ОЦіНКА БіНОМіАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА R ПО МЕТОДУ КЛОПЕРА — ПіРСОНА

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Экономические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 004. 312. 43. 052
С. Л. Волков ОЦІНКА БІНОМІАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА В ПО МЕТОДУ КЛОПЕРА — ПІРСОНА
Приводяться лема, її доказ та уточнені визначення наукових понять, які стосуються оцінки біноміального параметра R по методу Клопера — Пірсона
Ключові слова: випробування, біноміальний параметр, статистика, довірчий інтервал
1. Вступ
У системі випробувань Бернуллі параметр ^ = Р (Аі) функції розподілу Ві (п, R, х) завжди вважається відомим. Він має сенс імовірності успішного функціонування технічної системи в одному і -му випробуванні, якщо подія Аі визначена відповідним чином, а саме — якщо Аі складається в успішному функціонуванні системи в і -му випробуванні. Однак на практиці часто імовірність R невідома та підлягає оцінюванню за результатами випробувань. Як показала практика, найбільш точні результати дають випробування, які проводяться по методу, який отримав назву «Метод Клопера — Пірсона». Однак різні вчені та дослідники при практичних дослідженнях використовують різну термінологію, що в достатньому ступені утруднює узагальнення результатів.
2. Постановка проблеми
Відповідно до сказаного, пропонуються узагальнені визначення деяких наукових та технічних термінів, що стосуються оцінки біноміального параметра R при проведенні випробувань технічних об'єктів, наприклад, на надійність та живучість, з використанням методу, запропонованого Клопером і Пірсоном.
3. Основна частина
3.1. Аналіз літературних джерел по темі дослідження. Стосовно до теорії випробувань на надійність та живучість технічних засобів одноразового та короткочасного використання, а також аналогічні проблеми стосовно до теорії функціонування складних систем, освітлені в багатьох доступних літературних джерелах. Серед вчених проблемами випробувань технічних систем, включаючи метод Клопера — Пірсона, займалися як вітчизняні, так і зарубіжні теоретики та практики. Серед них -Р. В. Судаков, Г. А. Птіцин, Е. Ю. Барзилович, В. А. Каштанов, В. І. Борщ, Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, Ф. А. Мірталібов, О. О. Скопа, Н. Ф. Казакова та ін. Деякі результати приведені в [1−5].
3.2. Результати досліджень. У теорії надійності для параметра R біноміального розподілу використовують термін «імовірність R безвідмовної роботи в одному випробуванні». Термін «імовірність
успішного функціонування» може розглядатися як синонім, але в дійсності він включає згаданий термін з теорії надійності як окремий випадок, оскільки у виразі R = Р (Аі) події Аі може надаватися довільний смисл, аби малася можливість у п біноміальних випробуваннях реєструвати число г подій Аі (або число п — г подій Аі).
Як результат випробування п -серії Бернуллі пропонується приймати число г подій Аі. Якщо вважати, що Аі - подія, яка складається у виникненні відмовлення в і -м випробуванні, то г — число відмовлень у п біноміальних випробуваннях. Приведемо пропоновані визначення.
Визначення 1. Будь-яка невідома константа 0, що підлягає оцінюванню по результатах юєО випробувань (О — сукупність всіх результатів ю), називається параметром.
Визначення 2. Всяка функція g (ю), яка залежить від результатів юєО випробувань, називається статистикою.
Визначення 3. Сукупність з п біноміальних випробувань Бернуллі називається п -серією Бернуллі або серією обсягу п.
у
Визначення 4. Випадкову величину R = 1 —
п
назвемо точковою оцінкою для параметра R, який являє собою невідому константу.
При кожному конкретному результаті г = k, що отриманий після проведення п випробувань (наприклад, при одержанні г = 2 в п = 10 випробуваннях), статистика R приймає також конкретне, невипадкове значення R = 1 — кп^ Однак до проведення випробувань значення R непередбачене і можна лише стверджувати, що 0 & lt- R & lt- 1.
В силу випадковості R ці нерівності виконуються кожна з деякою імовірністю, а саме
Р^ & lt- R) = Р (г & gt- п (і - R)) = 1 — Р (г & lt- щ) =
де q = 1 — R, причому Р (я& lt- Я)& lt- Р (Я& gt- Я)& lt- 1.
technology audit and PRODUCTION RESERVES — № 6/3(8), 2012, © S. Valkav
23
Для практики більший інтерес представляють оцінки для R, які можна позначати як R і R. Вони мають властивості гарантованості в тім смислі, що, як правило, R не перевищує R (тобто R & lt- R), а R, навпаки, як правило перевищує R (тобто R & gt- R). При цьому фраза «як правило» означає, «з наперед заданою і досить великою імовірністю у», наприклад, при у = 0,90.
Таким чином нас цікавлять статистики R і R такі, для яких при заданій у і невідомому R виконуються нерівності:
P (R & lt- R)& gt- y, P (& gt- R)& gt- y.
(1)
Визначення 5. Статистику R з (1) назвемо у — нижньою границею для імовірності R, а число у буде називатися довірчою імовірністю.
Визначення 6. Статистику R з (1) назвемо у — верхньою границею для імовірності R.
Визначення 7. Проміжок [R, R] будемо називати довірчим інтервалом для параметра R.
Відмітимо, що довжина R — R довірчого інтервалу — випадкова величина, а сам інтервал містить («накриває») невідому константу R з імовірністю, не меншою ніж у'-= 1 — 2(1 -у), якщо R & lt- R (тут доведення не приводиться).
Класичний результат в загальному вигляді розглянутий Клопером та Пірсоном. Конкретизацію рішення зазначеної задачі дає наступна лема.
Лема 1. У якості у — границь R і R можна вибрати статистики
R = f (n, r, y), R = fl (n, r, y) ,
(2)
у = Р (F (Л -0)& lt-у) = Р (і - F (Л — о)& gt- 1 — у) =
= Л (іЛ (п — г, г +1) & gt- 1 — у = 1Л (п — Г, Г + 1)) = Р (Л & lt- Л).
Аналогічно:
Р (& gt-) = Р (^ (п — г +1, г) & gt- 1К (п — г +1, г)) =
= Р (у & gt- Ві (п, R, г — 0)) = Р (Ві (п, R, г — 0)& lt- Y)^ Y
або Р (& gt- R)& gt-y.
Лема доведена.
Література
1. Скопа О. О. Принципи вибору формальних параметрів при побудові профілей захисту інфоресурсів [Текст] / Ю. В. Щербина, С. Л. Волков, О. О. Скопа // СхідноЄвропейський журнал передових технологій. — 2012. — Т. 5, № 2(59). — С. 31−33.
2. Скопа О. О. Концепція контрольних випробувань резервних систем на основі біноміальної схеми [Текст] / О. О. Скопа, С. Л. Волков, А. В. Мінін // Інформаційна безпека. — Луганськ: СНУ ім. В. Даля. — 2011. — № 2(6). — С. 69−76.
3. Скопа О. О. Біноміальні моделі випробування живучості захищених інформаційних каналів [Текст] / А. В. Мінін, О. О. Скопа, М. Александер // Вісник Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля. — Луганськ: СНУ ім. В. Даля. — 2012. — № 8(179). — Ч. 1. — С. 42−58.
4. Казакова Н. Ф. Оцінка живучості систем моніторингу інформаційного простору [Текст] / Н. Ф. Казакова // Східно-Європейський журнал передових технологій. — 2012. — Т. 4, № 2(58). — С. 12−15.
5. Скопа О. О. Статистичне тестування симетричних криптографічних перетворень [Текст] / О. О. Скопа // СхідноЄвропейський журнал передових технологій. — 2011. — Т. 4, № 9(52). — С. 15−18.
які є коренями рівнянь 1 — Y = ^
к=0
n
k
-(1 — X) k
та
(П -Ь! к
У=?І хп Ь (1 — х), що розв’язуються при зада-
Ь=0 V Ь У
них п та у для кожного реєструємого значення г відносно х є[0,1]. При цьому гарантується, що
Р (Л & lt- R)& gt-у та Р (& gt- R)& gt-Y.
Підкреслимо, що у — границі (2) залежать від числа п випробувань.
Визначення 7. ПроміжокЯ, R] випадкової довжини R — R називається довірчим інтервалом для імовірності R.
Строгий доказ леми 1 можна отримати за допомогою нерівності Большева.
Доказ леми 1.
Нехай Р (й & lt- х) = F (х).
Тоді Р^ & gt- х) = 1 — F (х — 0) = Р (г & lt- с = (1 — х) п) = = 1″ ((-[ Цс ] +1. По відомій нерівності Больше-ва, можна встановити, що
ОЦЕНКА БИНОМИАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА R ПО МЕТОДУ КЛОППЕРА — ПИРСОНА
С. Л. Волков
Приводятся лемма, ее доказательство и уточненные определения научных понятий, которые касаются оценки биномиального параметра R по методу Клопера — Пирсона.
Ключевые слова: испытания, биномиальный параметр, статистика, доверительный интервал.
Сергей Леонидович Волков, соискатель кафедры Информационно-измерительных технологий Одесской государственной академии технического регулирования и качества, тел.: (050) 316−71−14, e-mail: greyw@ukr. net.
BINOMIAL PARAMETER R ESTIMATION IN CLOPPER — PEARSON METHOD
S. Volkov
Lemma, and also clarified the definition of scientific concepts in the evaluation parameter binomial R Clopper — Pearson method. Keywords: test, the binomial option, statistics, confidence interval.
Sergey Volkov, searcher of the Department of Information and measurement technologies Odessa State Academy of Technical Regulation and Quality, tel.: (050) 316−71−14, e-mail: greyw@ukr. net.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 6/3(8), 2012

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой