Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008
Управление, вычислительная техника и информатика
№ 3(4)
УДК 681. 5
В. И. Смагин, С.В. Смагин
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ И ТРАНСПОРТНЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЙ
Рассматривается алгоритм синтеза локально-оптимальной системы управления запасами при неполной информации о модели спроса и с учетом ограничений и транспортных запаздываний.
Ключевые слова: управление запасами, адаптация, дискретная модель, система с запаздыванием.
Теория следящих систем применяется в задачах управления запасами в работах [1 — 4]. В настоящей работе для определения поставок на склад используются метод локально-оптимального слежения [5] и метод адаптации и прогноза на основе калмановской фильтрации и экстраполяции. Управление запасами осуществляется с учетом ограничений на транспортные средства и с учетом запаздываний, при этом осуществляется минимизации издержек на хранение товара.
где х (к) є Я& quot- - вектор количества продукта на складе в к-й такт (х,(к) — количество товаров г-й номенклатуры), и (к — к) є Ят — вектор заказа на поставки (и, — количество заказанного товара г-й номенклатуры), к — количество тактов транспортного запаздывания, я (к) є Я& quot- - вектор спроса в к-м такте (яі(к) — спрос на товар г-й номенклатуры), х0 и у (/) (/= -к, -к+1,…, -1) — заданные векторы. Матрицы, А и В определяются характеристиками и структурой склада.
Оптимизируемый локальный критерий имеет вид
где С & gt- 0, О & gt- 0 — весовые матрицы, г — заданный отслеживаемый вектор, «Т» -операция транспонирования. В этом разделе будем предполагать, что все компоненты вектора х (к) и, у (к) измеряются точно.
Вычислим значения критерия (2):
1. Управление запасами при точном измерении спроса
Пусть модель склада описывается дискретным уравнением:
х (к +1) = Ах (к) + Ви (к — И) —, у (к), х (0) = х0, и (у) = у (/'-), у = -к, — к +1,… ,-1,
(1)
I (к) = (х (к +1) — 2) т С (х (к +1) — 2) + ит (к — И) йи (к — И),
(2)
I (к) = ит (к — И)(Б1 СВ + П) и (к — И) + ит (к — Н) БТС (Ах (к) — $(к) — 2) + + (Ах (к) — $(к) — 2) т СВи (к — И).
------= 0.
йи (к — И)
(3)
Тогда, в силу (3), получим уравнение
(Б1 СВ + Б) и (к — И) + ВТС (Ах (к) — я (к) — 2) = 0.
Выражая u (k — К) из (4), управление будет следующим:
ы (к — И) = -(ВТСВ + Б)-1 ВТС (Лх (к) — я (к) — г). (5)
Учитывая (1), имеем следующие равенства
х (к) = Ах (к -1) + Ви (к — к -1) — я (к -1), х (к -1) = Ах (к — 2) + Ви (к — к — 2) — я (к — 2),
х (к — к +1) = Ах (к — к) + Ви (к — 2к) — х (к — к). (6)
Тогда, учитывая (6), локально-оптимальное управление (5) представляется в виде и (к — к) = -(В1 СВ + В)-1 ВТС (Ак+1 х (к — к) +
+? А Ви (к — к — 0 —? А1 s (k -1) — г). (7)
/=1 /=0
Отметим, что управление (7) формируется в момент времени к — К и для его реализации необходимо знать состояние склада х (к — К), спроса я (к — К) и прошлые значения управлений и (к — К — г), а также необходимо осуществлять прогноз спроса для моментов времени к, к — 1,…, к — К + 1.
2. Управление запасами при косвенных наблюдениях
В этом случае дополнительно введем модель спроса:
я (к +1) = Л?(к) + г + д (к), ^(0) = s0, (8)
где Я — постоянная матрица размерности п х п, г — постоянный вектор, д (к) — случайное возмущение. Предполагается, что имеются косвенные наблюдения за вектором спроса:
^(к) = Д?(к) + т (к), (9)
где м& gt-(к) е Ят — вектор наблюдений- Н — да^п-матрица- т (к) — случайные ошибки
наблюдений- д (к), т (к) — независимые гауссовские случайные последовательности с характеристиками
М{д (к)} = 0, М{т (к)} = 0, М{д (к) /(/)} = 65*У, М{т (к) тТ (/)}= 75″, (10)
где М{} - математическое ожидание.
Так как в постановке задачи этого раздела вектор я (к) контролируется с ошибками (см. (9)), то управление (7) можно, используя оцениватели, реализовать в виде и (к — к) = -(Вт СВ + В)-1 Вт С (Ай+1х (к — к) +
+? Аг'-Ви* (к — к — 0 — А% (к — к) —? Аг, ур (к — 0 — г), (11)
I=1 /=0
где ^ (к — к) — оценка фильтрации, которая определяется с помощью алгоритма оптимальной калмановской фильтрации [6]:
(к — к) = Я${ (к — к -1) + г + К{ (к — К) М, к — к) — Н (Я^- (к — к -1) + г)],
sf (0) = - (12)
К (к — к) = Р (к — к / к — к -1)Нт (НР (к — к / к — к -1)Нт + Т)-1- (13)
Р (к — к/к-к -1) = ЯР (к — к-1)ЯТ + д — (14)
Р (к — к) = (Е — Кг (к — к) И)Р (к — к / к — к -1), Р (0) = Р0, (15)
где Е — единичная матрица соответствующей размерности. Фильтр (12) использует информацию, поступившую из канала измерений в момент к — к. В (11) требуется вычислять также оценки и в моменты большие, чем к — к (оценки прогноза), поэтому здесь необходимо воспользоваться экстраполятором, который позволит вычислить оценку спроса с прогнозом на 1 такт ,?р (к — к +1):
?р (к — к +1) = Я$р (к — к) + г + Кр (к — к)(м& gt-(к — к) — Жр (к — к)),
. ?р (0) = 50- (16)
Кр (к — к) = ЯРр (к — к) Нт (НРр (к — к) Нт + Т)-1- (17) Рр (к — к+1)=(Я — Кр (к — к) Н) Рр (к — й)(Я — Кр (к — к) Н) т +е+Кр (к — к) ГКрт (к — к) ,
Рр (0) = Ро, (1)
а оценки прогнозов для тактов у = 2,., к-1 определятся по формулам
р (к — к + у) = Л? р (к — к + у -1) + г. (19)
3. Адаптация в задаче управления запасами
В этом случае будем предполагать, что модель спроса содержит неизвестные параметры:
^(к +1) = Л (0). ?(к) + г (0) + д (к), (20)
где 0 — неизвестный постоянный вектор, Л (0) — матрица, линейно зависящая от
компонент вектора 0, г (0) — вектор, линейно зависящий от 0. Предполагается,
что имеется следующая априорная информация о векторе 0:
М{0} = 0о, М{(0−00)(0−0о)Т} = Р0О.
Адаптация закона управления осуществляется по принципу разделения, который в нашем случае состоит из следующих этапов:
— построение закона управления по локальному критерию в предположении, что параметры 0 в модели (20) известны точно (закон управления имеет вид (11)) —
— оценивание неизвестных параметров (идентификация) —
— формирование закона адаптивного управления иа (к) вида (11), которое осуществляется путем замены в (12), (14), (16) — (19) точных значений параметров на их оценки.
Так как параметры являются неизвестными константами, то их динамическая модель имеет вид
0(к) = 0(к -1). (21)
Для идентификации будем использовать оптимальный дискретный фильтр Калмана. Учитывая модель косвенных наблюдений (9), получим модель измерений в текущий момент времени к — к в следующем виде:
ц& gt-(к — к) = Ш (к — к) + т (к — к). (2)
Тогда, учитывая (8), имеем
ц& gt-(к — к) = #Л (0). ?(к — к -1) + Нг (0) + Ид (к — к -1) + т (к — к). (23)
Представим (23) в линейном относительно 0 векторно-матричном виде:
^& gt-(к — к) = G (я (к — к -1))0 + g (я (к — к -1)) + Нд (к — к -1) + т (к — к), (24)
где G — матрица и g — вектор.
Учитывая (21), (24), рекуррентные уравнения, осуществляющие оценивание неизвестных параметров 0, представим в виде
0(к — к) = 0(к — к -1) + К0 (к — к)(^(к — к) — О0(к — к -1) — ?), 0(0) = 0О — (25)
К0 (к — к) = Р0 (к — к)0т (СРв (к — к)0т + идит + Т)-1- (26)
Р (к — к +1) = (Е — К (к — к)Є)р (к — к), р (0) = Р6о. (27)
где в = 0(${ (к — к -1)),? = g (^ (к — к -1)).
Уравнения, используемые для вычисления оценок и прогноза (12) — (19), в этом случае будут иметь следующий вид:
яї (к — к) = яї (к — к -1) + г + Кї (к — к)^(к — к) — И (к$ї (к — к -1) + г)],
sf (0) = - (28)
К (к — к) = Р (к — к / к — к -1)Нт (НР (к — к / к — к -1)Нт + Т)-1- (29)
Р (к — к/к-к -1) = КР (к — к-1)Ят + д — (30)
Р (к — к) = (Е — К{ (к — к) И)Р (к — к / к — к -1), Р (0) = Р0. (31)
?р (к — к +1) = тЦ, (к — к) + г + Кр (к — И)(^& gt-(к — к) — Жр (к — к)), ?р (0) = 5о- (32)
Кр (к — к) = ДРр (к — к) Нт (НРр (к — к) Нт + Т)-1- (33)
Рр (к — к+1) = (7 — Кр (к — к) Н)Ррт (к — АХ 77 — Кр (к — к) Н)т + Є+Кр (к — к) ТКрТ (к — к),
Рр (0) = Р. (34)
?р (к — А + у) = Л? р (к — А + у -1) + Г1, у = 2,…, А-1, (35)
где 7 = ^(0(к — А)), г = г (0(к — к)).
4. Учет транспортных ограничений
Вектор поставок будем определять с учетом транспортных ограничений следующего вида (для поставок используется одно транспортное средство грузоподъемности Єшах):
«а (к), если Стіп & lt- 0{иа (к)) & lt- Ст3х ,
«а (к) = & lt- 0, если °(иа (к)) & lt- (36)
иа (к)/ а (к), если 0(иа (к)) & gt- Стах •
П
Здесь С (ыа (к)) = X Ріиа,і (к) — вес перевозимого груза (р — вес единицы товара
і= 1
г-й номенклатуры) — ма (к) — вектор поставок, построенный на основе принципа
разделения- Ошіп = КгОшЛХ (Кг — коэффициент использования грузоподъемности транспортного средства) — а (к) = Отах / О (иа (к)).
Издержки на хранение товара на заданном скользящем временном отрезке [к, к+Т] определяются по формуле
где С, — стоимость хранения единицы товара г-й номенклатуры в единицу времени, wi — страховой запас для товара г-й номенклатуры.
Минимизация критерия (37) при ограничениях (38) осуществляется по вектору 2, при этом на каждом шаге пересчитываются иа (к). Найденное значение вектора г, обеспечивает минимальные издержки на временном интервале от к до к+Т и, в результате выполнения ограничений (36), обеспечивает также высокую загруженность транспортного средства в соответствии с заданным коэффициентом Кг. По найденному вектору 2 определяется объем поставок иа (к+Т+1), и далее, по аналогии, решается задача минимизация критерия Зизд (2, к +1), при ограничениях (38)
(V к є [к +1, к + Т +1]) и определяется новый вектор 2*, который используется для определения поставок в момент времени к+Т+2, и так далее.
Моделирование системы управления запасами выполнено для двухноменклатурного склада с использованием пакета МаШЬ 7.5.
Исходные данные при моделировании были следующими:
где к =0,001, к2 =0,0005 — коэффициенты потерь. В модели спроса использовались следующие истинные значения параметров 01 = 2,6, 02 = 2,5. На рис. 1 — 6 приведены результаты, полученные при оптимизации критерия (37) при ограничениях (38).
5. Минимизация издержек на хранение товаров
п к+Т
(37)
і=1 і=к
При этом должны выполняться ограничения
хі(к) & gt- wi, Vк є к, к + Т], г = 1 ,…, п,
(38)
6. Моделирование адаптивной системы управления запасами
к = 1, Т = 50, 0Шах = 150, Кт = 0,8, Сі = 1,5, Сг = 2,5, Wl = 6, Wl = 12,
На рис. 1 показано изменение количества каждого вида товара х1, х2. Как видно из рис. 1, количество товара постоянно меняется за счет изменения спроса и пополнения запасов.
Рис. 1
На рис. 2 приведены оценки параметров модели спроса (сплошная линия), пунктирными линиями обозначены истинные значения параметров.
Рис. 2
На рис. 3 приведены графики изменения спроса (сплошная линия) и оценки фильтрации спроса (пунктирная линия).
Рис. 3
На рис. 4 приведены графики изменения спроса (сплошная линия) и оценки прогноза спроса на один такт (пунктирная линия).
Рис. 4
На рис. 5 показаны реализации поставок товаров на склад.
50
40
20
к 0 Рис. 5
20 40
На рис. 6 показаны в виде столбиковой диаграммы вес каждой поставки.
Рис. 6
Как видно из рисунка, в результате выполнения ограничений вида (36) в течение 50 тактов реализовано 9 поставок, при этом вес каждой поставки находится в пределах между Отіп и ОтЛХ, обеспечивая коэффициент использования грузоподъемности транспортного средства не хуже заданного Кг. При этом был определен
и
и
Е. 2
вектор 2*, минимизирующий критерий (37) с ограничениями (38). Оптимальный вектор
ЛИТЕРАТУРА
1. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. М: Наука, 1975. 616 с.
2. Лотоцкий В. А. Управление запасами при частично наблюдаемом спросе // Статистические методы теории управления. М.: Наука, 1978. С. 222 — 224.
3. Лотоцкий В. А., Мандель А. С. Модели и методы управления запасами. М.: Наука, 1991. 189 с.
4. Смагин В. И., Смагин С. В. Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 244 — 246.
5. Смагин В. И., Параев Ю. И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. 171 с.
6. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана — Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 10 января 2008 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой