О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 62−50
О ВЫБОРЕ МАКСИМАЛЬНОГО ПЕРИОДА ДИСКРЕТНОСТИ В ЧАСТОТНОМ МЕТОДЕ СИНТЕЗА ЦИФРОВОЙ САР
Г. В. Зырянов
ON THE SELECTION OF MAXIMUM PERIOD OF DISCRETIZATION DURING FREQUENCY SYNTHESIS OF A DIGITAL CONTROLLER
G.V. Ziryanov
Рассматривается задача синтеза цифровой (микропроцессорной) САР частотным методом при неизвестном заранее значении периода дискретности по времени Г0* Предлагается простой и эффективный итерационный метод, который позволяет за малое число шагов расчета определить наибольшее (из допустимых) значение периода дискретности при невысоком порядке цифрового корректирующего устройства.
Ключевые слова: период дискретности, частотные методы, синтез цифровой САР
The problem of synthesis of a digital (microprocessor) controller using frequency method with unknown discretization period value discrete time Г0 is considered. A simple and efficient iterative method, which allows for a small number of steps of calculation to determine the greatest (allowable) value for the discreteness at a low order digital correction device is proposed.
Keywords: discretization period, frequency methods, digital controller synthesis.
Переход от супервизорного к прямому (непосредственному) цифровому управлению является современной тенденцией развития и совершенствования способов и средств управления сложными техническими объектами. При этом цифровые (микропроцессорные) САР являются подсистемами нижнего (исполнительного) уровня в составе многоуровневых САУ, где происходит наиболее быстрое и интенсивное взаимодействие непрерывного объекта управления (ОУ) с цифровой управляющей частью. Необходимая при этом скорость (частота) информационного обмена зависит как от инерционных свойств ОУ, так и от заданных требований к показателям качества САР Исходя из ограничений на быстродействие микропроцессорного вычислительного устройства (МП ВУ), эту частоту следует выбирать возможно меньшей, а соответствующий шаг дискретизации по времени (период повторения программы) Т0- по возможности наибольшим. Очевидно также, что с целью «разгрузки» МП ВУ, нужно при динамическом синтезе ЦСУ стремиться к получению наиболее простого по сложности и объёму вычислений алгоритма управления.
Период (шаг) дискретизации Т0 является весьма специфическим и важным параметром ЦСУ, так как от него зависят сложным, трансцендентным образом многие из коэффициентов дискретной модели «неизменяемой части» разомкну-
Зырянов Георгий Валентинович — кадц. техн. наук, доцент кафедры систем управления ЮУрГУ- su@su. susu. ac. ru
той не скорректированной САР, а следовательно и показатели качества. Поэтому синтез цифрового алгоритма управления в общем виде, при неизвестном заранее значении Г0, оказывается возможным лишь в простейших, не имеющих практического значения случаях.
Обычно, в соответствии с какими-либо рекомендациями, задают конкретное значение Т0, а затем аналитическим или частотным методом динамического синтеза ЦСАР определяют передаточную функцию цифрового корректирующего устройствацкуОО. При необходимости (например, получен СЛИШКОМ СЛОЖНЫЙ ВИД не выпол-
няются ограничения на показатели качества и др.) расчет повторяют многократно для других, измененных значений Т0 до получения компромиссного, приемлемого для практической реализации результата.
Существуют различные рекомендации по выбору величины Т0 при синтезе ЦСАР. Так, например, в [2] рекомендовано, в качестве начального приближения, частоту дискретизации (c)0=2тг/Г0 назначать примерно в шесть раз больше частоты среза непрерывной части ЦСАР. А в методе аналогового прототипа [1], используемом для «переоборудования» непрерывной САР в цифровую, шаг дискретизации по времени назначается из условия То & lt- 25фз/шср. Здесь (c)ср — это частота среза, ф3 — запас устойчивости по фазе (в радианах) для
Ziryanov Georgy Valentinovich — PhD, associate professor of Control systems department of SUSU- su@su. susu. ac. ru
аналоговой системы-прототипа, 5 — допустимая величина относительного уменьшения запаса по фазе ЦСУ по сравнению с прототипом (например, 5=0,1). Передаточная функция (г) получается из передаточной функции непрерывного корректирующего устройства Ждку (р) в результате замены переменной р = 2(2−1)/(Г0(^+1)).
Если полученная величина Г0 оказалась слишком малой, ацку (^) — сложным для реализации, то для расчета при большем (или мак-
симальном) значении Т0 следует применять методы теории дискретных САР [2, 3]. Однако эти методы также предполагают значение Г0 заданным и поэтому не дают конструктивного и удобного для практического применения способа расчета наиболее простого выражения для при макси-
мально возможном значении То.
Следует заметить, что эта задача логически противоречива, так как для расчета ЦКУ необходимо знать численное значение Г0, а для определения максимально возможной величины Г0 необходимо знать значения всех параметров дискретной модели приведенной непрерывной части ЦСУ, которые в свою очередь, зависят от величины Г0-Поэтому такая задача, являясь важной и актуальной, может быть решена только (исключая тривиальные случаи) итеративным способом на основе некоторого эвристического (математически не обоснованного, приближенного) правила, позволяющего на каждом шаге итерации целенаправленно формировать вид передаточной функции ЖцкуС^), значения ее параметров и величину Г0.
Формально, это будет задача минимизации сложности (порядка) при условии макси-
мизации величины Т0 и заданных ограничениях на показатели качества ЦСАР.
1. Описание метода решения задачи
Предлагаемый метод совмещает итерационный выбор возможно большего значения Т0 с определением минимально необходимого порядка и вида передаточной функции Он основан на
многошаговом усложнении выражения для №цку (г) и уточнении величины Т0 на каждом итерационном шаге. Количество таких шагов обычно невелико и зависит от порядка передаточной функции Ж0(р) для заданной непрерывной части ЦСУ, от количества и значений ее «малых» постоянных времени. Не являясь математически строго обоснованным, а скорее всего эвристическим приемом, он позволяет быстро и эффективно выполнять расчеты передаточной функциицку (^) при наибольшем (из допустимых) значении Г0.
Поскольку предлагаемый метод относится к частотным методам, ориентированным на применение логарифмических характеристик, то далее вместо передаточных функций будем ис-
пользовать преобразованные передаточные функции ^(г/), получаемые из Щг) в результате подстановки г = (2+иТ0)/(2-иТо). Кроме того, вместо
циклической частоты © далее будем рассматривать абсолютную псевдочастоту А=(2/Го^(юГо/2), считая А"© для (c)& lt-2/Г0. Метод относится к приближенным и основывается на следующих предположениях:
1) псевдочастота среза для скорректированной разомкнутой цифровой системы Аср& lt-2/Г0. Это условие не является слишком стеснительным, поскольку в подавляющем большинстве случаев оно является необходимым для обеспечения устойчивости и запасов устойчивости ЦСУ,
2) псевдочастотная ЛАХ для скорректированной системы в окрестности А, ср имеет «симметричный» вид с типовым наклоном среднечастотной асимптоты, равным -20 дБ/дек-
3) непрерывная часть системы с передаточной функцией #о (р) не содержит колебательных и форсирующих звеньев, у которых частоты сопряжения (c)/ (величины, обратные постоянным времени Тд расположены в окрестности частоты (псевдочастоты) среза Аср или правее ее-
4) выражение для 1?0(р) не содержит немини-мально-фазовых или неустойчивых множителей.
Особенностью метода является то, что для высокочастотного диапазона желаемые логарифмические псевдочастотные характеристики (ЛПЧХ) системы не строятся, а вместо этого на каждом шаге расчета изменяется передаточная функция Жцку (г/) и значение Т0 таким образом, чтобы обеспечить требуемую величину показателя колебательности М. Необходимые для этого проверки на очередном шаге расчета осуществляются с помощью приближенного неравенства В.А. Бесекерско-го относительно «малых» постоянных времени
непрерывной части Т* & lt- То/2.
Важно отметить, что рассматриваемый здесь метод не требует предварительного определения аналитических выражений для передаточной функции дискретного звена приведенной непрерывной части (ДЗ ПНЧ) и это делает задачу синтеза последовательного цифрового корректирующего устройства ненамного сложнее аналогичной задачи для непрерывной системы. Определениецку (и) и расчет требуемого значения Т0 при этом проводится в следующей последовательности:
1. Строится асимптотическая ЛАХ Ь0((й), соответствующая 1?0 (р).
2. По требованиям точности и запаса устойчивости (точно так же, как это делается в [3] для непрерывной системы) строится низкочастотная часть «симметричной» желаемой ЛАХ и начальная часть ее среднечастотной асимптоты с типовым наклоном, равным -20 дБ/дек, до граничной псевдочастоты Аё& gt-Аср (1+ЛГ1). Здесь также считается, что А"©. Эта псевдочастота задает нижний предел для величины 2/Го, которой соответствует максимально возможный шаг дискретности Г0шах = 2/Аё. Окончательное значение шага дискретности по времени То будет всегда меньше этой величины.
О выборе максимального периода дискретности в частотном методе синтеза цифровой САР
3. Для этого же частотного диапазона (0- Хё) строится частичная асимптотическая ПЧ ЛАХ ЦКУ. Это будет разность желаемой и исходной (обычно с выбранным по требованиям точности значением коэффициента усиления К) ЛАХ. Для нее определяется соответствующее выражение частичной (первоначальной) передаточной функции ^(и), в котором порядок числителя будет всегда больше порядка знаменателя.
4. Ориентируясь на получение наиболее простого физически реализуемого ЦКУ, его передаточную функцию сначала назначают в виде произведения ЖцКу (^)=Ж1(г/)-Ж2(г/), где дополнительный
множитель Ж2 (и) = П1 /(1 +) вводится для
/
выравнивания порядков числителя и знаменателя передаточной функции Шцку (и).
5. Постоянные времени Гд, а также «малые»
постоянные времени ТгД в составе 1?0(р) непрерывной части включают в левую часть условия В.А. Бесекерского
^-+'ЕТ1я+1,т1Л & lt----
(1)
Значения всех Г д и Го/2 здесь выбирают так,
чтобы условие (1) выполнялось для всех Г-н & lt- То/2. Если это удается сделать и значение Т0 не слишком мало, то расчет ЦКУ и выбор Т0 можно считать законченным. В противном случае, получившееся выражение для Шцку (и) усложняют еще одним дополнительным сомножителем вида
(и) = (1 + иТ*шах)/(1 +) • Он приближенно
компенсирует влияние на запас устойчивости по фазе наибольшей из числа «малых» постоянных
времени непрерывной части 7^ах, а Т^ж «подменяет» ее в неравенстве В. А. Бесекерского (1). Далее, значения То/2, Гд и ГДах снова выбирают из условия (1). Разумеется, что «скомпенсированная» таким образом постоянная времени Г-^ах из дальнейших проверок исключается. Если при этом удается назначить Г0/2& gt- Г", то расчет ЦКУ считается законченным. В противном случае эта же процедура применяется для следующей по величине «малости» постоянной времени среди Г, н.
Тогда выражение для Жцку (и) усложнится еще на один дополнительный множитель и т. д.
Необходимо отметить, что значения постоянных времени Гд и Г^ах в выражениях для дополнительно вводимых сомножителей в составе передаточной функции Жцку (и) можно изменять в нужную сторону на любом шаге расчета.
2. Пример применения метода
Для иллюстрации особенностей предлагаемого метода рассмотрим расчет ЦСУ, предназначен-
ной для воспроизведения с максимальной допустимой относительной ошибкой е0ТН задающего сигнала ДО при следующих исходных данных:
Шр)=-----------------------.
р{ + рТа){ + рТь) где Та~ 0,11 с- Тъ~ 0,009 с- М& lt- 1,265- еотн= 0,0058- 1тах=1,7 В/с-Хтах = 2,9В/с2.
Решение. Начальные этапы расчета ЦСУ, связанные с построением участков желаемой ПЧ ЛАХ, расположенных левее Хср, выполняются без учета дискретизации по времени. При этом используется метод В. А. Бесекерского и замена ДО на «эквивалентный гармонический сигнал» [3].
В этом частотном диапазоне будем ориентироваться на ЛАХ с типовыми наклонами асимптот «-20−40−20-…». Это позволяет по известным [3] формулам определить необходимую величину коэффициента усиления разомкнутой системы К=410, псевдочастоту среза А, ср= 58 с-1, постоянные времени Тх =0,588 с и Г2=0,083 с для частичной желаемой передаточной функции
^(М) = 1й±^2).
«(1 + 1/7])
Определим наименьшее значение граничной псевдочастоты Аё=Аср (1+АГ1)=104с~1. Тогда частичная (первоначальная) передаточная функция для последовательного корректирующего звена будет иметь вид (м)= [(1+иТа)(1+иТ2)]/(1+иТ1).
Поскольку порядок числителя получился больше порядка знаменателя, то усложним Жк (и) дополнительным сомножителем
(1 + иТа)(1 + иГ2) 1
1 + И тх 1 + иТхЛ
Здесь 7]д, а также Го/2 выбираются из условия Бесекерского (1), которое в данном случае имеет вид Го/2 + Ть+ Гд & lt- 1/Хё= 0,962. Отсюда следует, что Го/2+ 7|Д & lt- 0,962 — 0,009=0,62.
В данном случае, при любом выборе Т*, условие «малости» для Ть выполняться не будет и ее нужно компенсировать, усложняя И^к (и) дополнительным множителем ЙГ2 (и) = (1 + иТь) /(1 + иТ*).
Тогда 1? к (и) примет следующий вид:
ЦГ (п) — ^ + иТа X1 + иТ2) 1 1 + иТЪ
к 1 + иТх 1 + иГ, д 1 + иТ2д '-
Значения Т*, Г2Д и Го/2 должны удовлетворять достаточному условию В. А. Бесекерского (1), т. е. Го/2+Гд +Г2Д & lt-1/А, е= 0,962 с. В соответствии
с этим назначим Го/2 =ГД =Г2Д= 0,0032 с. Тогда Г0=0,0064 с и выражение для передаточной функции ЦКУ принимаем в следующем виде:
(1 + 0,11м)(1 + 0,083м) 1 + 0,009 м
цку («) = -
1 +0,588 м
(1 + 0,0032м)
2 *
Компьютерным моделированием в программных пакетах и Ма& amp-сас! получены следую-
щие значения показателей качества синтезированной ЦСУ: & lt-7=25%- ^=0,107 с- М = 1,23- запас по фазе ф3= 0,9- запас по амплитуде Ь = 11,4 дБ.
Для сравнения, приведем результаты расчета, полученные для той же ЦСАР методом аналогового прототипа при Т0 = 0,003 с и 5=0,1:
, ч (1 + 0,11м)(1 + 0,083м) 1 + 0,009г/
уу (ц) =------------------------------------.
цку (1 + 0,588м)(1 + 0,0032м) 1+ 0,006 м
Исследование ЦСУ показало, что для сг=28%- время регулирования /р=0,1 с- М = 1,28- запас по фазе ф3= 0,84- запас по амплитуде Ь3= 12 дБ.
Из результатов сравнения следует, что рассмотренный выше итерационный метод позволяет получить, при той же сложности ЦКУ, величину периода дискретизации по времени Г0, в 2 раза более чем его значение, рассчитанное по методу аналогового прототипа. А это значит, что требования по быстродействию к МП ВУ (например, к микроконтроллеру), используемому для реализации управляющего алгоритма, будут в два раза ниже.
Заключение
Рассмотренный метод синтеза ЦСАР позволяет за несколько шагов расчета определить наибольший (из допустимых) шаг дискретизации Т0 при наименьшем порядке передаточной функции ЦКУ. При этом не требуется находить передаточную функцию дискретного звена приведенной непрерывной части.
Литература
1. Зырянов, Г. В. О применении метода аналогового прототипа при синтезе цифровых САУ / Г. В. Зырянов // Информационные, информационно-управляющие и радиоэлектронные устройства и системы: темат. сб. науч. тр. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2005. — С. 44−50.
2. Шамриков, Б. М. Основы теории цифровых систем управления / Б. М. Шамриков Б.М. — М. Машиностроение, 1985.
3. Бесекерский, В. А. Цифровые автоматические системы / В. А. Бесекерский. — М. Наука, 1976.
Поступила в редакцию 2 апреля 2008 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой