Гибридное энергосберегающее управление с регулируемыми колебаниями в стабилизации траекторий терминальных точек при возмущениях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 681.5. 01:658. 5
В. А. Афанасьев, А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров
ГИБРИДНОЕ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ С РЕГУЛИРУЕМЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ В СТАБИЛИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ТЕРМИНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Ключевые слова: гибридное управление, терминальная точка, воспроизведение желаемого движения, качество, регулирование колебаний, энергосбережение.
Для систем в отклонениях от программного движения и с нелинейными нестационарными объектами при номинальных и неопределенных ограниченных возмущениях решаются с помощью гибридного управления задачи: воспроизведения желаемых траекторий движений подвижной терминальной точки кусочно-постоянным управлением- приведения, с целью повышения качества воспроизведения и регулирования колебаний в малой окрестности начала координат системы в отклонениях от желаемой траектории, в скользящие режимы по переключаемым подвижным многообразиям скольжения. Для энергосбережения в скольжении применяются на конечных интервалах времени подходящие динамические свойств самих объектов управления.
Keywords: hybrid control, terminal point, reproduction of required motion, quality, adjusting of oscillations, energy-saving.
For systems written in deviations from a program motion and with nonlinear time-dependent objects under nominal and uncertain limited disturbances we resolve, using the hybrid control, the following problems: reproductions of required motion trajectories of a removable terminal point by using the piecewise constant control- reductions, in order to increase the quality of reproduction and regulation of oscillations in a small vicinity of the system origin in the deviations from the required trajectory, in the sliding modes by using the switchable movable sliding diversifications. To save energy in sliding the suitable dynamic properties of these control objects are used atfinite intervals of time.
Введение
Постановка задачи. Рассматривается система в отклонениях от программного движения
г = ф{г, Г)+Н (г,^и + П (г, 0Ф{г, 0, (1)
где
) = ф (1,t) + Аф (г, t), ф^) = Р0(г, t) г, Н {г, t) = Н0{г^) + АН {г^), П{г, Г) = П0{2,Г)+АЛ{г, Г), ф2, Г) = Ф{2,Г)+АФО-
г еПг с Я& quot-,
0.г — ограниченная область, содержащая начало координат г = 0- и е Ят- Ф е Я1- t е I = ^],
tk & lt-ж, г = (г1,…, гп) Т — вектор состояния, о котором имеется полная информация, и = {и1,…, ит) Т -векторное управление, I х 1 -векторы Ф0{г, t) и АФ^) представляют номинальные (известные) и неопределенные ограниченные внешние возмущения- слагаемое Фо (г, t) = Ро (г, t) г равно нулевому вектору в точке равновесия г = 0 однородной системы г = Ро (г, t) г — столбцы и матрицы с индексом «0» соответствуют ограниченным номинальным параметрам и внешним возмущениям, а с символом «А» неопределенным параметрическим и внешним возмущениям.
Решаемые задачи:
1. Найти кусочно-постоянное векторное управление и = икп = {и1,…, ит) ,
воспроизводящее за требуемое время и с требуемой точностью в системе (1) с ограниченными возмущениями заданное желаемое движение изображающей точки (и.т.) г*{{) в определенную
терминальную точку (в частном случае в начало координат).
2. Найти новый метод разрывного векторного управления, приводящего систему (1) в скользящий режим на заданном по качеству переходных процессов подвижном многообразии без вспомогательных многообразий переключений структур управления и с регулируемыми параметрами колебаний управления и переходного процесса.
3. Сформировать гибридное управление с переключением кусочно-постоянного управления на разрывное в скользящем режиме вблизи начала координат с целью повышения качества процессов, регулирования колебаний управления и процессов и энергосбережения в результате использования на скользящем режиме динамических свойств объекта.
Воспроизведение желаемого движения
в терминальную точку при возмущениях
Приведем все неопределенности к одному суммарному вектору ограниченных
неопределенностей Я{г^, и). Получаем систему (1) в виде:
г = ф0{1,О+Но (г, Ои + Мо (г, 0+Я (г^и), (2)
где
Мо (г, t) = По (г, t) Ф0{г^),
Я{г, t, и) = Аф{г, t) + АН (г, t) и + П0{ г,АФ (г, t) + +АП{ г, t){Ф0(г, t) + АФ^)),
Я = (Я1,…, Яп) Т, Я I*& lt- Я & lt- Я-, I = 1& quot-.
Для приведения системы (2) в фиксированную или подвижную терминальную точку г* {{) перейдем в координаты отклонения х{}) вектора г{}) от данной терминальной точки:
x (t) = z (t) — z* (t).
(3)
Подставляя г (?) = х (?) + г* (?) и г (?) = х (?) + г * (?) в
систему (2), приходим к системе
х (?) = /0 (х, t) + В0 (х, t) и + Л0 (х, ?) + Л (х, t, u),. (4)
в которой выражения для векторов
/0(х, t), В0(x, t) u, Л0(x, t), Л (х,?, и) имеют с учетом
известного вектора г* (?) вид
/0(х,?) = ^(х+г*(?),?), ?0(х, Ои = Но (х+г*(?),?)и, Л0(x, t) = Mо (x + г* (t), t) — г* (?), Л (х, t, и) = х + г* (?), t, u). Введем обозначения: х (?) = (х,…, Xj,…, хп) т, У = 1, п- х'-'- = х (?,),
x'- = х (t,-), i = 0, fc -1, u1 = u (t,),
h'- = (hi,…, h,)r = h (x,, t, u,) = h (t-),
(5)
i = 0, fc -1.
Полагаем на достаточно малых шагах интегрирования At = tj+i — tj, i = 0, fc -1, системы (4) методом Рунге-Кутта четвертого порядка [1] управление и вектор неопределенных возмущений постоянными:
uj = u (ti) = u (ti + At /2) = u (ti + At) = const, hj = h (ti) = h (ti + At /2) = h (ti + At) = const, (6)
(7)
Л* & lt- Л'- & lt- Л*, У = 1, п, '- = 0, к -1.
где Л* и Л* являются известными оценочными предельными значениями суммарного вектора неопределенных ограниченных возмущений.
Найдем производные х'- = х (?'-), '- = 0, ^ -1, применяя рекуррентную формулу Рунге-Кутта: х'- =) = (х'-+1 — х'-)/ Д? =
= (Я + + 23 +)/б '- Я/ = К'- / Д?, I = 1Д К = (/0 (х'-, t/) + В (х'-, t/)и'- + N0 (х, t/) + Л'-) Д?, К2 = (/0(х'- + К /2, ^ + Д? /2) + +В0(х'- + К{ / 2, ti + Д? / 2) и'- + +Л0 (х'- + К / 2, ti + Д? /2) + Л'-)Д?, КЗ = (/0 (х'- + К2 / 2, tj + Д? /2) + +В0(х'- + К2 /2, ^ + Д? / 2) и'- + Л/0 (х'- + К2 / 2, tj + Д? /2) + Л'- ^ К4 = (/0 (х'- + КЗ, ^ + Д?) + В0 (х'- + КЗ, ?1 + Д?)и'- +
+Л0(х'- + КЗ, ?1 + Д?) + Л'-)Д?, Вводится в рассмотрение определенно-положительная функция Ляпунова
/ = 1 П=1×2. (8)
Требуется, чтобы ее полная производная по времени не превышала заданного отрицательного значения: /(?) & lt- / (?) & lt- 0 (9)
/ (?) = 2х'-тх'- = 2? п=1 хух у =
= 2^ П=1 хУ (Я/ + 2"2у + 2"3у + *4у)/6 =
= 1 IП=1 хУ [(/0 У (х'- ?) + В0 у (х'-,?'-)и'- + +Л0У (х'-,? I) + ЛУ) + 2(/0 (х'- + К{ / 2,? I + Д? /2) + +В0У (х'- + К{ / 2,? , + Д? / 2) и'- + Л0У (х'- + +К{ /2,? I + Д? /2) + ЛУ) + 2(/0У (х '- + К2 /2,? I + Д? /2) + + В0У (х'- + К2 / 2,? I + Д? / 2) и'- + +Л0У (х'- + К2 / 2,? I + Д? /2) + ЛУ) + +(/0 у (х'- + КЗ,? + Д?) + В0 у (х'- + КЗ,? + Д?)и'- + +N0 у (х'- + КЗ, ?, + Д?) + Лу)].
Из данного выражения У (?) следует, что для
выполнения неравенства (9) должно выполняться условие
{Щ=1хУ [В0у (х'-,?'-) + 2В0У (х'- + К1 / 2, ?'- +
+Д? / 2) + 2В0 у (х'- + К2 / 2, ^ + Д? /2) +
+В0 у (х'- + КЗ, ?¦, + Д?)]}1 и'- + +{ХП=1 хУ [(/0 У (х'-, ?'-) + N0 у (х, ?'-) + Лу) +
+2(/0 j (x'- + K1 /2, t i + At /2) + +A/0 j (X + K1 / 2, ti + At /2) + hj) +
+2(/0 j (X + K2 /2, ti + At /2) + +W0 j (X + K2 /2, ti + At /2) + hj) + +(/0j (x'- + K3, ti + At) + (x'- + K3, ti + At) + hj)]}z & lt- 3/3(t), которое учетом обозначений
=i xj [S0 j (x'-. (,) +
К
+2B0у (x'- + K{ / 2, ti + At /2) + +2B0у (x'- + K2 / 2, t'- + At /2) + +B0 j (x'- + K3, t'- + At)]}i u'- ={a1,…, a'-m }i
u'-=a{'-ui +… +amum.
{S П=1 xj [(/0 j (x, t'-) + N0 j (^, t'-)+hj) +
+2(/0у (x'- + K{ / 2, ti + At /2) + +N0у (x'- + K / 2, ti +At /2) + hj) + +2(/0у (x'- + K2 / 2, ti + At /2) + N0у (x'- + +K2 / 2, ti + At /2) + hj) + (/0 у (x'- + K3, ti + +At) + N0 у (x'- + K3, t, + At) + hj)]} 2=
= Ь7 + 6ХП=1 xjhj.
(10)
(11)
запишется
аи +… + аУт + b'- + 6ХJ=1 xJhJ & lt-
& lt- V3 (t) & lt- 0,
(12)
где, а ,…, а'-т, b'-, x'-j являются постоянными, а hj ограниченными постоянными с неопределенными значениями, h* & lt- hj & lt- h*, j = 1, n, i = 0, k -1, (6). Для выполнения условия (12) достаточно, чтобы на каждом i -м шаге, t e Ii = (tj, tj+J, i = 0, k -1, при
задании m -1 постоянных составляющих управлений выполнялось неравенство для последнего т — го постоянного управления, например, для u:
(signa1)u & lt- [-(aU +… + ати'-т) —
max 6У n «xjhj + V. (t)]/ lail (13)
h… h^j=1 j j 3 Ml
Отметим, что малые значения отклонений x'-j
вблизи терминальной точки z* (t) не приводят к значениям составляющих управления, и в частности
составляющей u| (13), превышающим известные ограничения при малом по модулю значении V3 (t) вблизи z* (t), то есть вблизи x = 0, так как xj входят во все остальные слагаемые числителя и в знаменатель |а{ | правой части неравенства (13).
При подстановке данного кусочно-постоянного управления u'- в исходную систему (2) вектор z (t) будет через достаточно малый промежуток
времени, определяемый заданием V3 (t) & lt- 0, воспроизводить с требуемой точностью желаемую фазовую траекторию z* (t), или, что-то же самое, вектор x (t) системы (4) будет принимать требуемые малые отклонения от начала координат x = 0. Для настройки управления u'- (13) в пределах ограничений на его составляющие uj
j = 1, т, (14)
предлагается применить пробные численные моделирований системы (2) или (4) с управлением (13), (14) в пределах ограничений на V3 (t) & lt- 0 и на энергетические затраты на управление за время переходного процесса, определяемые интегралом от суммы модулей составляющих управления с размерными коэффициентами. С этой целью может быть также применен известный численный метод решения основной задачи управления [2], развитый на случай учета неопределенных ограниченных возмущений в работе [3].
Для улучшения показателей качества переходных процессов по координатам вектора x (t) и исключения возможного, хоть и затухающего, колебательного процесса в завершающей его
'- '- '- *
uj * & lt- uj & lt- uj ,
стадии, предлагается при выполнении известных условий инвариантности
N0{х^) = Во (х^)ЛМ{ х, t),
0 (15)
Ш (х, t, и) = В0(х, t) ЛШ {х, t)
перейти в определенной малой окрестности точки х = 0, на управление со скользящим режимом на заданном многообразии, то есть применить гибридное управление с переключением от полученного кусочно-постоянного и = икп на
разрывное и = ир с регулируемыми параметрами колебаний управления и переходного процесса: Г икп при ||х|| & gt- Л,
u=
u
при ||x|| & lt- Л.
(16)
Метод приведения в скольжение без вспомогательных многообразий переключений и с регулируемыми параметрами колебаний
Рассматривается система в отклонениях (4), которая приводится в скользящий режим на {& quot- - т) мерном подвижном многообразии
5(5 = С^)х = 0, (17)
где С^) — т х п — матрица, задаваемая по заданным показателям качества переходных процессов скользящего режима и с учетом параметров установившихся колебаний в идеальном скольжении. На эти колебания накладываются реальные, с различной конечной частотой и амплитудой, колебания составляющих векторного разрывного управления.
Для нахождения разрывного управления и = ир
при ||х|| & lt- А рассматривается производная в силу системы (4): 5 = Сх + Сх = Сх + С0 (х, t) + В0 (х, t) и + х^) +х, t, и)). Задается управление в виде
и = т) В0(х^))-1и * (19)
Тогда составляющие 5у вектора 5 (18) запишутся:
5, = су (ох+с! тшл+^(х, о)+
+и*+ Су $ Ш х, t, и),
где С, ^) и и* являются соответственно строками и
составляющими матрицы С (}) и управления и*,
у = 1, т. Не вводя, как во всех известных методах управления на скользящих режимах, дополнительных многообразий скольжения, обычно координатных плоскостей [4, 5] или
гиперплоскостей по числу многообразий
скольжения [6], потребуем, чтобы выполнялось известное достаточное условие для асимптотического или за конечное время (с увеличением действия управления) попадания и.т. на многообразие 5 (17):
5у & lt- 0 при 5у & gt- 0, 5у & gt- 0 при 5у & lt- 0, (20)
(18)
У = 1, т.
Зададимся управлением и* в виде суммы
и * = и0 + и*, (21)
где управление и0* предназначено для приведения системы (4), (19) без учета вектора неопределенных возмущений Л (х,?, и), а иЛ для преодоления (превышения) его возможного неблагоприятного действия на процесс приведения в скольжение. Соответственно сумме (21) представим и вектор? :
в = ?0 + ?л, (22)
где ?0 = С (?)х + С (?)(/0(х, ?) + Л0(х, ?)) + и0,
?Л = С (?)Л (х,?, и) + иЦ. Рассмотрим составляющие ?0у и? Лу вектора в:
^ У = (/] (?)х + Су (?)(/0 (х, ?) + Л/0 (х, ?)) + и0 у,
_ (23)
?Лу = Су (?)Л (х,?, и) + и*у, У = 1, т.
Для выполнения условий (20) достаточно, чтобы выполнялись неравенства
?0 у = ?+з (?) & lt- 0 при в у & gt- 0,
?0у = ?оуз (?) & gt- 0 при? у & lt- 0,
?лу = ?Луз (?) & lt- 0 при в у & gt- 0,
?лу = ?-уз (?) & gt- 0? у & lt- 0
где? у (?) и? у (?) заданные (предварительно
настраиваемые в пределах данных ограничений) функции времени и/или состояния х.
Из выражений (23), (24) следует, что управления
(24)
(25)
-'-о у
для приведения в скользящий режим на
многообразии 5 (17) с заданными скоростями? оуз (?), а значит и с регулируемыми параметрами
колебаний функций переключений в у и управлений и у, для номинальной (без неопределенных возмущений) системы (4) требуется задавать в виде
и0+ = ?0уз (?) —
-[Су (?)х + ((?)(/0(х,?) + Л0(х,?))]
при? у & gt- 0,
— - (26) и0у = ?0уз (?) —
-[ССу (?)х + С (?)(/0(х,?) + Л0(х,?))]
при? у & lt- 0, У =
выполнения условий (25) зададимся
*
ио у =
Для
управлениями и* в виде:
и*у = СУ1(?)кЛ1 + … + Суп (?)кЛп ¦
У = 1, т,
(27)
тогда производные? Лу (23) запишутся? Лу = сл (?)(*г"1 + Л1) +… + +суп (? Ж + Лп), У = 1 т. '- Полагаем параметры, '- = 1, п, разрывными
(28)
I при 8: 0ц & gt- 0, '- = 1, п,
%=1 — -. —, (29)
'-м
К
при вуОу! & lt- 0, у = 1, т.
Для выполнения условий (25) достаточно, чтобы выполнялись неравенства
к+ & lt- т1п (-Л'-), & gt- тах (-Л'-),
Л: Л:
(30)
'- = 1, п.
В случае больших по модулю значений производных? Лу, препятствующих регулированию
параметров колебаний векторной производной в = ??о + ?л (22), для устранения возможных неблагоприятных воздействий на исполнительные элементы системы управления [7], а также воздействий, приводящих к возможности резонансных колебаний некоторых динамических звеньев системы, предлагается применение методов идентификации вектора Л (х,?, и) и его компенсации [8]. Необходимым и достаточным условием данной компенсации является выполнение условий инвариантности (15) скользящего режима к номинальным и неопределенным возмущениям в системе (4).
Гибридное управление в повышении качества процессов, регулировании колебаний управления и энергосбережении
Получено гибридное векторное управление (16) с кусочно-постоянным управлением и = икп при больших отклонениях от начала координат и с разрывным векторным управлением и = ир нового
типа при малых отклонениях. Обеспечивается сначала воспроизведение с заданной точностью желаемой фазовой траектории, а затем заданное качество переходных процессов с регулированием параметров колебаний управления и вместе с ним параметров колебаний процесса. В случаях совпадения желаемых фазовых траекторий с траекториями объекта управления энергетические затраты на предлагаемое гибридное управление с момента попадания и.т. на данные траектории равны нулю и приближаются к нулевым значениям в случае их совпадений с подходящими по качеству процессов сепаратриссами [9]. Рассмотрим это подробней. Требуемое качество переходных процессов на скользящих режимах обеспечивается формированием путем вычислений подвижных многообразий скольжения в реальном масштабе времени по методам, изложенным в работах [9,10]. В частности, эффективность управлений с переключаемыми в общем случае многообразиями скольжения малой размерности существенно повышается за счет использования динамики самих объектов управления при наличии в фазовом пространстве либо их целых фазовых траекторий, либо участков их траекторий, подходящих по требуемому качеству процессов. Повышенная эффективность методов управления с такими многообразиями следует из того, что, как доказано в работах [9. 10], энергетические затраты на

управление на данных траекториях или участках траекторий равны нулю. Действительно, как показано в работах [11] и [12] для аналогового и цифрового управлений, в случае принятия на интервалах времени за желаемое (подходящее по качеству процессов) модельное движение процессы самого объекта управления (без учета действия управления) составляющие управления на таком скользящем режиме обращаются в ноль, кроме составляющих управления компенсирующих или преодолевающих действие возмущений. Так, в частности, в работе [11] показано, что в управлении
(26) слагаемое (Су^)х + Су^У0(х, t) обращается в
ноль. В силу необходимости также задания в малой окрестности многообразия скольжения малых, и асимптотически приближающихся к нулю
непрерывных скоростей 5оу3 ^) для устранения
возможных высокочастотных колебаний
управления, получаем, что при отсутствии
номинальных и неопределенных внешних
«* *
возмущений составляющие и0 у управления и0
принимают малые и приближающиеся к нулю значения. В результате интеграл от суммы модулей составляющих управления на переходном процессе будет принимать сравнительно малые значения. Дальнейшая минимизация затрат по параметрам найденного управления может осуществляться по численным методам работ [2,3]. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 14−08−424-а.
Литература
1. А. В. Петров, В. Е. Алесеев, М. А. Титов и др. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах. Учеб. для вузов. Высш. шк., Москва, 1984, 320 с.
2. Т. К. Сиразетдинов. А. И. Богомолов. Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 83−91 (1978).
3. В. А. Афанасьев, А. С. Мещанов, Т. К. Сиразетдинов. Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 26−32 (1997). Изв. Вузов. Авиац. Техника, 2, 9−13 (1997).
4. С. В. Емельянов. Системы автоматического управления с переменной структурой. Наука, Москва, 1967. 336 с.
5. В. И. Уткин. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. Наука, Москва, 1974, 272 с.
6. А. С. Мещанов. Вестник КГТУ им .А. Н. Туполева, 2, 5156 (2008).
7. С. В. Емельянов, С. К. Коровин. Новые типы обратной связи: управление при неопределенности. Наука. Физ-матлит, Москва, 1997. 352 с.
8. А. С. Мещанов. Вестник КГТУ, 3, 164−173 (2010).
9. А. С. Мещанов. Вестник КГТУ им. А. Н. Туполева, 3, 154−163 (2012).
10. А. С. Мещанов. Вестник КГТУ, 4, 239−246 (2012).
11. А. С. Мещанов, С. Ю. Севрюгин, Э. А. Туктаров. Труды XV Международного симпозиума «Энергоресурсо-эффективность и энергосбережение». Казань, 2015. С. 485−489 (часть II).
12. А. С. Мещанов, С. Ю. Севрюгин, Э. А. Туктаров. Труды XV Международного симпозиума «Энергоресурсоэф-фективность и энергосбережение». Казань, 2015. С. 493−497 (часть II).
© В. А. Афанасьев, канд. техн. наук, доц. каф. «Прикладная математика и ракетодинамика» филиала Южно-Уральского научно-исследовательского университета, ava46@mail. ru- А. С. Мещанов, канд. техн. наук, доц. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А. Н. Туполева — КАИ, mas41@list. ru- Э. А. Туктаров, аспирант той же кафедры, ed. tuktarov@mail. ru.
© V. A. Afanasyev, candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, ava46@mail. ru- A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, KNRTU named after A.N. Tupolev, mas41@list. ru- E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, ed. tuktarov@mail. ru.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой