О Великой теореме Ферма

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 510. 6
О ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЕ ФЕРМА
Сибгатуллин Э. С.
Камский государственный политехнический институт
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, 1601−1665). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.
Сделана очередная попытка доказательства теоремы Ферма (Pierre de Fermat, l6Gl-l663). Для этой цели использованы теория неравенств, бином Ньютона, принцип доказательства по методу математической индукции. Аксиома индукции использована нетрадиционным образом.
Теорема Ферма утверждает, что уравнение xn
nn
+ y = z невозможно при целых положительных значениях x, y, z, если n& gt-2 [4].
Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма и имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить [4]. Простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств [2]. Сам Ферма оставил доказательство этой теоремы для четвертых степеней. Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 2G лет- и для n=3. Куммер доказал эту теорему для некоторого класса простых показателей n. Как отмечено в [2], в настоящее время справедливость Великой теоремы Ферма проверена для всех показателей меньше 33GG. Ниже приведен вариант простого доказательства этой теоремы- автор надеется, что этот вариант имеет оригинальный и общий характер.
Пусть a, b, c, n — натуральные числа, x& gt-G -целое число. Для определенности примем, что a& lt-b.
Содержание Великой теоремы Ферма (ап+Ьпфсп при п& gt-2) запишем в виде следующих неравенств:
(Ь+х) п& lt-ап+Ьп<- (Ь+х+1) п, п& gt-2. (1)
Здесь
п]ап + Ьп — Ь -1 & lt- х & lt- п]ап + Ьп — Ь.
В результате вычислительных экспериментов замечено, что:
— зависимости х=х (а, Ь, п) в виде одного уравнения не существует-
— для заданного значения п при достаточно большом значении разности (Ь-а) значение х равняется нулю-
— для заданных значений, а и Ь при достаточно большом значении п значение х равняется нулю.
Исходя из вышеприведенных замечаний, рассмотрим частный случай неравенств (1): Ьп& lt-ап+Ьп<-(Ь+1)п. (2)
Вместо (2) можно рассмотреть следующие неравенства:
Ьп& lt-ап+Ьп<-2Ьп & lt-(Ь+1) п. (3)
Справедливость первого и второго неравенств из (3) не вызывает сомнений. Рассмотрим третье неравенство из (3):
2Ьп & lt-(Ь+1) п. (4)
Используя формулу бинома Ньютона [1], (4) запишем в виде:
2Ьп & lt-Ьп +пЬп-1 +0,5п (п-1)Ьп-2 +… +1.
Это неравенство можно представить в следующем виде:
Ьп-1(Ь-п) & lt-0,5п (п-1)Ьп-2 +… +1. (5)
Правая часть неравенства (5) всегда больше нуля. Поэтому, при выполнении условия п& gt-Ь неравенство (5) всегда имеет место. Следовательно, при выполнении условий: п& gt-Ь>-а (6)
неравенства (2) всегда выполняются. Тем самым мы убеждаемся в справедливости теоремы Ферма для произвольных чисел, удовлетворяющих условиям (6).
Интересно отметить, что выполнение условий (6) обеспечивает справедливость теоремы
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 2 2666
Ферма и при п=2- при п=1 в (5) мы выходим из множества натуральных чисел.
Обратимся к принципу доказательства по методу полной (математической) индукции [1].
Пусть А (п) — зависящее от п^ N утверждение (N-множество натуральных чисел). Если доказано, что:
а) А (п0у)выполняется-
б) при условии, что А (п) справедливо для некоторого п, верно также А (п+1) (шаг индукции), то А (п)справедливо для всех п^ N, п& gt-п0.
В рассматриваемом здесь случае А (п) — утверждение о справедливости теоремы Ферма. Для случая п0=3 это теорема доказана Эйлером- для произвольных п, п+1,… ,<-«, удовлетворяющих условиям (6), доказательство теоремы Ферма приведено выше. Учитывая достаточно произвольный характер п, п+1, удовлетворяющих ус-
ловиям (6), на основе аксиомы индукции можно утверждать, на наш взгляд, что теорема Ферма верна и для всех п^ N, п& gt-3.
Основное содержание этой работы депонировано в ВИНИТИ [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с.
2. Самин Д. К. Сто великих ученых. — М.: Вече, 2003. — 592 с.
3. Сибгатуллин Э. С. К доказательству теоремы Ферма. М., 2005. Деп. в ВИНИ-
ТИ, 09. 11. 2005. № 1447 — В2005. — 3 с.
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: Наука, 1990. — 256 с.
ABOUT THE GREAT THEOREM THE FERMAT
Sibgatullin E.S.
Kama state polytechnic institute
The regular attempt of the proof of the theorem Pierre de Fermat (1601−1665) is made. For this purpose the theory of inequalities, a binomial theorem, a principle of the proof on a method of a mathematical induction are used. The axiom of induction is used in a different way.
СОВРЕМЕННЫЕ НАУКОЕМКИЕ ТЕХНОЛОГИИ № 2 2GG6

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой