Н0 теоретические (уравнение (7), сплошные линии) и расчетные (МКЭ, пунктирные линии) для трех значений У/Ь
при т=1,6 сут
Анализ показал, что при т-10 сут для интервала времени AT оптимальным является AT"(3.. 5)/(Kf/1nh), а для сут можно принять AT"(8… 10)/(Kf/1iih). При выбранных параметрах ошибка расчета МКЭ составляет не более 5%. Из приведенных результатов следует, что для оценки времени итерации можно использовать соотношение (8).
Список литературы
1. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.
2. Коннор Дж., Бреббиа К., Метод конечных элементов в механике жидкостей. Л.: Судостроение, 1979.
3. Мироненко В. А., Шестаков В. М. Основы гидрогеомеханики. М.: Недра, 1974.
4. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.
5. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
V.A. Podolsky
EVALUATING ITERATION TIME FOR SOLVING NON-STATIONARY FILTRATION PROBLEMS BY FINITE ELEMENT METHOD
Comparing solutions of one-dimensional non-stationary filtration equation for linear changing pressure on top rock getting by analytical method and finite element method was shown. The assessment criterion of iteration time was proposed.
Key words: non-stationary filtration, finite element method, one-dimensional problem.
Получено 10. 05. 12

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой