Оценка временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с произвольной модулирующей функцией

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Оценка временного и энергетических параметров низкочастотного случайного импульса с произвольной модулирующей функцией
Ключевые слова: низкочастотный случайный импульс, модулирующая функция, методы статистического моделирования.
Выполнен синтез и анализ одноканального квазиоптимального алгоритма оценки времени прихода, математического ожидания и дисперсии низкочастотного гауссовского случайного импульсного сигнала с произвольной модулирующей функцией на фоне белого шума. Методами статистического моделирования определена эффективность предложенного измерителя и установлены границы применимости асимптотически точных формул для его характеристик
Свидченко С. С. ,
аспирант М ТУСИ
Под низкочастотным случайным импульсным сигналом с произвольной модулирующей функцией будем понимать мультипликативную комбинацию вида 11 и др. ]
1, |х|& lt-½,
1(х)= '- (1)
[О, |х|& gt- ½.
Здесь А0 — время прихода, т — длительность, Г (() — детерминированная модулирующая функция, нормированная так что тах Г ([)= 1, а ^0) — реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса с математическим ожиданием (МО) (4(0) = ао и спектральной плотностью
0(и)=(2л00/П)1(со/П). (2)
В (2) обозначено: Г2 — ширина полосы частот, а 1)0 -дисперсия процесса 4(0-
Будем считать, что длительность импульса т и характерное время изменения Д[ функции Г (() существенно превышают время корреляции процесса 4(0 (флуктуации 4(0 являются «быстрыми»), т. е. выполняются условия
т" 2п/П, Д1″ 2л/П. (3)
В [1] рассмотрена задача оценки времени прихода Х0е[А"Л2] сигнала (1), наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума п (0 с односторонней спектральной плотностью N0, при условии, что все остальные параметры импульса априори известны. Однако в ряде практических задач МО а0 и дисперсия 1)0 процесса ?,({) могут быть неизвестны. В этой связи представляет интерес найти структуру и характеристики измерителя временного и энергетических параметров сигнала (1).
При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия [2]. Согласно этому методу необходимо формировать решающую статистику — логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) ЦА., а, О) — как функцию текущих значений X, а, I) неизвестных параметров л. 0, а0, О0. При выполнении (3) согласно 11) имеем
ЦХ, а, Р)-Л-7 Г^'--у1у2(11,ДиГ
Ы& quot- Х-. /2 І + ЧИО-*-)/*] К0 Х-т/2
/: ф-Х)/т]х (0
т/2 • +Я*'-2[(«
(П-
1п[|+чГ2(1)Ь,
N0 _^21+чГ2(1) и. ,]2 1 4 УИ
(4)
где ц = 0/Ем, ц = тП/4л, Ем=Ы0П/4гс — средняя мощность шума 11(1) в полосе частот процесса 4(0' а
УМ- г, х^'-)^ -1'-)& amp-'- - отклик фильтра, передаточная функция Н (со) которого удовлетворяет условию |Н (со)|'- = 1(со/П), на реализацию наблюдаемых данных
х (0="(0+п (0-
Тогда оценки максимального правдоподобия (ОМП) лт, ат и 1) т времени прихода Х0, МО а0 и дисперсии О0 случайного импульса (1) определятся как положение наибольшего максимума решающей статистики Цл, а, I)):
Хт = ашвир ЦХ, ат, От),
А. е[Л|, Л2 ]
(ат. От)= а^вир Ь (Хт, а,0). (5)
ае (-ос, ж). ОгО
Нетрудно видеть, что измеритель (5) имеет многоканальную структуру, причем для точной его реализации необходимо бесконечно большое число каналов, что вряд ли возможно на практике. В этой связи представляется целесообразным поиск одноканальных квазиоптимальных алгоритмов оценивания временного и энергетического параметров сигнала (1), близких по своим точностным характеристикам к оптимальному (5).
Аналогично [2] можно показать, что ОМП Хт -„Х0 в среднеквадратическом, когда |д -„сю. Тогда согласно [3] характеристики ОМП ат и 1) т (5) асимптотически (с ростом ц) совпадают с характеристиками оценок
(атО. °то)= а^ир Ь (Х0,а, П). (6)
а"=(-х, х). 020
Измеритель (6) также в общем случае допускает лишь многоканальную реализацию. При этом минимальные рассеяния Уа и Уц оценок ат0 и От0 (6), рассчитываемые по формуле Крамера-Рао [2], имеют вид
уат!“ =-1/(с12Фо.а. Оо)^а2)| = Е*/4цС21, (7)
/ '- '-1а=а0
у“,_ =-|/(^: МЛ,. Оо. ?>-)/^)|о^ =ЕЦ[гцоп+{с1г-гаиса)с\
Здесь Стп = 8тв (0л. 8тп (1)= Гт0)/[1 + ЧоГ2(1)]& quot-, а
Яо=00/Ем. Как отмечено в [2], рассеяния ОМП ат0 и От0 (6) асимптотически (с ростом выходного отношения сигнал/шум (ОСШ)) совпадают с (7).
Рассмотрим вместо ОМП ат0 и 13т0 (6) квазиоптималь-
ные оценки (КОО) ач0 и Оц0 МО а0 и дисперсии О0 случайного импульса (1). Синтез КОО ач0 и Г)(|0 будем проводить, исходя из критерия близости их рассеяний к минимальным (7) при условии возможности технической реализации получаемого квазиоптимального измерителя в виде одноканальных устройств. Кроме того, в некоторых предельных случаях КОО, а „и по1| должны переходить в ОМП аП10 и
цо
[Зт1) (6). В результате приходим к оценкам вида
Оч0 = шах[ 0- (Ь, (*0)/т — Е м)/2С 20 — (Ь2 (Я0)/2тС 10)2 ]. (8)
где Ь,(Х.)= ?_+^У2(0А, Ь2(Х)= ?'-^х (1)с11, а Е& gt-, и
у (1) определяются так же, как в (4).
Выполняя в (8) усреднение по реализациям наблюдаемых данных х (1), для условных смещении ь (ач0|а0),
ь (оч0|и0) и рассеяний У (ач0|а0), У (0ЧО|0″) КОО ач0 и Оц0 получаем
ь (ачо|ао)=0. ^(аяо|ао)= (1 + 2ц0О20)/8цО0 ,
ь (эч0100)= - Е „(I + 2Ч 0С 20)/8цС Го. (9)
3(1
I 1
, пи4 “. ж
}, 2С“
Здесь г|2 = 2ао/Е& gt-), а ц0 определяется так же, как в (7).
Согласно (7), (9) рассеяния оценок ач0 и Оч0 (8) для широкого класса модулирующих функций Г (I) при выполнении (3) отличаются от предельно достижимых не более чем на 5%. Если же ц1) з 1, то рассеяния (7) и (9) совпадают, т. е. по мере приближения формы модулирующей функции {'([) к прямоугольной КОО (8) сходятся к ОМП (6). Это позволяет рекомендовать для измерения МО и дисперсии импульсного сигнала (1) в практических приложениях одноканальный алгоритм (8) вместо более сложного многоканального (6) без существенной потери в точности выносимых оценок.
При неизвестном параметре а0 из (8) получаем оценки вида
ач = ^2(^-4)/2тО, 0 ,
Эч = шах[о-(Ь|(х. ())/т- Ем)/2020 — (ь2(хч)/2тС 10^ ], (10) где я, = аг§ вир 1(я., ач. Оч) — оценка времени прихода им-
Хе[Л|, Л2 ]
пульса (1). Подставляя (10) в (4) и выполняя оптимизацию алгоритма оценивания, следуя [4], приходим к оценке времени прихода вида
& gt-.ч = а^ир Ц (А.),
Хе[Л|, Л2]
Ц (& gt-.)=ц{ь|(Х)/тЕ1, — 1п[(ь,(Я.)-Г2(½)е|(Х)/тУтЕм ]-1 |
(II)
Оценки (10), (11) также будем называть КОО. Действительно, если Г (() = 1, то оценки (10), (11) переходят в соответствующие ОМП МО, дисперсии и времени прихода низкочастотного случайного импульса (1) прямоугольной формы [5].
Найдем характеристики оценок (10), (11). С этой целью аналогично [2] все возможные КОО (11) разобьем на два класса: надежные и аномальные. Оценка /ч =Яч/т является
надежной, если она находится в пределах интервала Г8 з[/0−1,/0 +1 ], /0=Х0/т. Если же КОО /ц находится
вне интервала Г5, т. е. /чеГ,^=ГГ5, Г = [Я|, Л2], д (, = Л | 2 /т & gt- то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [1,2,5]. Учет аномальных ошибок необходим, если приведенная длина [2] т = Лч- Л| априорного интервала Г возможных значений
времени прихода /0 значительно больше протяженности интервала Г5 надежной оценки, т. е.
т „1. (12)
Согласно [2] при выполнении (12) условные смещение
Ь (/ч|/о)=(/ч — '-о) & quot- рассеяние у (/ч|/0Ц (/ч -/о)2) КОО /ч с учетом аномальных ошибок могут быть записаны в виде
ь (/ч |/о)= Р0Ь0(/ч |/о)+ 0 — Р“)[(А. + Л2)/2 — /0 ]. (13)
У^ч|/0)=РоУ0(/ч|/0)+(1-Р")[(л1 +А. Л, +л2,Уз-/0(л, +Л,)+/0:]. Здесь ь0(/ч|/0), У0(/ч|/0), р0 = р[|/ч-/0|& lt-|] - соответственно условное смещение, условное рассеяние и вероятность надежной оценки (11).
При нахождении Ь0(/ч|/0), У0(/ц |/0) и Р0 ограничимся
условием высокой апостериорной точности, когда выходное ОСШ алгоритма (10), (11) достаточно велико. Также будем считать, что является четной функцией своего аргумента и не обращается в нуль в точках. = ±/2. Тогда на основе результатов работ [1,5] получаем
+ ^ |ехр[-тф (Тй/2. 1/Г (½))].
11 (\IZU
ехг
хФ и -г ('-|/ + |)
ь0(/ч|/0)=о.
-ехр
3 jrz~
+ ц/г

СТ^/ц
ф
-^=-г (2ф + 1) а-у/ц
с! и,
(14)
(15)
У"Ч
: ^ 13{ [ 1 +(Ч (11'-: (12))(| +(ч" +п:)|'-2(12|2ч"0-о+п:(о:()-2СГо|--(1/'-2))]2 ч
° 8 ц: Г,(1'-2){2П:а11'-2)+(ч"+Т12/2)х
14п: С|/(12)[о"Л12)+(| +д"Г: (12))(о"Д12)^2д"02″ + п2(0: о-2аг/(12)|1Г х[2ч0См+П-(о20−2С-г,/: (^'-2)1Г
Здесь
Н = 2 Г (½)ДМ2(½), 22 =ц[с, 20(2Ч0 + П2)-1п (1+0)]7°2.
Ч& gt- = 2стАх%/Й/г (стГ +а-),
Ах = Г2(½)(о (Чо + П2/2)+ 2Л2С|0Г (|/2) |/(| + О),
а2={о2[1 + 2ЧоС20+2(С20+Ч0С40)(Ч0+п2)]+8п2ОС10 х
х Г2(½Хо|0 + Я0С30)+ 4П2Сг0Г4(½)(1 + 2ЧоС20) 1/(1 + О)2 ,
=[|+9о/20/2)]х
х {& lt-2-[ 1 + (& lt-?» + Г)/: (½)]+ 47-'/1(½)С|1, [ С10/(½)+ ^? ] }/(1 + 0)2 ст5=[02+4П2Сг0Г4(½)]/(|+0)2,
О = 2Ч0С20 + П2[с20−2Ог0Г2(½)],
+Г2-(г -1)/,(л2(г -1))//о (л: (г -!))]-!)х& gt-
х/0[й2(г2−1)]ехр[-Л2(г2+1)]
а 10(х), 11 (х) — модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно. Точность формул (15) возрастает с увеличением ц и г, а формулы (14) — с увеличением ш, ц, г. Если 1& quot-(1)=1. то из (14), (15) получаем известные выражения для вероятности и условных смещения и рассеяния надежной ОМП времени прихода случайного импульса (1) прямоугольной формы с неизвестными МО и дисперсией [5].
Найдем теперь характеристики оценок а" и 0& lt-. (10). Из формул (9) следует, что при = л () и выполнении (3) рас-
сеяния оценок (10) убывают не быстрее, чем ц4. В то же время рассеяние (15) оценки / (11) пропорционально (. Г2. Поэтому, аналогично [3] можно показать, что при ц «1, г «1, когда Р0 * 1, и оценка А. является надежной, характеристики оценок ац и (10) совпадают с характеристиками (9), найденными при известной величине параметра Х0. Точность формул (9) возрастает с увеличением ц и 7.
С целью проверки работоспособности синтезированного квазиоптимального алгоритма совместного оценивания (10), (11) времени прихода, МО и дисперсии случайного импульса (1), а также установления границ применимости асимптотически точных формул (9), (13) — (15) для его характеристик было выполнено статистическое моделирование измерителя (10), (11) на ЭВМ.
Некоторые результаты статистического моделирования при /0 = (а2 + А,)/2, Л, =½, Л2=т + ½, ('-(1)= ехр (-I2) и = 2а (2т/м0 =10 показаны на рис. 1−3. Каждое экспериментальное значение получено при обработке не менее 104 реализаций наблюдаемых данных х^). При этом границы доверительных интервалов отклоняются от экспериментальных данных не более чем на 10… 15% с вероятностью 0,9.
На рис. I сплошными линиями нанесены зависимости нормированного условного рассеяния У/^0)=12у (/ч|/0)/т2 (13) оценки времени прихода / (11) с учетом аномальных
ошибок при т = 20. Здесь же штриховыми линиями показаны аналогичные зависимости нормированного условного рассеяния У0/(ц0)= 12У0(/ч|/0|/т: (15) надежной оценки / (11). Кривые 1 рассчитаны для ц = 50- 2 — 100- 3 — 200. Экспериментальные значения рассеяния V, оценки / с учетом аномальных ошибок обозначены на рис. 1 квадратиками, крестиками и ромбиками, а рассеяния У0/ надежной оценки /ц — кружочками, треугольниками и звездочками для (Д = 50, 100 и 200 соответственно.
На рис. 2, 3 изображены теоретические зависимости нормированных условных рассеяний
Уп (Ч0)=2у (ач|а0)/Е& gt-4, Уч (Чо)= у (оч|о0)/е2 (9) оценок ац, 1) ц (10). Экспериментальные значения рассеяний Уп, Уч при т = 2 (когда оценка времени прихода является на-
дежной) показаны плюсиками, кружочками, треугольниками, а при т = 20 (когда при оценивании времени прихода возможны аномальные ошибки) — квадратиками, крестиками и ромбиками. Остальные обозначения такие же, как на рис. I.
Согласно рис. 1−3 теоретические зависимости (9), (13)-(15) для характеристик измерителя (10), (11) временного и энергетических параметров случайного импульса (1) удовлетворительно аппроксимируют соответствующие экспериментальные данные, по крайней мере, при т& gt-20, ц& gt-50,
z& gt-0,5…2 и (fmax -fmin)/|д & lt-4−10'-3. Здесь fmin и fmax=l -минимальное и максимальное значения функции f (t). Таким образом, полученные результаты позволяют сделать обоснованный выбор между предложенным и другими алгоритмами оценки времени прихода, МО и дисперсии низкочастотных случайных импульсных сигналов с произвольной модулирующей функцией в зависимости от требований, предъявляемых к эффективности алгоритма и степени простоты его технической реализации.
Литература
1. Чсрпонров О. В., Рашитов М. Ф. Эффективность приема случайного импульсного сигнала произвольной формы с неизвестным временем прихода // Вестник Московского энергетического института. — 2010. -№ 5.
2. Куликов К. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. — М.: Сов. радио, 1978. — 296 с.
3. Бассвиль М., Викки А., Банвентист А. и др. Обнаружение изменений свойств сигналов и динамических систем / Под ред. Бассвиль М., Банвентиста А. М. -М.: Мир, 1989. -278 с.
4. Захаров А. В. Оптимизация алгоритма обнаружения флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным временем прихода // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2005. — № 1. — С. 46−56.
5. Трифонов А. П., Захаров А. В., Парфенов В. И. Эффективность приема случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника. — 1991. — Т. 36. — № 7. -С. 1300−1308.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой