Моделирование дифракции волн на поверхности вязкой жидкости круговым цилиндром

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ КРУГОВЫМ ЦИЛИНДРОМ
Сычева Елена Михайловна
лаборант кафедры математического моделирования Института Математики и Компьютерных Наук Тюменского Государственного
Университета,
магистрант кафедры математического моделирования Тюменского
государственного университета, РФ, г. Тюмень E-mail: sychova elena 92 @gmail. com
MODELING OF THE WAVE DIFFRACTION ON THE VISCOUS LIQUID
SURFACE BY A ROUND CYLINDER
Sycheva Elena
A laboratory assistant of the Mathematical Modeling Department, Institute of Mathematics and Computer Science, Tyumen State University, a Master student of the Mathematical Modeling Department, Tyumen State
University, Russia, Tyumen
АННОТАЦИЯ
Рассматривается движение жидкости, вызванное взаимодействием набегающей гравитационной волны, распространяющейся на поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости, с круговым цилиндром бесконечной длины. Получено решение задачи для колебаний малой амплитуды.
ABSTRACT
We shall consider the motion of liquid, caused by the interaction of incoming gravitational wave, spreading on the surface of the viscous incompressible liquid coat with an infinitely long round cylinder. The problem was solved for the case of small oscillations.
Ключевые слова: дифракция- вязкость- волновые движения жидкости. Keywords: diffraction- viscosity- wave motion of liquid.
В области занятой жидкостью, выполняются уравнение неразрывности и уравнения движения:
IИуу = 0, р
ду '-
— + (уУ)у
= рАу — УРЪ рд,
где: у = (и, у, ш) — вектор скорости, р — плотность, Р — давление,
р — динамический коэффициент вязкости, д — вектор силы тяжести.
При заглублении скорость жидкости должна затухать, т. е. выполнено условие
у ^ 0,2 ^ -ю.
На свободной поверхности 2 = х, у) задаются кинематическое условие [1]
ш =--Ъ и--Ъ у -,
дЬ дх ду
и динамические условия [2]
ре^Щ = 0, Р — 2р. е1]щп] = 1(ду1 ду Л
е!& quot- = 2Щ + д7,)'-У* = и'-У2 =У'-У. =™'-Х* = Х'-Х2 = У'-Х. =
Здесь — постоянное атмосферное давление.
На поверхности цилиндра 8 в случае вязкой жидкости должно выполняться условие прилипания:
и = 0, у = 0, ш = 0,(х, у, 2) еБ.
Будем рассматривать колебания с амплитудой весьма малой по сравнению с длиной волны. Тогда система уравнений и граничных условий примет вид:
div v = 0, — = vAv — (1)
'- dt р v '-
59: с п dw ди dw д@ dw _ _
w = -, — - - 2v-= 0, — + - = 0, — + - = 0, z = 0, (2)
dtp д= д= дх д= ду
и = 0, v = 0, w = 0,{x, у, z) E S, (3)
v ^ 0, z ^ -& lt-x>-, (4)
где: % = Р + рдг — %а — динамическое давление, 7 = ^ - кинематический коэффициент вязкости.
Решение задачи необходимо искать в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей. Исходя из этого, представим скорость в виде [3]:
v = v*+ v2, v1 = Vd& gt- v2 = rotG
где: d — потенциал,
G — векторная функция тока.
Тогда применяя к уравнениям (1) операции div и rot их можно свести к системе уравнений
dw dG
Aw = 0, p = -^-,^- - vAG = 0. T dt'-dt T
Применяя операции дифференцирования к уравнениям для функции & lt- и компонент векторной функции получим уравнения для вертикальной
составляющей скорости w = w1 + W2 (ж* = -, ж2 = ----
Аш* = 0уАШ2 = 0.
(5)
Граничные условия (2) с помощью операций дифференцирования и уравнений (1) преобразуются к виду
д3и/ дг2дг
V дх2 ду2 дг2у
2
ду2 '- д=2) д1дг д2& lt- д2& lt- д2& lt-
д2& lt- (д2& lt- д2& lt- - ('-дх2 + ду2
Р =
0,2 = 0
д=2 дх2
ду2
= 0,2 = 0.
(6) (7)
Из условия (3) получим
ш = 0,(х, у, г) Е Б, (8)
а из условия затухания волнового движения при заглублении (4):
ш ^ 0, г ^ -& lt-х>-. (9)
Таким образом, исходная волновая задача сведена к задаче для вертикальной составляющей скорости (5)-(9).
Волновое движение жидкости для свободной волны, не искаженной препятствием, описывается следующими функциями [4]
и = соза (1кАек= - 1Се1=)е!к (хсоза+уз!па'-)+ш6, V = 5Ыа (1кАекг — 1Се1г) е1к (хс05а+узЫа)+ш6,
Ш = (кАек= + 1кСе^=*)е!к (хсо8а+у8та)+Ш
1кА — 1С
% = -рШАек= е1к (хсоа+у51па)+шг ^ = _е!к (хсоза+узта)+ш1
а
, 2ь
где: к = ---волновое число,
т /2 7 2 I ш п 2! ек2А
А — длина волны, г = к2 Л-, С =
е'- ш+2ек2
а — направление распространения волны, отсчитываемое от оси х в горизонтальной плоскости,
а — комплексная частота, для которой получено дисперсионное уравнение
о о о «Г а
(а Л 2ук2)2 +дк = 4у2к41тк2 + 1.
Далее будем рассматривать дифракцию набегающей волны круговым цилиндром с вертикальными образующими. Функции ж* и ж2 будем искать в виде
ж* = кАек=+ш6Р (х, у), ш2 = 1кСе1=+ш6Р (х, у). Выражения для функций и, у,%и % через Р примут следующий вид:
и = -ксо52а (кАек= Л ИСе1=)еш6
V = -ТбЬп2а (кАек= Л ИСе1=)еш6
т р (х, у) йх, т р (х, у)& amp-у,
к Л ЬкА — 1С Л
% = -раАек= еш6 Р (х, у), % =-еш1Р (х, у).
а
Из уравнений (5) вытекает следующее уравнение Гельмгольца для функции Р
д2Р д2Р
+ -г + к2Р = 0.
дх2 ду2
Условия (6), (7) и (9) при таком представлении для w1 и ш2 выполняются, а из условия (8) следует условие для Р
Р = 0, (х, у) Е П,
где П — контур сечения препятствия горизонтальной плоскостью. Функцию Р можно представить в виде
Р = Роо+Р,
где первое слагаемое Рт = е1к (ХС0за+уз1па) соответствует набегающей волне, а второе характеризует возмущенное движение жидкости.
Уравнение Гельмгольца для определения функции Р и условие на контуре П в полярных координатах принимают вид
l±(r5L)
r дг дг)
* d2 °F п
+ р-кдГк+к2р = °'- (10)
eikRcos (6-a) +F (R& gt-0) = 0, (11)
где R — радиус цилиндра.
Функция F, как решение уравнения Гельмгольца, должна также удовлетворять условию излучения в форме [5]
lim Jr (Fr — ikF) = 0, lim F = 0.
Решение уравнения (10) будем искать с помощью метода разделения переменных, представив неизвестную функцию в виде
F (r, 0) =Х (г)У (в).
Подставив последнее выражение в уравнение и проведя разделение переменных, получим уравнения
г2Хгг + гХг + (к2г2 — т) Х = 0, Увв+М = 0,
где т — константа разделения.
Решение второго уравнения, удовлетворяющее условию периодичности по V и условию симметрии относительно а, имеет вид
I = cosn (в — а), где п =т — целое число.
Условию излучения удовлетворяет функция Ханкеля первого рода
Х = Н^ (кг), п = 0,1,2,…
Тогда функция F примет вид
F = ^ СпН& lt-(11)(кг) — а).
п=0
Коэффициенты Сп определим из условия (11). Для этого используем разложение [6]
от
е1кЯсо8{в-а) = ^ ?п1п]п (кЯ)п (в — а), п=0
где]п (кг) — функция Бесселя первого рода, ?п = ^# & gt-
Тогда получим
Сп = -?"1'-

В случае малого значения числа кИ (длина волны много больше радиуса цилиндра) условие на контуре П можно записать в виде
Р (Я, 6) = -1 — ?кИ ^(6 — а).
Тогда функция Р, определяющая суммарное волновое поле, равна
Р = е! кгс05(в~а'-) — Н°ГЛ) (кЕ — ?кИ Н**л (кЕ ^(6 — а).
Список литературы:
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Физматгиз., 1963. — 728 с.
2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. — 792 с.
3. Баринов В. А., Басинский К. Ю. Моделирование волновых движений вязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. — 2009. — № 6. — С. 144−151.
4. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. — 700 с.
5. Кочин Н. Е. Собр. Соч. Т. 2. М.- Л., 1949, — 305 с.
6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. — 1100 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой