О задаче детектирования автоколебательных режимов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК. 517. 9
А. С. Горобцов, Е. Н. Рыжов, А. С. Чурзина
О ЗАДАЧЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
Волгоградский государственный технический университет,
Камышинский технологический институт
vm@vstu. ru
Подход к построению наблюдения основан на теории синтеза интегральных асимптотически устойчивых многообразий в пространствах состояний, что позволяет синтезировать наблюдающую подсистему, которая регистрирует формирование автоколебательного режима.
Ключевые слова: инвариантное многообразие, асимптотическая устойчивость, автоколебания.
A. S. Gorobtzov, E. N. Ryzhov, A. S. Churzinna ABOUT THE PROBLEM OF DETECTING OF THE AUTO OSCILLATIONS
The approach to construction of mechanisms of supervision is based on the theory of synthesis integrated asymptotically stable manifolds in spaces of conditions.
Key words: invariance, asymptotic stability, auto-oscillations.
Введение
Современная теория синтеза движения по замкнутым траекториям, систем стабилизации движения активно развивается в направлении усложнения геометрии, как самих траекторий, так и качественных методов синтеза. В связи с этим задача построения механизмов наблюдения за колебаниями и их регистрация является одной из основных задач радиоэлектроники. По своей природе эти колебания нелинейные.
В статье рассмотрен механизм нелинейного наблюдения за колебаниями, получена система наблюдения. Возникающие при этом автоколебательные режимы геометрически определяются предельными циклами. В радиотехнике управление геометрией предельных циклов является основной проблемой при решении обширного класса задач. В некоторых задачах биомеханики, замкнутые траектории движения исполнительных органов характеризуются наличием участков, близких к прямолинейным. Траектории движения хорошо аппроксимируются замкнутыми кривыми Ламэ [1]. Замкнутая кривая Ламэ описывается следующим уравнением:
2 т 2т
П___| 2 _1
0 т а2т~ '-
В частности, при т = 1 консервативный осциллятор, описывающий движение по таким траекториям, является линейным. При т & gt- 1 получаем нелинейный консервативный осциллятор — осциллятор Ламэ, уравнения которого в фазовых переменных имеют очевидный вид: 2 т 2т1. 2 т 2т-
Р J, 2 = + a-m, «2, — = «, а 2, —
^"-2 q _ -«~2 а = -a-2m
j, 2i = + aj
1. Задача синтеза системы наблюдения
В работах [2, 3] были получены достаточные условия синтеза устойчивых поверхностей Ламэ в случае 2п-канальной стабилизации, аналогичные условиям [4].
Теорема [3]. Для того чтобы граница дЬ2п являлась интегральным многообразием системы (1) достаточно выполнение следующих соотношений на коэффициенты управляющих функций:
а2 2а2, а1 2а1, Р1 ±1, в1,2 Ьа1, в2,2 ^а2
1 _ 2та-2т, р2,_1 _±1,
^ в 1,2/ _ + а1, в2,2/ _ + а2, Р], 2- _ +
1 _ 2,3,…, п, ] _ 3,4,…, 2п.
Если при этом коэффициенты полиномиальных управлений удовлетворяют соотношениям
Р1 _ 1, Ри _ -а-2,Р2,2 _ -а-2, Р, 2 _ а]2т,
Р2,--1 _ 1, Р1,2, _ -а-2, Р, 2, _ -а-2т, Р2,21 _ -а-2 ,
то граница дЬ2п является асимптотически притягивающей для траекторий, с начальными условиями, определенными на множестве В-(дЬ2п) и В| (дЬ2п), т. е., область
В- (дЬ2п) и В| (дЬ2п) является областью асимптотической устойчивости интегрального многообразия дЬ2п.
Рассмотрим вложенное в М2п гладкое односвязное многообразие Ь2п с М2п с границей дЬ2п = Б2"-1, диффеоморфной гиперсфере Б2 п-1,
, 2m Xl
где cD2n Xel
2 2
1-Y %2
ai a2-
2n y2m
?3- = (U, m S N.
Такие границы являются поверхностями Ламэ. Наблюдение сводятся к представлению свойств наблюдаемой системы через свойства наблюдателя. Вследствие автоколебательного характера внутренние обратные связи, как наблюдающей подсистемы, так и наблюдаемой, а также обменные обратные связи между подсистемами, естественно реализовать через полиномы нечетных степеней.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу наблюдения
х1 = ±а2×2,
(х2 = + а! X! + ^ м
2 т-1
Х2і-1 = ±а2,Х2,
х2і = + а
х2 т-1 2 і-1л2і-1
и N (X),
И2І (X) —
(1. 1)
(1. 2)
2,2і
венных чисел
і, 2і 3 2і
в виде:
(Х) в1Х2 +в1,2 Х1 Х2 + в2,2 Х2 +^Р.
. Х2тХ
3, 2Х3 2'
3=2
у + & lt-°2у + ип (у, у) + и12(у, Х2, х4) = 0,
где і = 2,2,…, п, X = (х1,х2,х2,х4)Т — вектор состояния, (1. 1) — искомая система наблюдения автоколебательного типа, (1. 2) — система, за которой ведется наблюдение, удовлетворяющее теореме [2]. Требуется синтезировать систему наблюдения, регистрирующую установления автоколебаний в системе (1. 2).
Решение этой задачи им (X), и 2і (X) ,
і = 2,3,…, п, будем искать управляющие функции, в линейном пространстве гладких полиномов Щ єЬ [Ш2,ОТ12,… ], deg (Ш,) = 2 т +1, натянутом на образующие: Ш2 = х2, Шз 2 = х2тх2,
Щ2,2 = Х2, Щ1,2 = Х1×2, Щ2і = Х2і, Щ1,2і = Х1 Х2і, Щ2 2і = х2×2і, Щ. 2і = х2тх2і над полем вещест-
и2і(X) в2і-1Х2і +в1,2іХ1 Х2і +в2,2іХ2 Х2і + 3,2іХз Х2і.
3=2
2. Возбуждение автоколебательного режима в пространстве наблюдения
Возбуждение автоколебательного режима в пространстве наблюдения означает формирование устойчивого предельного цикла у системы, за которой ведется наблюдение. Таким образом, задача регистрации возникновения автоколебательных режимов может быть сформулирована следующим образом:
12 2т-1
Х4 (Х^Х2 +и22(Х2, х4) +U21(y, У, х4)
где и11, и22 -искомые внутренние управления с обратной связью системы наблюдения и наблюдаемой подсистемы и12, и21 — искомые управления с обратной связью по вектору состояния всей системы, обеспечивающие нелинейное взаимодействие между управляющим генератором автоколебаний и исполнительной частью системы. При этом Х1 хХ2 сМ2- подпространство наблюдателя, Х2 х Х4 с М2 — подпространство наблюдения.
Стандартной заменой переменных система может быть переписана следующим образом:
Х2 = -со2 х +и11(х1, х2) + и12(х2, х2, х4),
х4 _-а^х32т 1 +и22(х3,х4) + и21(х1,х2,х4).
Форма предельного цикла наблюдаемой подсистемы определяется в подпространстве переме-
4 X2т
щений функцией: Б2(х3, х4) _ 1 — искомое
а,
дифференциальное уравнение наблюдателя в отсутствии взаимодействия с подсистемой перемещений имеет вид: у + ш2 у+ Р1 у — Р12 у2у — Р2 2 у3 _ 0.
Форма траектории наблюдателя задается урав-
2 2 X X
нением: — -2 _1, или в переменных (у, у):
а а2
2 • 2
у у 2 2 2
-г-----2 _ 1, где а2 _ю2а1.
а1 а2
Выход на автоколебательный режим системы наблюдения рис. 1, в пространстве наблюдаемой подсистемы формируется устойчивый предельный цикл рис. 2.
Рис. 1
о, BE 0.4 0,15
хЗ'-Й
-0. 1
(1. 35
-0,6
-Q. S5
Рис. 2
В заключении отметим, что геометрия предельного цикла наблюдаемой подсистемы зависит от целочисленного показателя Ламэ. Таким образом, предложенный механизм наблюдения охва-
хдда
тывает достаточно широкий диапазон колебательных процессов в геометрическом смысле.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Савелов А. А. Плоские кривые. Справочное руководство Изд-во РХД, 2002. — 492 с.
2. Горобцов А. С., Рыжов Е. Н., Чурзина А. С. Синтез интегральных поверхностей Ламэ и стабилизация колебаний в их окрестностях// Динамика сложных систем. -2009. — № 1, т. 3. — С. 59−62.
3. Gorobtsov A. S., Ryzhov E. N., Churzina A. S. Lame -manifolds in problems of syntheses of nonlinear oscillatory modes. Journal of Vibroengineering. Vol. 10. Iss. 4. p. 456 459, 2008.
4. Горобцов А. С., Рыжов Е. Н. Аналитический синтез генераторов автоколебаний на двух колебательных звеньях // РАН. Автоматика и телемеханика.- 2007.- № 6. -С. 35−44.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой