Модели хаотической динамики.
Часть 2. Нелинейные и неавтономные инварианты

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов
МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕАВТОНОМНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Ключевые слова: аттрактор Лоренца, нелинейных и неавтономных инварианты.
Проведено дальнейшее обобщение классической модели Лоренца, описывающей хаотическую динамику, с учетом инвариантных нелинейных и неавтономных преобразований координат.
Keywords: attractor Lorenz, nonlinear and non-autonomous invariants.
Conducted a further generalization of the classical Lorentz model, which describes the chaotic dynamics, taking into account the non-linear and non-autonomous invariant coordinate transformations.
Введение
Вопросы моделирования сложной динамики привлекают внимание многих исследователей (см., например, [1−4]). Ранее в статье [4] нами было проведено обобщение известных моделей Лоренца, Рикитаке и Росслера, способных описывать хаотическое поведение с учетом инвариантных линейных преобразований координат. В продолжение этой статьи в данном сообщении рассматриваются более сложные обобщения модели Лоренца
х '- = -ах+ау, у'- = рх-хг-у, г'- = ху-уг
при а=10, р& gt-28, у=8/3, (1)
инвариантные относительно линейных
неавтономных и нелинейных автономных преобразований координат.
Результаты и их обсуждение
Автономные нелинейные преобразования. Рассмотрим квадратичную деформацию со сдвигом по всем переменным без поворота осей координат вида (для более сложных преобразований выкладки становятся громоздкими)
х= а1×2+Ь1х+с1, у=э2у2+Ь2у+о2, г=а3г2+Ь3г+с3,
(2)
где Д = det (a1,b1,c1- а2, Ь2,с2- а3, Ь3,с3) ф 0 (условие физичности). Преобразуем классическую модель Лоренца (1) с учетом (2), разрешим ее относительно производных от новых переменных и получим обобщенную модель Лоренца, инвариантную ей по свойствам относительно преобразований (2)
х'- = а[(а2у2+Ь2у+с2)-(а1×2+Ь1х+с1)]/(2а1х+Ь1), у'- = [(а1Х2+Ь1Х+с1)(р-2)-(а2]У2+Ь2У+с2)]/(2а2У+Ь2), (3)
г'- = [(а1×2+Ь1х+с1)(а2у2+Ь2у+с2)-у (а3г2+Ь3Х+с3)]/(2а3Х+Ь3). Варьируя коэффициенты этой модели можно получить бесконечное множество квадратичных модификаций модели Лоренца и провести их классификацию. Например, в частном случае, при а1=а2=а3=0 модель (3) совпадает с моделью (5) статьи [4].
Модель 3.1. При а1=а2=0. 01, а3=1, Ь1=Ь2=1, Ь3=0, с1=1, с2=с3=0 получим дробно-нелинейную модификацию модели Лоренца: 3. 1)
y=
х =а[(0. 01 у2+у)-(0. 01×2+х+1)]/(0. 02х+1), [(0. 01×2+х+1)(р-г)-(0. 01у2+у)]/(0. 02у+1), г =[(0. 01×2+х+1)(0. 01у2+у)-уг2]/2г. Эта
модификация отсутствует среди линейных инвариантов и соответствует замене переменных х^ 0. 01×2+х+1, у^ у=0. 01у2+у, г^-г2. Она инвариантна по свойствам классической модели Лоренца относительно преобразований
квадратичной деформации по всем осям без поворота (рис. 1).
20 15 10 5
50 60
Рис. 1 — Зависимости х (^), у (1), г (1) для модели 3.1 при а=10, р=28, у=8/3, а1=а2=0. 01, а3=1,
Й1=Ь2=1, Ьз=0, С1=1, С2=Сз=0
Модель 3.2. При а1=а2=0, а3=1, Ь1=Ь2=1, Ь3=0, с1 = 1, с2=с3=0 получим более простую дробно-нелинейную модификацию модели Лоренца: 3. 2) х =а[у-(х+1)]/(0. 02х+1), у '-= [(0. 01×2+х+1)(р-г)-(0. 01/+у)]/(0. 02у+1), г =[(0. 01×2+х+1)(0. 01У2+у)-уг ]/2г. Эта модификация, также отсутствующая среди линейных инвариантов, является частным случаем предыдущей и соответствует замене переменных х^ х+1, у^ у, г^ г2. Она инвариантна по свойствам модели Лоренца относительно сдвига по оси х на единицу и квадратичной деформации по оси г без поворота (рис. 2).
Неавтономные преобразования. Рассмотрим знаменитые преобразования Лоренца для четырехмерной системы «пространство-время», применяемые в теории относительности [5]
прямые х = х, у= у, г = (г-у?)/(1 —
v2/c2)112, t = (t-vz/c2)/(1-vVc2)½,
обратные х= х, у= y, z= (z +vt)/(1-vVc2)½,
(4)
2ч ½
t= (t +vz/c2)/(1-v2/c2)½,
(5)
0
10
20
30
40
где c — скорость света, v — скорость объекта. Они являются обобщением вращения системы координат, сохраняют инвариантными форму основных законов физики (образуют группу Лоренца-Пуанкаре) и могут быть записаны в различной (например, гиперболической) форме: прямые х = х, у = y, z = z ch9 — ct she, ct = ct ch9 — z she, (6)
обратные х= х, у = y, z = z che +ct she, ct = ct che + z she, (7)
где e — быстрота (параметр), she=(ee-e-e)/2 и che=(ee+e-e)/2 — гиперболические синус и косинус.
Рис. 2 — Зависимости x (t), y (t), z (t) для модели 3.2 при а=10, ?=28, y=8/3, a1=a2=0, a3=1, Ь1=Ь2=1, Ьз=0, Ci=1, С2=Сз=0
Преобразуем классическую модель Лоренца (1), например, с помощью (7) и разрешим ее относительно производных от новых переменных. Так, для переменной x преобразования выполняются следующим образом dx/dt = dx/dt dt/dt = a (y-x) (ch9 + dz/dt she/c). Выполнив аналогичные преобразования для остальных переменных (опущены), получим обобщенную модель Лоренца, инвариантную ей по свойствам относительно неавтономных преобразований
x'- = a (y-x)(che+z '- she/c), y'- = [?x- y-x (z che +ct she)](che+z'- she /c),
(8)
z'- = [xy-y che (z +ct the-c she)]/[che-thexy/c +yshe (z +ct the)/c].
Варьируя параметры с и e в правых частях модели (8), получим бесконечное множество новых модификаций модели Лоренца, инвариантных относительно неавтономных преобразований (7). Например, при e=0, che=1, she=0 модель (8) совпадает с классической моделью Лоренца (1).
Модель 8.1. При e=1, che=(e+1/e)/2=1. 54, she=(e-1/e)/2=1. 18 и модель (8) примет вид: 8. 1) х '-=ch (1)a (y2 -х2), y == ch (1) (?x-y-xzch (1)), z '-=xy/ch (1)-yz. Эта модификация отсутствует среди линейных автономных и нелинейных неавтономных инвариантов. Она соответствует замене переменных х- x, y-y, z- ch (1)z +ctsh (1), t- ch (1)t + zsh (1)/c и инвариантна по свойствам модели Лоренца относительно неавтономных
преобразований (7), рис. 3.
10 5 о -5 -10 -15
о 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 3 — Зависимости х (*), у (Ц, z (t) для модели 8.1 при а=10, р=28, у=8/3, с=300 000, 0=1
Хаос возможен и при других модификациях модели Лоренца, не упомянутых выше. Эти модификации инвариантны относительно каких-то, вообще говоря, неизвестных, нелинейных и неавтономных преобразований. Например, нами экспериментально установлены следующие модификации модели Лоренца.
Модели 9. 1−9.5. 9. 1) х '- = -ах+ау, у'- = рх-хг-у, z'- = ху-уг+е, -300& lt-с<-7- 9. 2) х'- = -ах+ау+б, у'- = рх-хг-у, г '- = ху-уг, -15& lt-^<-16- 9. 3) х'- = -ах+eу+d, у'- = рх-хг-у, г'- = ху-уг, -15& lt-е<-48- 9. 4) х '- = -ах+ау, у'- = fiх-xz, г'- = ху-уг- 9. 5) х '- = -ах+ау, у '- = рх-хг-у, г = ху-е, с& gt-0 (с, й, е -параметры). Для этих моделей с ростом с хаотичность растет. Отметим, что они не следуют из моделей (3) или (8). На рис. 4 в качестве примера приведены результаты численного анализа модели 9.5.
Рис. 4 — Зависимости х (Ц, у (Т), z (t) для модели 9.5 при е=100
Таким образом, нами получены все возможные линейные и нелинейные инварианты аттрактора Лоренца, описывающие хаотическую динамику простыми трехмерными автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Литература
1. Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. Л., Мир, 1981, 253 с.
2. О. В. Матухина, Вестник Казан. технол. ун-та, 16, 2, 191−194 (2013).
3. Р. Г. Мухарлямов, О. В. Матухина Вестник Казан. технол. ун-та, 15, 12, 220−225 (2012).
4. В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, в печати (2013).
5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля. М, Наука, 1988, 512 с.
© В. Х. Федотов — канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox. ru- Н. И. Кольцов — д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail. ru.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой