Гладкие диффеоморфизмытрехмерного пространства с устойчивыми периодическими точками

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 925. 53
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4
ГЛАДКИЕ ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА С УСТОЙЧИВЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ*
Е. В. Васильева
С. -Петербургский государственный университет, канд. физ. -мат. наук, доцент, ekvas1962@mail. ru
В предлагаемой работе рассматривается Сг-гладкий (г & gt- 1) диффеоморфизм трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой. Цель работы — показать, что при выполнении определенных условий, наложенных, прежде всего, на характер касания устойчивого и неустойчивого многообразий, окрестность гомокли-нической точки содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отрицательны и отделены от нуля. Из статей [1−3] следует, что при определенном способе касания этих многообразий окрестность гомоклинической точки может содержать счетное множество устойчивых периодических точек, но, по крайней мере, один из характеристических показателей у таких точек стремится к нулю с ростом периода. В работах [4, 5] показано, при каких условиях диффеоморфизм плоскости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек с характеристическими показателями, отделенными от нуля. Пример такого диффеоморфизма плоскости приведен в книге [6]. Диффеоморфизм многомерного пространства в себя класса С1 рассматривался в работе [7], в которой предполагалось, что матрица Якоби указанного диффеоморфизма является диагональной в начале координат. В данной работе показывается, что диффеоморфизм трехмерного пространства произвольного класса гладкости может иметь счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля, причем матрица Якоби у такого диффеоморфизма не должна быть диагональной в начале координат.
Пусть / - диффеоморфизм трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат, а именно /: М3 ^ М3, /(0) = 0.
Предположим, что собственные числа матрицы Д/(0) действительны (в данной работе рассматривается только этот случай). Пусть диффеоморфизм / линеен в некоторой окрестности начала координат V, тогда
Возможны следующие случаи: 1) матрица Д/(0) является диагональной (этот случай рассмотрен в работах [5, 7]) — 2) Д/(0) не является диагональной, т. е. среди собственных чисел матрицы имеется кратное собственное число. Если в случае 2) матрица
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13−01−624). © Е. В. Васильева, 2013
(1)
/А 0 0
Д/(0) имеет вид Д/(0) = 11 А 0 1, где 0 & lt- |А| & lt- 1 & lt- м, то окрестность нетранс-
0 м)
версальной гомоклинический точки может содержать бесконечное множество устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Этот результат следует из работ [5, 7].
В данной работе предполагается, что Д/(0) имеет вид
А00
Д/(0) = 10 М 0 I, (2)
1 М/
где 0 & lt- А & lt- 1 & lt- |м|.
Предположим, что собственные числа А, м матрицы Д/(0) положительны, кроме того, пусть
АМ2 & lt- 1. (3)
Пусть, как обычно, Шя (0), Ш& quot-(0) -устойчивое и неустойчивое многообразия точки нуль. Ясно, что в окрестности V многообразие Ш®ос (0) совпадает с осью (0ж), а (0) — с плоскостью (0у, 0г).
Считаем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий содержит отличную от нуля точку, называемую гомоклинической точкой, причем эта точка является точкой касания этих многообразий. Обозначим через р и д две точки из орбиты гомоклинической точки, лежащие в окрестности V, и такие, что д € Ш®ос (0), р € Шг& quot-е (0). Ясно, что в координатах ж, у, г эти точки запишутся так: д = (ж0, 0, 0), р =(0,у0,г0). Пусть
ж0 & gt- 0, у0 & gt- 0, г0 & gt- 0. (4)
Из определения гомоклинической точки следует, что существует натуральное число ш такое, что /ш (р) = д. Пусть и — выпуклая окрестность точки р такая, что и С V, /ш (и) С V. Обозначим через Ь сужение /ш |и. Ясно, что Ь — отображение класса Сг (г & gt- 1), а ДЬ (0) -невырожденная матрица. Предположим, что
(«1 в2 аз
Ь 0 0 I, (5)
С1 С2 0 /
причем аз Ь С2 & gt- 0.
Ясно, что точка д является точкой касания устойчивого и неустойчивого многообразий. Запишем отображение Ь в координатах ж, у, г
'-ж0 + «1Ж + а2(у — у0) + аз (г — г0) + у (ж, у — у0, г — г0)^ Ь |у | = | Ьж + ^(у — у0, г — г0) + -(ж) |, (6)
С1ж + С2(у — у0) + х (ж, у — у0) + д (г — г0)
где у, х, д — функции класса Сг (г & gt- 1) в окрестности начала координат, равные нулю вместе со своими производными первого порядка в начале координат. Предположим, что производные первого порядка функций у, -, х ограничены в окрестности и положительной постоянной М.
Опишем характер касания многообразий Ws (0), W& quot-(0) в точке q. Для этого рассмотрим две положительные последовательности, стремящиеся к нулю, которые обозначим CTfc, ?fc, и предположим, что последовательность ak убывает, точнее ak & gt- ak+i,
?k & gt- 0, lim ak = lim ek. k-k- Пусть для любого к выполнено соотношение
ak — ?k — ak+i — ?k+i & gt- 0. (7)
Предположим, что mk — возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что
(AM2)mk & lt-?k (8)
для любого к. В дальнейшем уточним, насколько быстро последовательность mk стремится к бесконечности.
По введенным последовательностям определим следующие величины: xk = Amfc (x0 + a, 2Amk + a3ak)(1 — ai Amk)-1, yk = y0 + Amk, zk = z0 + ak, Ak = ?kM-mfc, 5k = max[Amfc ak, 4(M + |as|)Amk ?k ].
Обозначим через d следующую величину: d = min [1, 0. 25 (|c2| + M)-1]. Пусть Cr-гладкие (r & gt- 1) функции g, h удовлетворяют нижеперечисленным условиям:
|h (Amfc, ak) + bxk — (y0 + Amk)| & lt- 0. 25 Amk,
jg (ak) + cixk + C2Amk + mk M-mfc+1(y0 + Amk) — (z0 + ak)| & lt- 0. 25 Ak. (9)
Предположим, что при некотором значении, а & gt- 1 производные первого порядка функций g, h удовлетворяют следующим неравенствам:
dh (s, t)
ds
& lt- M-2amfc,
dh (s, t)
dt
& lt-M-2amfc, (10)
где s e [Amk — Ak, Amk + Ak ], t e [ak — ?k, ak + ?k],
У (1)1 & lt-М-2ат, где I е [ак — ек, ак + ?к]. (11)
Условия (9) показывают, что последовательность шк должна стремиться к бесконечности достаточно быстро.
Определим последовательность множеств
ик = {(х, у, г): |х — Хк | & lt- ?к, |У — Ук | & lt- d Ак, |г — гк | & lt- ?к}.
Ясно, что ик С и при достаточно больших к.
Теорема. Пусть дан диффеоморфизм / трехмерного пространства в себя с неподвижной гиперболической точкой в начале координат, имеющий нетрансверсаль-ную гомоклиническую точку р. Пусть выполнены условия (1) — (11), тогда окрестность и точки р содержит счетное множество устойчивых периодических точек диффеоморфизма /, причем характеристические показатели у этих точек отделены от нуля.
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма. Пусть выполнены условия теоремы, тогда справедливы следующие включения:
ГкЦйк) с ик, (12)
где ик замыкание ик.
Доказательство леммы в двумерном случае следует из работы [4], в рассматриваемом случае доказательство проводится аналогично.
Доказательство теоремы. Из (12) следует, что при любом k (может быть, начиная с некоторого номера) окрестность Uk содержит неподвижную точку отображения fmfc L, которая является периодической точкой диффеоморфизма f с периодом (w + mk). Обозначим эти точки и их координаты следующим образом: Sk = (Xk, y0 + yk 0 + ?k).
Для того чтобы оценить характеристические показатели точек Sk, надо оценить собственные числа матрицы DfmkL (sk). Ясно, что эта матрица имеет вид
Dfmk L (sk) =
Amk ai (k) Amfc a2(k) Amk a3(k)
b (k) Mmfc h1(k) h2(k)mk pmfc-1b (k) + pmfc c1(k) mk pmfc-1h1(k)+pmfc c2(k) mk pmfc-1h2(k) + pmfc g (k),
где
(1Л, дфк) ns, дфк) дфк)
а1(к) = а1-----, a2(fc) = a2H----, а3(к) = а3 Н----,
Ъ{к) = Ъ + ф (хк), с1{к) = с1Л----, с2{к) = с2Л----,
dy dz
, /, ч dh (yk, zk), n dh (yk, zk).. .
-ду-'- =-~Q~Z-'- 9{k) = g{zk)•
Из последних соотношений и условий (10), (11) получим
lim a, j (k) = a (г = 1, 2, 3), lim b (k) = b, lim cj (k) = cj (г = 1, 2),
k-k-k-
|hi (k)| & lt-M-2amk (г = 1, 2), |g (k)| & lt-M-2amk.
Обозначим через 0j (k), г = 1,2, 3, главные миноры второго порядка матрицы DfmkL (sk). Главным минором матрицы называется такой минор, у которого номера выбранных строк совпадают с номерами столбцов.
Пусть P (р) -характеристический многочлен матрицы Dfmk L (sk). Он имеет вид
P (Р) =? Pj (k)p'-
3-i
где
Po (k) = -1, P1(k)=TrDfmk L (sk),
P2(k) = E oi (k), P3(k) =detDfmkL (sk). i=1
С другой стороны, P (р) можно представить как
3
P (р) = -П (Р — Pi (k)),
i=1
где Рг (к), г = 1, 2, 3 — корни характеристического многочлена. Из условий (13) имеем
Р1 (к) = Р1(к)+ Р2(к)+ рз (к),
Р2(к) = Р1 (к)р2(к) — р1(к)рз (к) — р2(к)рз (к),
Р3(к) = р1(к)р2 (к)рз (к).
Выберем положительную величину 7, удовлетворяющую следующему неравенству:
2 1п ^ + 1п Л& quot-
0 & lt- y & lt- min
а — 1, --
3 1п ^
Из результатов работы [7] следует, что для фиксированной величины 7 существует положительное значение Т такое, что
|р"(к)| & lt-, г = 1, 2, 3- (14)
последние неравенства справедливы при достаточно больших номерах к.
Известно, что характеристические показатели периодических точек вк диффеоморфизма / определяются как ^?(к) = (^+тк)-1 1п |р^(к)|, г = 1, 2, 3, откуда с учетом (14) получим
^?(к) & lt- (^ + тк)-1(1пТ — 7тк 1п& lt- -0. 57 1пг = 1, 2, 3-
последние неравенства справедливы для всех номеров к, начиная с некоторого номера.
Теорема доказана.
Литература
1. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 8. С. 1411−1419.
2. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической точкой // Доклады академии наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144−147.
3. Newhouse Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9−18.
4. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса C1 // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 20−26.
5. Васильева Е. В. Гладкие диффеоморфизмы плоскости с устойчивыми периодическими точками, лежащими в окрестности гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1355−1360.
6. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.
7. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 3−13.
Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой