Адаптивное субоптимальное управление дискретным объектом

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ
УДК 622. 7:053. 4
Н. Г. Ковырев, В.И. Удовицкий
АДАПТИВНОЕ СУБОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫМ ОБЪЕКТОМ
Решение вопросов автоматизации управления в различных сферах человеческой деятельности требует применения современных алгоритмов и технических средств их реализации. На практике часто трудно обеспечить достаточно точное математическое описание объекта управления и точное знание всех необходимых величин, более того, характеристики объекта в процессе функционирования могут значительно изменяться [1]. Так, например, при разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами в химической промышленности, в углеобогащении, в металлургии создание адекватной математической модели представляет обычно сложную самостоятельную задачу. В этих случаях традиционные методы часто оказываются либо неприменимыми, либо дают плохие результаты.
В связи с этим перспективным представляется путь построения управляющих систем, не требующих полного априорного знания объекта управления и условий его функционирования. Управляющая система должна автоматически отыскивать нужный закон управления посредством анализа поведения объекта при текущем управлении. Такие управляющие системы принято называть адаптивными [2]. Синтез адаптивного управления начинается с постановки цели управления. Идеальной целью управления было бы построение оптимального управления, доставляющим экстремум функционалу качества. Однако заранее ясно, что вряд ли такая цель достижима за конечное время, ибо оптимальный регулятор зависит от неизвестных параметров. Поэтому на практике часто ставится более скромная, но близкая цель управления — построение субоптимального управления [2]. Последнее означает, что задается некоторый близкий к единице «уровень оптимальности» р (0& lt- р& lt- 1) и для построения (субоптимального с уровнем р управления значение функционала качества будет «немного», именно не более, чем в р1 раз, хуже оптимального (оптимальному управлению соответствует р=1).
В теории автоматических систем широко представлен класс решений оптимальных систем для объектов, которые описываются дифференциальными уравнениями в непрерывном виде. В
тоже время имеется много процессов, которые имеют дискретный характер описания и, даже если объект описывается непрерывным уравнением, а управление предполагается осуществить с помощью цифровой ЭВМ, возникает необходимость использования теории дискретных систем управления. За последние тридцать лет увеличилось общее число цифровых систем управления, используемых в промышленности. Благодаря наличию быстродействующих, недорогих и миниатюрных микропроцессоров появилась возможность автоматизировать многие производственные процессы, используя компьютер непосредственно в контуре системы управления. Цифровое управление имеет ряд преимуществ [3], куда относятся: повышенная точность измерений, использование цифровых сигналов датчиков и преобразователей, меньшая чувствительность к шумам и помехам, возможность легко изменять алгоритм управления.
В работе [4] авторы предложили метод синтеза оптимальных систем при известных параметрах объекта. Введением в функционал качества первой разности функции Ляпунова при решении оптимизационной задачи они доказали теорему об устойчивости системы управления при выполнении условия отрицательности функционала при U (xn, n) = Uonm (xn, n) V x".
В работе [5] функция Ляпунова априорно не выбирается, а является параметром проектирования цифрового регулятора. Решение получено в общем виде для детерминированного случая. Основываясь на этих результатах, предлагается распространение на случай объектов с параметрической неопределенностью, когда параметры объекта неизвестны.
Постановка задачи. Объект описывается линейным векторно-разностным уравнением
Xs+1 = AXS + bus (1)
которое можно представить в виде:
Xs+1 & amp- X + bus + (А — & amp- s+1) Xs & amp- s+1 — & amp- s) Xs
(2)
где XsGMn — вектор состояния, А — матрица
(пап) неизвестных параметров, & amp-s — матрица на-
страиваемых параметров и^ Я1 -управление.
Требуется найти управление ив, удовлетво ряющее условию:
.2, Т
min {ЛV +гих +хз Изхз} & lt-0
(3)
где ^ V — первая разность функции Ляпунова, вычисляемая вдоль траектории системы, которая состоит из известной части и пока неизвестной:
V 4 =?* +? (а1-а)Т (М +20) (а1-а) (4)
i=1
где, а Я —я строка матрицы настраиваемых параметров на шаге я,
М, Gs, Н — положительно определенные матрицы, г — коэффициент, отражающий затраты
на управление.
СИНТЕЗ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ. По аналогии с [6], для уравнения (1) и функционала
(3) имеем следующее функциональное неравенство:
тт {хТ НХя + ги2 + | | (ад + Ьия)
дх
+ [КЇ (А- а+і)Х+0.5 (а+і-а) Г^
дх) у дх2
(аз+1 — а) +
д?_
дх
(а+1 — а)+2(а1-а1−1+1)т
0+1 (а-а+1) — 2^ (а-аЗ)Т Сз (а1-аз+1) +
(а1 — ос1^)1 Mз+і(а-а]+1) —
Вектор состояния объекта
1=1
Управление
Настройка параметров объекта
(а1 -а) т М (а-а) & lt- 0
(5) откуда для матрицы М+ получаем следующий
Проведя ряд преобразований, направленных алгори™ выб°ра
(7)
на избавление от неизвестных параметров объекта, и выбрав алгоритм настройки параметров в виде:
0?1 = } + (Хз+1 — Хз) ¦ ^} /хТ Хз (6)
и выбрав матрицу
0+1 = 0.5 (дУ
(дх2
получаем промежуточное неравенство
тіп { хТИхз + гм2 + | | Ьи3 + 0. 5(аіХі)Т
и5 У дх)
(ах) +1.5 Ї Т) + [- (0& gt-, + Ьи*)]т ¦
У дх) (дх)
+11 ¦ хЧ
(М 5+1 + 2
(д2У Ї
дх2
+ 2. 5Т) ¦[- (аххх + Ъщ)]
? (аі - а 3) т (М з+1- М з + 2 0. +1- 208)
(а1 — а Я)} & lt- 0 (8)
где а, =а, — I, в котором присутствуют члены с
неизвестными параметрами объекта. Чтобы избавиться от этого необходимо выполнить условие
(М ,+1 — М ,+ 2 0+1- 2 0,) (а — а) =0 (9)
где
М 3+1 = Мз+1 Х*Х3' М
: Мз Хз-1 Хз-1
+ 1=М3Х3−1Х3−1 2(0.3 +1 0. 3) (10)
Т
Х3Х3
Дифференцируя (8) по и, получаем функциональное уравнение
2ги +2ЬтСЬи3+ Г-1 Ь+2(а х) т СЬ = 0(11)
дх)
где
С=(Мз+1 + 2
(д 2У Ї
(дх 2)
Разрешая уравнение (11) относительно и получаем алгоритм регулятора в виде:
из
1
--(г + ЪТСЪ) -1 [ Ё^ Ъ+ 2ЪТ С а* хб]
2 (8х)
(12)
Подставляя (12) в (8), получаем функциональное неравенство в замкнутой форме:
xтsHxs + 0. 25г{ (г +ЪТСЪ) -х [ Ю Ъ + 2ЪТ
8х,
Са, хЛТ (г + ЪТСЪ)-1 [ ^8^Ъ + 2ЪТ Са, х,] - Ъ (г+ЪТСЪ)-1
[8х~)Ъ+2ЪТ Са*х*] + 2(а*х*)Т аЛ +
г=1
Данные моделирования
№ иі XI Х2 Х3 (а-а)1 (а-а)2 (а-а)3
0 -0,423 1 0,9 1,2 0 0 0
1 -0,592 0,9 1,2 0,702 -0,1 0,3 -0,498
2 -0,604 1,2 0,702 0,423 0,3 -0,498 -0,279
3 -0,761 0,702 0,423 0,731 -0,5 -0,279 0,308
4 -0,454 0,423 0,731 0,025 -0,28 0,308 -0,706
5 -0,318 0,731 0,025 0,023 0,31 -0,706 -0,002
6 -0,299 0,025 0,023 0,487 -0,71 -0,002 0,464
7 -0,083 0,023 0,487 -0,266 0 0,464 -0,753
8 -0,169 0,487 -0,266 -0,053 0,46 -0,753 0,213
9 0,038 -0,266 -0,053 0,362 -0,75 0,213 0,415
10 0,041 -0,053 0,362 -0,252 0,21 0,415 -0,614
11 -0,226 0,362 -0,252 -0,015 0,42 -0,614 0,237
12 0,158 -0,252 -0,015 0,169 -0,61 0,237 0,184
13 0,025 -0,015 0,169 -0,117 0,24 0,184 -0,286
14 -0,144 0,169 -0,117 0,01 0,18 -0,286 0,127
15 0,1 -0,117 0,01 0,04 -0,29 0,127 0,03
16 -0,006 0,01 0,04 -0,029 0,13 0,03 -0,069
17 -0,039 0,04 -0,029 0,005 0,03 -0,069 0,034
18 0,028 -0,029 0,005 0,005 -0,07 0,034 -0,001
19 -0,005 0,005 0,005 -0,004 0,03 -0,001 -0,008
20 -0,005 0,005 -0,004 0,001 0 -0,008 0,004
21 0,004 -0,004 0,001 0 -0,01 0,004 -0,001
22 -0,001 0,001 0 0 0 -0,001 0
1(?)'- К) + а---1& quot-+Ь^Ь>--
[ дРЬ+2Ьтс0- х]}т С{0- х3−1 (г +
апроксимация в виде квадратичной формы У (х)= х-тР-Х-, где параметры квадратичной формы Р5 находятся с помощью матричного неравенства типа Рик-кати.
По разработанному алгоритму регулятора было проведено компьютерное моделирование. В качестве объекта рассматривается трехмерный объект с одним неустойчивым корнем
0 1
А =
0
1
0. 01
0 0
1.1 0. 015
Начальные значения матрицы страиваемых параметров имеют вид:
1 1 0 & quot-
а, = 0 1 1
0. 02 0. 005 1. 01
Матрица Н и Q соответственно:
И =
на-
Я =
0. 01 0 1
0 0 1
0.1 0.2 0. 3
20 0 0 & quot-
0 100 0
0 0 1200
IV ¦ А* IV Л II ^ Л-
{ 8х) * * 2
ЪТСЪ)-1 [{^^ Ъ+2ЪТ Са* х*]} & lt- 0 (13)
Одним из решений этого неравенства является
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Управление применяется скалярное (выбором вектора Ъ): Ъ=[0 0 1].
Результаты моделирования приведены в таблице.
Предложена структура адаптивного регулятора, обеспечивающего устойчивость дискретной системы. Результаты моделирования показали работоспособность разработанного регулятора.
1. Р. Дорф, Р. Бишоп. Современные системы управления. -М: «Юнимедиастайл», 2002.
2. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. Я. Адаптивное управление динамическими объектами. -М: & quot-Наука"-, 1981.
3. Г. Оллсон, Дж. Пиани Цифровые системы автоматизации и управления. -Санкт-Петербург: «Невский диалект», 2001.
4. Кунцевич В. М. Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. -М: & quot-Наука"-, 1977.
5. Крутько П. Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. -М: Советское радио, 1967.
6. Ковырев Н. Г., Плишке Н. А. Синтез дискретных адаптивных систем оптимальных относительно локального критерия. В кн.: Адаптивные и самоорганизующиеся системы управления. Бишкек: Илим, 1992.
? Авторы статьи:
Ковырев Удовицкий
Николай Григорьевич Владимир Иванович
— начальник отдела АСУ ЦОФ — докт. техн. наук, проф. каф. обога-
«Кузбасская» щения полезных ископаемых

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой