Моделирование нестационарного процесса теплопроводности в составном цилиндре при локальном периодическом тепловом воздействии

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 536. 2
О. Ю. Чигирева
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СОСТАВНОМ ЦИЛИНДРЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Предложена математическая модель нестационарного процесса теплопроводности в составном цилиндре при локальном периодическом тепловом воздействии на его торцевую поверхность. Разработан алгоритм расчета нестационарного температурного поля, учитывающий зависимость теплофизических свойств материалов от температуры, а также условие неидеального теплового контакта между слоями. Приведен пример численного расчета.
E-mail: k_fn12@bmstu. ru
Ключевые слова: математическая модель, нестационарный процесс теплопроводности, цилиндр, локальное периодическое тепловое воздействие, температурное поле, неидеальный тепловой контакт.
Применение лазерных технологий в современном машиностроении получило широкое распространение [1], в связи с чем особый интерес представляет исследование процессов теплопереноса в многослойных конструкциях, поверхности которых подвержены локальному интенсивному периодическому тепловому воздействию [2, 3].
Постановка задачи и математическая модель процесса. Рассматривается нестационарный процесс теплопроводности в цилиндре радиусом г0, состоящем из двух слоев толщиной d и Н (рис. 1). Разогрев составного цилиндра осуществляется осесимметричным круговым (0 ^ г ^ г*) локальным периодическим источником теплоты, действующим на нижнем основании цилиндра, с плотностью теплового потока
nr

q (r, t) = qo (1 + cos — J ¦ f] (t), t & gt- 0, 0 & lt- r & lt- r*,
Рис. 1. Осевое сечение составного цилиндра
Рис. 2. График функции г/О
где г* - радиус пятна теплового контакта- п (?) — ступенчатая периодическая функция с периодом по времени равным (рис. 2). Кроме того, на нижнем основании цилиндра вне зоны воздействия источника теплоты, происходит теплообмен излучением. Верхнее основание цилиндра охлаждается внешней средой по закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи а. Боковая поверхность цилиндра теплоизолирована. В начальный момент времени температура составного цилиндра постоянна и равна температуре внешней среды Тс. Предполагается, что тепловой контакт между слоями цилиндра является неидеальным [4], а теплофизические свойства материалов слоев зависят от температуры.
Математическая модель рассматриваемого нестационарного процесса теплопроводности имеет вид
/ГТ1 dTi 1 d Л /ГТ1, дТЛ d Л /ГТ1, dTi
& lt-T) & quot-дГ = rsr (Al & lt-T)r-w) + & amp-(Ai & lt-T) & quot-z
t & gt- 0, 0 & lt- r & lt- r0, 0 & lt- z & lt- d-
& quot-T2 1 д / дТ2
р2С2 & lt-T2) Ж = ГдГ A2 & lt-T2)
д / дТ2
+ д* A2 & lt-T2) & quot-T
-Ai & lt-Ti) -A2 & lt-T2)
t& gt- 0, 0 & lt- r & lt- r0, d & lt- z & lt- d + h- Ti & lt-r, z, 0) = Tc, 0 & lt- r & lt- ro, 0 & lt- z & lt- d- T2 & lt-r, z, 0) = Tc, 0 & lt- r & lt- ro, d & lt- z & lt- d + h- q & lt-r, t), t& gt- 0, 0 & lt- r & lt- r, —
& quot-Ti I
dz z=0 1
дТ2
dz z=d+h
dTi
dr r
dT2
dr r=r
ae & lt-T4 — T4 & lt-r, 0, t)), t & gt- 0, r, & lt- r & lt- ro-
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
= a (T2 (r, d + h, t) — Ta), t & gt- 0, 0 & lt- r & lt- ro- (6) = 0, t & gt- 0, 0 & lt- z & lt- d- (7)
(8)
r=ro
= 0, t& gt- 0, d & lt- z & lt- d + h-
— Л! (Ц)
dz
= -(Т (r, d, t) — T2 (r, d, t)) =
л —
z=d
— Л (T) dT2 -Л2 (T2) oz
, г & gt- о, о & lt- г & lt- г0. (9)
Здесь приняты следующие обозначения: значения индекса 3 = 1 и 3 = 2 соответствуют слоям 1 и 2 составного цилиндра- Т (г, г, г) — искомые температурные поля- р, с и Л — плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно- а — постоянная Стефана-Больцмана- е — степень черноты излучающей поверхности- Я — термическое сопротивление на поверхности контакта.
Построение алгоритма приближенного решения. Для нахождения приближенного аналитического решения задачи (1)-(9) воспользуемся модификацией [5] метода, предложенного в работах [6,7]. Умножим обе части уравнений (1) и (2) на г и введем функции
Оз (Тз, г) = РзгС (Тз), Лз (Тз, г) = гЛз (Тз), 3 = 1, 2. Тогда уравнения (1) и (2) можно записать в виде дт1
Ог (Тг, г) = а1у (Л1 (Тг, г) gradТг), г & gt- 0, 0 & lt- г & lt- г0, 0 & lt- г & lt- d-
г (10) -т2
О2 (т2,г) ^ = div (Л2 (Т2,г) gradТ2),
г & gt- 0, 0 & lt- г & lt- г0, d & lt- г & lt- d + Н, (11)
где операции div и grad следует рассматривать как операции в прямоугольной декартовой системе координат (г, г).
Проведем дискретизацию временной переменной г системой точек = кт, к = 1, 2,… с достаточно малым шагом т & gt- 0 и заменим в уравнениях (10), (11) производные по времени конечно-разностными отношениями
OTj T (r, z) — (r, z)
k = 1, 2,…, j = 1, 2,
-г т
где Т^ (г, г) — приближенные значения функций Тз (г, г, г) при г = Следует отметить, что согласно начальным условиям (3) и
(4) Т (0) (г, г) = Тс.
Полагая на каждом временном слое г = все нелинейности известными, вычисленными на предыдущем временном слое г = г, обозначим
ОГ (г, г) = Оз (т**-4 (г, г), г), Л$й) (г, г) = Лз (т**-4 (г, г), г), 3 = 1, 2-
д (к) (г) = q (г, ?к).
Кроме того, на каждом временном слое? = тепловые потоки в граничных условиях (5), (6) и условии сопряжения (9) вычислим, используя функции Т. (к 1) (г, г), найденные на временном слое? = ?к-1:
rq (k) ®, 0 ^ r ^ r,
& lt-r) =
aer (T4 —
T (k-i) (r, 0) Q2k) & lt-r) = ar (Vf-^ & lt-r, d + h) — Tc) — Q0k) ® = R (zf-i) & lt-r, d) — T2k-i) & lt-r, d)).
r, & lt- r & lt- r0-
Это позволяет записать дифференциально-разностный аналог начально-краевой задачи (1)-(9) в виде итерационной схемы (к =
= 1, 2,
решения двух краевых задач для линеиных эллиптических
уравнений с переменными коэффициентами Cj) (r, z), Aj) (r, z): — div (л& lt-к) (r, z) gradT (k) (r, z)) + 1 Cf) (r, z) Tf0 (r, z) =
= 1 Cjk) (r, z) T (k-i) (r, z), 0 & lt- r & lt- r0, 0 & lt- z & lt- d- (12)
T
dTi
(k)
dr
= 0,
dTi
(k)
r=0
dr
= 0, 0 & lt- z & lt- d-
r=ro
-лik) (r, z)
dT (
(k)
dz
= Q ik) ®,
-Л ik) (r, z)
dT (
(k)
dz
z=0 (k)
(13)
(14)
= Q0k) ®, 0 & lt- r & lt- r0-
z=d
— div (Л2к) (r, z) gradT2k) (r, z)) + 1 C2k) (r, z) Tf (r, z) =
= - C2k) (r, z) Tf_i -(r, z), 0 & lt-r<-r0, d & lt- z & lt- d + h- (15) т
— )
dT
(k)
dr
= 0,
dT2(k)
r=0
dr
= 0, d & lt- z & lt- d + h-
r=ro
^ «, & quot-TW
-Л2к) (r, z)
dz
= Q0k) ®,
z=d
(k) _ dT2
(k)
-Л2к) (r, z)
dz
(16)
(17)
= Q2k) ®, 0 & lt- r & lt- r0.
z=d+h
Отметим, что задачи (12)-(14) и (15)-(17) на каждом временном слое t = tk решаются независимо.
На k-м шаге итерации функции T^ (r, z) будем искать в форме разложения в двойные тригонометрические ряды Фурье
X те
j (r z) = Y1 Y1 Ymn^Amn (r, z), j = 1 2,
m=0 n=0
Г 0,5, m = 0-
7mn = 7m7n, 7m =. 0 по полным и ортогональным [5J в
I 1, ^^ & gt- 0,
областях Qj, j = 1, 2, системам функций {Xmn (r, z)}X, n=0:
Xi, mn (r, z) = cos (pmr) cos (vi, nz), Qi = (0,ro) x (0,d) —
X2, mn (r, z) = cos (^mf) cos (v2,n (z — d)), Q2 = (0,ro) x (d, d + h), mn nn nn
гдеm = -, v1, n = ~T, V2, n = ~T.
r0 d h
Для нахождения коэффициентов aj^ этих разложений умножим уравнения (12) и (15) на функции X1ps (r, z) и X2 ps (r, z) соответственно, а затем проинтегрируем полученные соотношения по областям Qi и Q2. С учетом граничных условий (13), (14) и (16), (17) приходим к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов ajmn:
V^ V A (k) Y a (k) — b (k) p — n 1 2 s — n 1 2 1−12
/ j / j Aj, psmn fmnuj, mn — bjj, ps, p — n, 1 2, • ••, s — n, 1, 2, • ••, J — ±, 2 —
те те
1(й) ^ о^ = 6(й)
т=0 п=0
(18)
где
Л00 = т (и и + ^ ^) г +
+ т (итир — (^з ()т-р|, п+в) —3, (т+р,|п_в|)) +
+ (*0 + (*0 + (*0 + (*0 + П3|(|т_р|,|п-в|) + Пз'-|(т+р,|п_в|) + П3& gt-(|т_ р|, п+в) + П3& gt-(т+р, п+в) —
те те
ь (*) = .(*о + ^ ^_г)х
ьз'-, рв = Л 3 + / у / у /тп°31тп л
т=0 п=0
/ (*0 + (*:) + (*0 + (*0 V
П3|(|т_р|,|п_в|) + П3|(т+р,|п_в|) + П3|(|т_р|, п+в) + П3& gt-(т+р, п+в) I —
=8т ((-1)^+г яро+)), /2 ^=8т ((-1)5+г ^+г).
Здесь & lt-3(Р и г/3'-(Р в) — коэффициенты Фурье разложений функций Л^) (г, г) и О ((г, г) соответственно в двойные тригонометрические
ряды по системам функций {Xjips (r, z=0 — ф, к), #Pk) и — коэффициенты Фурье разложений функций Qlk) ®, Q0k) ® и Q2k) ® соответственно в тригонометрические ряды по системе функций
{COS (^pr)}^=0-
Системы вида (18) можно преобразовать [5] к стандартному виду
Е
w=1
=, v =j =12, (19)
~(k) i (k)
где xj w и oj v — одномерные массивы, составленные из элементов
(k) (k) j,(fe) n (fe)
двумерных массивов xjn = Ymna}, mn и соответственно, а D]^ - двумерный массив, составленный из элементов многомерного массива A (k)smn. Для решения бесконечных систем вида (19) применим метод редукции [8, 9], а решения конечных систем, полученных из (19) усечением, могут быть найдены методом квадратных корней [10].
В результате построен алгоритм нахождения приближенного аналитического решения задачи (1)-(9) в форме тригонометрических многочленов
N1 Ni-m
T (r, Z, tk) w ^ Ymn^l^mn COS (^mf) COS (v^Z) —
m=0 n=0 N2 N2-m
T2 (r, Z, tk) ~ X] S
Ymna2, mn COS (^mr) COS (V2,n (Z — d)) ,
m=0 n=0
коэффициенты xjkmn = Ymnajkmn которых находят из конечных систем линейных алгебраических уравнений
Е
jС = С, v = 1,2… M, j = 1,2.
•ш=1
Здесь М, = (Ж, + 1) (Ж, + 2) /2, а значения N определяются согласно оценке Рунге [11].
Выбор шага по временной переменной осуществляется автоматически. Для обеспечения заданной точности решения используется правило двойного пересчета [10].
Результаты численных расчетов. Разработанный алгоритм использован для расчета температурного поля металлического цилиндра (слой 2) высотой к = 20 • 10−3 м, на нижнее основание которого нанесено поглощающее покрытие (слой 1) толщиной d = 0, 5 • 10−3 м [1]. Вычисления проводились при следующих значениях параметров задачи: г0 = 100 • 10−3 м, г, = 10 • 10−3 м, р1 = 3000 кг/м3, р2 = 7780 кг/м3, ТС = 300 К, д0 = 5 • 106 Вт/м2, а = 600 Вт/(м2• К), Л = 5 • 10−4 м2•К/Вт, а = 5,67 • 10−8 Вт/(м2•К4), е = 0,8, Д* = 2 с, * = 1,5 с.
В таблице приведены значения коэффициентов теплопроводности и удельных теплоемкостей материалов слоев составного цилиндра в зависимости от температуры [12].
Теплофизические свойства материалов
T, K 300 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Аь Вт/(м-К) 32 28 20 16 7,5 6,4 5,6 5,4 5,2 5
c1, Дж/(кг-К) 860 875 943 1020 1086 1102 1140 1160 1170 1178
А2, Вт/(м-К) 48 47 41 37 32 23 21 20 — -
С2, Дж/(кг-К) 469 505 521 660 616 577 560 545 — -
На рис. 3 и 4 показана эволюция температуры в разных точках металлического слоя цилиндра. Периодическое внешнее тепловое воздействие приводит к возникновению колебаний температуры во всех точках цилиндра. Следует отметить, что, как и в линейных моделях [13, 14], период колебаний температуры совпадает с периодом воздействия источника теплоты. При удалении точек от источника в глубь материала наблюдается уменьшение амплитуды колебаний и сдвиг фазы колебаний. С момента времени? = 90 с начинается процесс установления колебаний. Максимальный перепад температуры в точке по-
Т, К 1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
1: /л

А 2Л
3




W i
10 12 14 16
t, С
Рис. 3. Эволюция температуры на начальном этапе разогрева (0 & lt- t & lt- 20 е) в
разных точках, лежащих на оси металлического цилиндра:
Н Н
1 — Т2(0, & lt-1,1), 2 — т2(0,й +20,*), 3 — Т2(0, 1 + -, 1)
Рис. 4. Установившиеся колебания температуры в разных точках, лежащих на
оси металлического цилиндра:
Н Н
1 — Т2(0, & lt-1,1), 2 — т2(0,1 +203 — Т2(0, 1 + -
верхностного слоя металла для установившихся колебаний достигает величины 150 К.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григорьянц А. Г., Шиганов И. Н., Мисюров А. И. Технологические процессы лазерной обработки. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.
2. Григорьянц А. Г. Основы лазерной обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1989.
3. Углов А. А., С м у р о в И. Ю., Л, а ш и н А. М., Гуськов А. Г. Моделирование теплофизических процессов импульсного лазерного воздействия на металлы. — М.: Наука, 1991.
4. К, а р т, а ш о в Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высш. шк., 2001.
5. Ч и г и р е в, а О. Ю. Математическое моделирование процесса разогрева цилиндрической поверхности движущимся интенсивным источником тепла. // Инженерно-физический журнал. — 2006. — Т. 79, № 6. — С. 31−37.
6. М, а л о в Ю. И., Мартинсон Л. К. Приближенные методы решения краевых задач. — М.: Изд-во МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1989.
7. М, а л о в Ю. И., М, а р т и н с о н Л. К., Р о г о ж и н В. М. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при плазменном напылении // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Машиностроение. — 1994. — № 3. — С. 316.
8. К, а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. -М. -Л.: Физматгиз, 1962.
9. Канторович Л. В., А к и л о в Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.
10. А м о с о в А. А., Д у б и н с к и й Ю. А., К о п ч е н о в, а Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994.
11. Чигирева О. Ю. Расчет оптимальной толщины слоя термоизоляции в многослойном цилиндрическом пакете // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. — 2005. — № 1. — С. 94−101.
12. Ч и р к и н В. С. Теплофизические свойства материалов: Справочник. — М.: Физматгиз, 1959.
13. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высш. шк., 1967.
14. ТихоновА. Н., СамарскийА. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 2004.
Статья поступила в редакцию 10. 04. 11
Ольга Юрьевна Чигирева родилась в 1979 г., окончила МГТУ им. Н. Э. Баумана в 2002 г. Канд. физ. -мат. наук, доцент кафедры & quot-Математическое моделирование& quot- МГТУ им. Н. Э. Баумана. Автор ряда научных работ в области математической физики и математического моделирования.
O. Yu. Chigiryova (b. 1979) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2002. Ph. D. (Phys. -Math.), assoc. professor of & quot-Mathematical Simulation& quot- department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some publications in the field of mathematical physics and mathematical simulation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой