Оценки осциллирующих интегралов от функций нескольких переменных

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

М. А. Чахкиев, 0. В. Аверина
Оценки осциллирующих интегралов от функций нескольких переменных
Аннотация: получены оценки осциллирующих интегралов для случая функции многих переменных. Ключевые слова: осциллирующие интегралы, оценки интегралов.
Чахкиев Магомед Абдулгамидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики РГСУ.
Аверина Ольга Валентиновна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики РГСУ. e-mail: rgsukvm@mait. ru
Пусть 0 с/? выпуклая, замкнутая, ограниченная область, функции и (х, у) и/(х, у) непрерывны в области 0 и пусть
1=1(и)= ||и (х, у) ехр{71/(х, у)}с/хс/у. (1)
о
Пусть точка Р0 е 0, а функция [/(Р) -ДР0)| выпукла на любом отрезке соединяющем точку Р0 с точкой Р лежащей на границе & lt-30 области 0. Будем называть такие точки правильными особыми точками. Без ограничения общности будем считать, что область 0 содержит начало координат, точка Р0 = (0- 0) и/(Р0) = 0. Пусть х = рсо$ф, у = р51Пф, 0 & lt- ф & lt- 2л, 0 & lt- р & lt- р (ф), где р = р (ф) -уравнение границы области 0 в полярных координатах.
Теорема 1. Пусть при каждом фиксированном ф, ф е [0- 2л] функция и (р) = и (рсо$ф, р51Пф) принадлежит классу Ь'-ра[0, р (ф)], т. е.
удовлетворяет неравенству
ИР2)-и (Р1)1^с1Р2"Р1Г'- 0 & lt- а & lt- 1, функция 6(р) =/(рсозф, р51Пф) удовлетворяет неравенству
№)1Мф)р, 5(ф)& gt-0,
и при некотором 8,0 & lt- 8 & lt- 1 существует интеграл
2 я
(2)
dq& gt-=A?<- +00.
Тогда
№)| =
/. (1 + а & lt-Л
mini---------, 5і'-
Р & gt- 1 + 1/а
0(1 min (a'6W), Р = 1 + 1/а lO (l'-min (a, 6)), l& lt-P<- 1 + 1/а
где постоянная в знаке «О» зависит от а, р, 8, сИатО — диаметра области 0 и тах|и (х, у)|.
и, у) е о
При доказательстве теоремы нам потребуется следующая лемма из работы [4]:
ЛЕММА 1. Пусть на промежутке [а, Ь), (Ь — конечное число или +оо), функция у (х) положительна и не возрастает, функция Дх) монотонно возрастает и выпукла вниз и пусть 0 & lt- ^ ^ О & lt- г1 & lt- т2 & lt- … последовательные корни соответственно уравнений 51'-пЯ/(х) = 0 и созЯДх) = 0. Тогда найдутся точки
Ч е (% Ч + г) и2к е ('-к 1к + г)'-к = 1'- ште'- что
(3)
| у (х)$тХ/(х)с1х = О, I у (х)со$Щх)с1х = О Ьк 1к
Доказательство теоремы 1.
Рассмотрим мнимую часть интеграла (1)
2Я р (ф) 2Я
1т/(и) = | с/ф | ри (р)51'-п1С (р)с/л = | J (ц& gt-)dц>-,
оо о
р (ф)
где. 7(ф) = | ри (р)51'-п1С (р)с/р. Функция Р (р) монотонно возрастает и выпукла вниз или монотонно убы-
0
ваети выпукла вверх. Пусть для определенности С (р)возрастает и выпукла вниз, иначе можно рассмотреть функцию — 6(р). Воспользуемся леммой 1, где у{х) = 1. Тогда найдутся точкик, к=1, …, т,^т = р (ц& gt-), х0 = О, ^ е (р^, рк + 1), где р^ - корень уравнения №(рк) = пк, такие, что
?& gt-к + 1
| 51'-п1С (р)с/р = 0, к= 1,…, т — 1.
Отсюда
¦%) = Z I [ру (р) — i)]sinA. G (p)i/p.
(4)
Так как функция u (p)e Lipa[0, р (ф)], то
|р"(р) — ^ _ 1 и& amp-к _ i) I ^ рИр) — и& amp-к -1)I + Ip — ^ _ 11_ i) I ^
& lt-С' diamDA^ka + |А^| max|u (x, y)| ^CjA^l",
(х, у) е D
где Са = Ca (u, D) = (C+ max|u (x, y)|)(l + diamD).
(*, у) е о
Следовательно, из (4) получим
т
.1 + а
(5)
Ш& lt-С, 2 |АУ к = 1
Таккак^е (р^, р^ + 1), тоА^ = ^-^_1& lt-р^-р^_2<-Ар^ + Ар^_1& lt-2Ар^_1при/г>-2иА1<-Ар1 = р1. Следовательно, из (5) имеем:
/77−1
+ V- 1л~ Г1 + а1
Г * m~i і - -
1 + а л ж-, і * її + а ^ ^ _ ж-, 1ж .I + а
pi +2 z apJ H3Ci z ідр^і
v к = 2 7 v k = 1 7 /г = 1
Так как функция 6(р)монотонно возрастает и выпукла вниз, то последовательность Ар^ убывающая и,
Pit
следовательно Ар^ & lt- Отсюда
т 7р/Л1 + а
к = 1
(б)
Разобьем промежуток [0- 2л] на два множества^ и ?2. К первому множеству отнесем точки ф, ф е [0- 2л], такие, что Х5(ф) & lt- 1, при ф е Еу К множеству Ег отнесем остальные точки отрезка [0- 2л]. Так как

л,
'8- Jt- ^ Jt-
О 5 (ф) E. S (ф)
где ц (?1) — мера множества ?1-то
Для точек множества Е2 из (б) имеем
X
(7)
к& lt-Х5(<-р) К к & gt- ^5(ф) *
к& lt-ХБ (ф) К к& gt-ХБ (ф) К и& lt-Шш)4 (Я, 5(ф)) '-
& lt-Со
і& gt-Щф)
i І (тУ+ а + -«-
Ч/г& lt-Щф) к (Х5(Ф))'
где постоянная Сг зависиттолько от диаметра области О и тах|и (х, у)|. Так как Хв (рк) = пк, то с учетом (2) имеем: (Х'У~)? 0
Ш * с2
(1 + а
Л
(Я, 5(ф)
1. + -к.
V
к& lt-Щ ф) 1 + «-^ (^(Ф)Г к р
(8)
оо
Пусть, а & gt- т. е. р & gt- 1 + 1/а. Так как ряд? ------------------------------------
сходится, то
к = і
1 + а — -
р (ф)| & lt- С2С (а, Р) —
1 + а
Отсюда
|1т/(и)|
2п
| ^(ф)с/ф о
|. 7(ф)с/ф + |. 7(ф)с/ф
?і Е2
(Х5(ф))
& lt- ц (?1) тах
О & lt- ф & lt- 2п
р (ф)
| ри (р)51ПЯ, С (р)ф о
Г---Ї---с/ф& lt-^тах|и (Х)У)|(^)!+_^ Г-------1---4
1 + а '- 1 + а л 8, ч г, 2 1 + а '- 1 + ос Т
X (х, у) є о
(9)
Если ^ * а & lt-8,то интеграл сходится и
|1пп1(и)| = 0
1 + а
х~
V
г 1 + а о Если-------- & gt- 8, то
Р
Г---------------с/ф = [ЙІ----------------
J 1 + а т J. ч8
?2 о ?2 -5(ф)
(*(ф)) Р
¦ с/ф & lt- X
?-5^^а5х@-5
Ег 5(ф)
УХ
Аналогичные оценки верны и для |Ке/(и)|. Первая часть теоремы доказана.
л _|_ о#
Пусть теперь, а =---------------. Тогда из (8) имеем:
Р
Ш = о
1п1
-(Х5(Ф)У
и также как и для случая, а & gt- 1 * а получим:
1п А,
тіп (а, 8)
Рассмотрим случай, а & gt- 1 * а. Тогда
1 + а
к & lt- Х, 5(ф) 1 + сс — к
1 + а
(Х5(Ф))
и из (8) получим:
Ш = о
-(Х5(ф)У
Оценивая |1т/(и)| как в (9) получим
|1т/(и)| = О
тт (а, 8)^
Теорема доказана.
Теорема 1 позволяет оценивать осциллирующие интегралы, с фазой имеющей вырожденные или вырожденные и неизолированные особые точки, а также с не дифференцируемой фазой. Рассмотрим в качестве примера осциллирующий интеграл
|1т/(и)| = ||и (х, у) ехр{71|х|р|у|9}с/хс/у
о
где замкнутая выпуклая и ограниченная область 0 содержит начало координат, р& gt-1, д & gt- 1, р & gt- д действительные числа, и (х, у) е? ф1(0). Так как, а = 1, р = р + д& gt- 2,5(ф) = |со5ф|р|51пф|& lt-7 и интеграл
2 П
| -----с/ф = И5& lt-+оо
5 (ф)
при любом 8 & lt- 8П = -, то по теореме 1 имеем:
т=о
УХ
(10)
при Р = р + д& gt-2 и
(
т=о
[ПІ
8
при р = р + д = 2, где 8 любое положительное число меньшее 80 = - и постоянная зависит от 8. Пусть
р = д = п. Для интеграла
і і
Іп= ^хр^л/Ах у }с/хс/у
0 о
справедлива оценка снизу (см. [1], стр. 41):
II I & gt- 1 ^
1 & quot- о 2,1/л'-
2л/7 X
что показывает неулучшаемость оценки (10) в степенной шкале. В [1] доказана следующая теорема об оценке кратного тригонометрического интеграла:
Теорема. Пусть n, kv …, кг — целые числа (п & gt- 1, kv …, кг& gt- 0, кг + … + kr& lt-n), a (kv …, кг) — вещественные числа,
п п п к к
f (*i… xr)= І I — I «(*1… к1 … х-,
к = 1 кг = 0 кг= 0 к1 + … + кг = к
к, + … + кг 1 & lt-9 1 F (x*,…, х)
1 г Зх^. Зх/
п п п — - 1/к н= min х I — I l?(*-*)l •
Тогда для интеграла
справедлива оценка
°-*1' ¦¦¦& gt-*-1 к = 1кх = О кг= О к1 + … + кг = к
1 1
J = J… Jехр{2л/Т (х1-…, xr)}dxv., dxr
о о
|J| & lt- С (п, r) min (l, Н 1).
Применение этой теоремы к многочлену F (x, y) = Х (хА + х2у2 +у4) дает оценку
=0(Х~1/А).
В то же время из теоремы 1 следует точная оценка
J=0(X~½).
2
Пусть функция и (х, у) непрерывна в R. Определим разности:
и (х'-У) = & quot- u (x'- 'l) & quot- + 'l)'-
А^и (х, •) = и (х, у) — и& amp-у), Аци (•, у) = и (х, у) — и (х, г|).
Пусть далее f (x, у) =/а (х) +/2(у), где функции/а (х) и/2(у) непрерывны на всей оси/^О) = 0,/2(0) = 0 и функции |/а (х)| и |/2(у)| выпуклы т. е. ноль является правильной особой точкой.
Теорема 2. Пусть функция и (х, у) финитна,
|А|л u (x, y)|& lt-Ci|x — 5||y-ri|
|А^(х, -)|& lt-С2|х — ?|, |Али (*, у)| & lt- С3|у — т||,
1/1(х)|& gt-С4|х|р, [/2(у)|& gt-С5|у|9 гдер & gt- 1, q & gt- 1, Сг …, С5 абсолютные постоянные. Тогда для интеграла
I = I (u) = J ju (x, y) exp{iXf (x, y)}dxdy
R2
где/(х, у) =/а (х) +/2(у) имеем:
1= и (0,0) • С (р, q, X) + 0(Х~1/Р & quot-1/9 & quot-т), т = min (l/p, 1/q), С (р, q, X)= J Jexp{iXf (x, y)}dxdy = 0(A1^P «^q).
Доказательство. Рассмотрим интеграл
Интегралы содержащие функции $т{Х/г (х)}С0 ${Х/2{у)}, $т{Х/1(х)}$т{Х/2{у)}, СО${Х/1(х)}$т{Х/2{у)} рассматриваются аналогично. Согласно лемме 1 выберем точки
… & lt-^_к<- … & lt-^_г & lt-0 & lt-^г<- … & lt-^к<- такие, что
?& gt-к+1
| со5{Я/1(х)}с/х = 0,/г = 1, ±2,… (11)
1 +СО
| со${Х/1(х)}с1х= | со${Х/1(х)}с1х.
-со
Аналогичные точки г|5,5 = ±1,±2,… выберем для функции/2(у). Учитывая (11) получим:
$к + 1 Л1+1
11= Е Е I I А1л и (х, у) со5{Я/1(х)}со5{Я/2(у)}с/хс/у +
к& gt- 1|5|& gt-1.
1к+1 41
+ X 1 1 А и (•, у) с05{Я/1(х)}с05{Я/2(у)}с/хс/у+? I | Ас и (х, •)С05{Я/1(Х)}С05{Я/2(У)}С/ХС/У +
14*1 Е л к& gt- 1 л
5 -1 ^ **-1%к Л-!
1 Л1
+ (и (х, у) — и (х, 0) + и (х, 0) — и (О, 0))со5{Я/1(х)}соз{Я/2(у)}с/хс/у +
-1 Л-1
1 Л1
+ и (0,0) | | ^{Я/^х^соз^^^с/хс/у. (12)
-1 Л-1
Так как точки ^ и улежат между точками х^ и у. определяемыми из соотношений
гМ±11 — 1АК,)! & gt- у*/, «11 — |/А)| & gt- с5|у/,
а в силу выпуклости функций |/а (х^)| и |/2(у5)| следует, что |Ах^| & lt-
1 г = и (О, 0) • С (р, д, X) + /?,
и |Ау | & lt-
из (12) имеем:
где
1 Лі +СО + СО
С (р, дД) = | | со5{Я/1(х)}со5{Я/2(у)}с/хс/у = | соз{Я/1(х)}с/х | со5{Я/2(у)}с/х = 0(111^).
Ло
1*1*? I
М & gt- 1 к! & gt- 1
хк 2 Л 2 1 + - у 2 1 + - у хк
к 5 Х1/Р І5І & gt- 1 5 Х1/р к& gt-1 к
1 1 ±----------- +
І/р + 2/д ^2/р + 1/д
(13)
Так как функция и (х, у) финитна, то все суммы в (13) конечны и верхний индекс суммирования есть
0(Х). Учитывая, что |х^| = О
1 /р'-
имеем:
I
к& gt-1
0(Х~2/р), р & gt- 2 0(Х~2/р1пХ), р = 2 0(Я,_1), 1 & lt-р<- 2 2
Аналогичное равенство выполнено для ?
|*| & gt-1
. Теорема доказана. Отметим еще, что при р & gt- 2 схо-
дится ряд ^
к& gt-1
,-2/р
0(1), т. е. в этом случае можно не требовать финитности функции и (х, у) по пе-
ременной х. Аналогично, при q & lt- 2 функция и (х, у) может быть не финитной поу, при этом интеграл будет существовать как предел интегралов по прямоугольникам со сторонами параллельными осям координат. Теорема 2 легко переносится на случай функций любого числа переменных. Пусть в частности функция
п 8к
и{х) = u (xv …, уп) определена и финитна в Rn, имеет непрерывные смешанные производные --------------^-,
Л'» Jk
к= 1, 2, …, n, js ф jl при s * I, функции sk (t) удовлетворяют условиям: fk (0) = 0, fk (t) — выпуклая и
fk (t) & gt- Ckt^k, fik& gt- 1, к = 1, 2,…, п. Тогда для интеграла
I = I (u) = J u (x, y) exp{ilf (x, y)}dxdy (14)
R& quot-
гдеДх) =/1(х1) + … +fn (xn) выполнена оценка
I=u (0,Q)-C (X, f) + 0(X 1 & quot-),
т = mr{l/$v …, 1/Р»), C (, f)= J exp{ilf (x)}dx = 0(X ^& quot-).
r& quot-
к + 1 2 2 2 2
Применяя эту оценку к интегралу (14) с фазойДх) =+ха +х2 +Q, k& gt-l, Q = -x3 -,. -xs +xJ + 1 +
2
… + хп, т. е. с фазой имеющей особенность типа (см. [2], [3]), получим точную оценку:
I = I (u) = J u (x, y) exp{iXf (x, y)}dxdy = и (0, 0) п/^-р + 0, (л +1& gt-/2 — р) (15)
!& lt-_Л
где р = ---, а постоянная Ск п = | ехр{//(х)}с/х может быть явно вычислена.
Rn
Для особенности типа Е6 или Е& amp-, т. е. фаз/(х) = х^ ± х + 0 и Дх) = х^ ± х2 +0 получим оценку (15)
5 7
где Р = - и р = - соответственно.
12 15
2 3
Рассмотрим еще особенность /?4: Дх) = ха ± х2 +0. Применяя теоремы 1 и 2 получим оценку (15) где 1
Р = -. Все эти оценки точные (см. [2], [3]).
Литература:
1. Архипов Г. И. ДарацубаА. А., ЧубариковВ. Н. Теория кратныхтри гонометрических сумм. — М.: Наука, 1987.
2. Арнольд В. И. Интегралы быстро осциллирующих функций и особенности проекций лагранжевых многообразий, Функ, анализ 6:3 (1972). — С. 62−62.
3. Арнольд В. И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. Успехи мат. наук. 1973. Т. XXVIII. Вып. 5 (173). — С. 17−44.
4. Чахкиев М. А. Оценки осциллирующих интегралов с выпуклой фазой. Известия РАН, серия матем., т. 70. № 1, 2006 г. — С. 183−220.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой