О задаче с обобщенными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956. 6
О ЗАДАЧЕ С ОБОБЩЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
© 2012 О.А. Репин1 С.К. Кумыкова2
Для вырождающегося гиперболического уравнения исследована задача с операторами дробного дифференцирования Сайго в краевом условии на характеристической части границы области. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.
Ключевые слова: интеграл и производная Римана — Лиувилля дробного порядка, интегральные уравнения Фредгольма, гипергеометрическая функция Гаусса, резольвента ядра.
1. Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
у1пхх — Пуу = 0, (1. 1)
где I = т при у & gt- 0 и I = п при у & lt- 0, т, п — положительные постоянные в конечной области П, ограниченой характеристиками
2 т+2 2 т+2
АС: ж--- у- = 0, ВС: х ±-- у= 1,
т+2 т+2
2, п+2 2, п+2
АВ: х --- (-у=0, ВВ: х + -~(-у)^ = 1, п + 2 п + 2
уравнения (1. 1).
Пусть П = П П (у & gt- 0), П2 = П П (у & lt- 0), I — интервал 0 & lt- х & lt- 1 прямой у = 0. Задача. Найти решение
Г и1(х, у), (х, у) е П1,
к и2(х, у), (х, у) е П2
уравнения (1. 1) из класса
С (П) п С 1(П1 и I) п С1 (П2 и I) п С2(П1 и п2),
хРепин Олег Александрович (matstat@mail. ru), кафедра математической статистики и эконометрики Самарского государственного экономического университета, 443 090, Российская Федерация, г. Самара, ул. Советской Армии, 141.
2Кумыкова Светлана Каншубиевна (bsk@rect. kbsu. ru), кафедра теории функций и функционального анализа Кабардино-Балкарского государственного университета, 360 004, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.
удовлетворяющее краевым условиям
аг (х) (i-f^-'-ulQfm) (x)+ +bi (x) (i-P& quot-0'-2*- 1 u[e ((i)(t)^ (x) = Yi (x) Ух G I, i = 1, 2,
(1. 2)
и условию сопряжения
lim uy (x, y) = a (x) lim uy (x, y) + ?(x), (1−3)
где ?1 = 2mm4, ?2 = 2J+4- e? i)(x), e (i)(x) — точки пересечения характеристик уравнения (1. 1), выходящих из точки (x, 0) G I, с характеристиками AC, AD, BC, BD соответственно- ai (x), bi (x), Yi (x), a (x), ?(x) — заданные непрерывные функции, причем
a2(x) + b2(x) = 0 yx G I (i = 1, 2), (1. 4)
ai (x), bi (x), Yi (x), a (x), ?(x
) G C 1(I) П C2(I),
I-?ifi^?i-1 f, I-?ifi^?i-1 f (i = i, 2) — обобщенные операторы дробного дифференцирования [1- 2, с. 326−327- 3, с. 14].
Отметим, что в случае, когда в краевом условии (1. 2) вместо обобщенных операторов присутствуют операторы Римана — Лиувилля, эта задача исследована в [4], а когда = I — в [5].
Настоящая работа обобщает результаты работ [4- 5].
2. Единственность решения задачи
Теорема. В области Q не может существовать более одного решения сформулированной задачи, если a (x) = 1 и выполнены условия
ai (1)[ai (1)+ bi (1)] & gt- 0 и bi (0)[ai (0) + bi (0)] & lt- 0, i = 1, 2, (2. 1)
i (x)=0,
bi (x)
ai (x)
^ 0, либо bi (x) = 0,
i (x)
bi (x)
& lt- 0 yx G I (2. 2)
Доказательство. Переходя к доказательству единсвенности решения задачи, положим
т (x) = u (x, 0), V1 (x) = lim uy (x, y), V2(x) = lim uy (x, y).
y0+ y0-
Выписывая решение задачи Коши в области [6, с. 265], найдем u[(c)01)(x)]
и це!1^)]:
где
u^x)] = Y1Io?+'-0'-?1−1 т (x)+ Y2I10^?l'-2?l-1'-?l-1V1(x), (2. 3)
u[e (11)(x)] = Y1It'-0'-?1−1 т (x)+ Y2IlZ? l'-2?l-1'-?l-1V1(x), (2. 4)
r (2?1) 1 f 4 2? l Г (1 — 2?1)
Y1 = -nro, Y2
m + 2)
ВД) '- 2 m + 2) Г (1 — ?1)'-
Подставляя (2. 3) и (2. 4) в (1. 2) и используя соотношения [2, с. 327]
(I?-+?'-n (I?+'-a+nф) (t)) (x) = (i^Wф) (x) (Y & gt- 0),
ha^ri hlAv+Vф (t) (x) = Ka+y'-?+S'-V (x) ^ & gt- 0)
(2. 5)
после некоторых преобразований, получим
(х) I1−2в1, — (х) +__
Ао (х)'-
г (х) = -А^х)^1 Ых) — Bl (x)III2вl ^(х) + Аох, (2. 6)
та та
Мх) = ^_& gt-, В1(х) = ^^. (2. 7)
где Iоа+, Il_ - операторы дробного интегрирования Римана — Лиувилля [2, с. 42].
Ао (х) = 71[а1(х) + & amp-1 (х)] = 0,
72 в1(х), , 7261(х)
л (л, В1(х) = л & lt- ¦ Ао (х) Ао (х)
Аналогично в области П2 получаем соотношение
г (х) = А2 (хКо1-^2 ^(х) + B2(x)III2в2 ^(х) +, (2. 8)
Во (х)
где
Во (х) = 7з[в2(х) + 62 (х)] = 0,
74Д2(х) р, , 7462(х)
А2(х) = р, ч, В2(х) = «,, ,
Во (х) Во (х)
Г (22) _ 1 (4)2в2 Г (1 — 2& amp-)
73 = т^д ч, 74 =
п + 2-
Г (& amp-) '- 2 п + 2^ Г (1 — & amp-) '-
Покажем, что интеграл
1
I* = J т (х)^2(х) 3, х ^ 0.
0
При 72(х) = 0 (2. 8) примет вид:
т (х) = A2(x)I01−2в2 ^(х) + В2 (х)/-2^2 (х).
Рассмотрим интеграл
1 1 I* = I A2(x)v2(x)IЪ-2в2щ (х)в, х + ! В2(х)^2(х)!!-2в2^(х)0х = оо
1 х
1 I, а V2(t)dt
= -Г А2{х)^2{х)ах ---7Г---+
Г (1 — 2& amp-)У У (х — ?)2^
оо
1 1 + / В2(х). 2(х)аЛ
Г (1 — 2в2) У У (* - х)2в2
ох
Далее применим методику, восходящую к Ф. Трикоми [7, с. 385−386]. Воспользуемся формулой [7, с. 385] для функции Г (л):
J ес8(^) ^ = есв ((к& gt- 0, 0 & lt- ц & lt- 1). о
Полагая в ней к = х — ?, ?1 = 22, получим
сю
1 1 I. 22−1
х — е22 Г (2в2) есв (пв2)
о
есв (?х — ?) & amp-.
Откуда находим
Г (2в2)Г (1 — 2в2) cos (пв2)I* =
х сю
есв[4(х — ?)] аг+
+ У В2(х)^2(х)а^у и2(?)а? ! г2в2−1 есв[г (? — х)] аг.
о х о
Пользуясь тем, что Г (22)Г (1 — 22) = 8 т (2п, з2), поменяв порядок интегрирования, интегрируя по частям, после преобразований имеем
/

I * = г2в
1
А2(1)


-] А2(х) о
сю
-I г2в2−1
о
1
— I в2 (х)
^ (е)есв (ге)ае I + I / ^(Овт^к
В2(0)
ах I аг-
Ы?)со8(г?)аИ + П ^2(е)в1п (ге)ае

^2(е)ес8(ге)ае! + I / ыовт^к
ах I аг.
(2. 9)
В силу условий (2. 1), (2. 2) и того, что 8ш (пв2) & gt- 0, заключаем, что интеграл I* & gt- 0.
1
Аналогичными вычислениями получаем, что / т (х)^1(х)йх ^ 0. А так как
о
1
^(х) = V2(х) при а (х) = 1, в (х) = 0, то /т (х)щ (х)ах = 0 (г = 1, 2).
о
Таким образом, левая часть (2. 9) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
2
?^г2^-1аг П ^(?)со8(г?)аИ =0,
У гад-1 аг П щ (е) 8 т (гек I =0, (г = 1,2).
Так как г2в- & gt- 0, то
1 1
У ^(о есв (ге)ае = 0, у ^(о вт^к = 0, (г = 1,2),
оо
для всех г е [0, то), в частности, при г = 2пк, к = 0, 1, 2, … При этих значениях г функции вш (г?) и есв (ге) образуют полную ортогональную систему функций в Ь2.
1
1
2
2
1
П
2
1
х
х
2
2
2
1
Следовательно, v^(Ю) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то Vi (?) = 0 всюду. Отсюда из (2. 6) и (2. 8) легко заметить, что т (х) =0 и щ (х, у) = 0 в областях О и О., как решения задачи Коши с нулевыми данными.
3. Существование решения задачи
Пусть п ^ т. Удовлетворяя (2. 6) и (2. 8) условию сопряжения (1. 3), получим при А2(х) = 0 соотношение
где
V2(x) + Вз (х)1-в2 ^(х) + ВА (х)122в1 а (х2(х)+ +В5(х)10−2в1 а (х^(х) = / (х),
В2 (х) В (х) А (х)
Вз (х) = В^х, В4(х) = -1×1, в5(х) = 1()
(3. 1)
А2(х)
I (х) =
А2(х)
А2(х)'-
И (х)

12 (х)

Ао (х)А2(х) Во (х)А2(х)
-В5(х)10−2р 1 в (х) — ВА (х)1-р 1 в (х). Действуя на обе части (3. 1) оператором в0−2в2, имеем
(3. 2)
V2(x) + В10−2в2 Вз (х)1-в2 V2(x) + В10−2в2 В4(х)1−2Р1 а (х2(х)+ +В72 132 В5(х)Т1072в1 а (х)^(х) = В-'-21 (х).
(3. 3)
/0+ В5(х)10+ М (х)и2(х) = В0+ - …
Исследуем вопрос разрешимости уравнения (3. 3). Для этого преобразуем выражения, входящие в левую часть (3. 3). Так же, как и в [4- 8], можно показать, что
В-2в2 Вз (х)1{-2в2 ^(х) = ссв (2п02)В3(х2(х)+
+
0+
8 т (2пв2)

где
К (х^=и
в3 (г) ?г
?х.] (х — г)2в2 — г)2 0
X
ЪМ = ?х I
В3 (г) ?г
1
Т (2/32)Г (1 — 2в1) вт (2п02)
?х. (х — г)1−2в2 — г)2?2−0
в0−2132 ВА (х)1{-2131 а (х)^(х) =
X 1
У Кз (х,^2(№ + 1 К4(х,^2(№
0 X
при п & gt- т,
I Кз (х,^2(№ + ] КА (х,?)12(?№ +
X ^
+ со& amp-(2пв2)а (х)В4:(х2(х) прип = т,
где
X
Кз (х& gt-0= «Ю Ц
В4(г)йг
?х } (х — г)1−2в2 (ю — г)2в1'- 0
1
X
П
1
П
е
№, 0 = /
?х у

?х У (ж — г)1−2& amp- (С — г)2*'-
0
^Т2* В5(х)/о172в1 а (х)^2 (х) = & lt-
Къ (х, е) и2© ?Сприп & gt- т,
К5 (х, С)^2 (СМС + а (х)^(х) при п = т,
где
К5(х, е)
а (С)
Г (22)Г (1 — 21)
B5(г)dt
B5(г)dt
?х.] (х — г)1−2в2(t — с)2 В ?х.] (х — г)1−2в2(г — с)2 В 00
Установим свойства ядер К^(х, С), г = 1, 5.
е
К1(х, е) = вз (е) -Ц


а [ [Вз (е) — Вз (г)Э
?^ (х — г)1−2^ (с — г)2^ ?х У (х — ?)1−2в2 (с — г)2^-
00
Очевидно, гладкость ядра К1(х, С) будет определяться гладкостью первого слагаемого правой части. Поэтому ограничимся изучением свойств этого интеграла.
е
/1(х, е) = ад Ц

?х У (х — г)1−2в2 (с — г)2в2 0
Вэ (0 d (С
(Г& quot- К
1 — 22 ?х х
Используя формулу [9, с. 110] ?
^ 1 — 2в2,1−2 — 22--х
4
х
(а, в- 7- г) = а. га-1?(а + 1, в- 7- г),
получим
Л (х, 0 = - -
х
(!)
1−2в2
вз (е) _
х — с '-
Аналогично исследуется ядро К2(х, С).
Из приведенных рассуждений видно, что ядра К1(х, С) и К2(х, С) допускают оценки К1 (х, С)=0(1)(х — С)-1, К2(х, С) = 0(1)(С — х)-1, где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.
Установим свойства ядер Кз (х, С) и К^(х, С). В смысле гладкости они будут себя вести как интегралы
12(х, С) = а^ШО^ !


?х .] (х — г)1−2в2 (с — г)2в1
0
е
1з (х, С) = а (С)В4©?х I

?х У (х — г)1−2в2 (с — г)2в1 •
0
X
X
е
X
?
?
X
После несложных вычислений будем иметь
1 — 2в2 а (С)В4© (С
1 — 2в1 (х — С)1−2(в2-в1^х/
12(х, С) = 2& quot- Р — 2в1,1 — 2в1- 2 — 2 В.- х) ,
т (с) в1 а (С)В4 © /су /Р2 р [2Я 2 В 2 В ,+2Я. х 1з (х, С) = - 77-х)1−2(я2-я1п -) р (2в2 — 2вь в2−1 + 2в2- с) •
1−2в2
в2 (С — х)1−2(в2-в1) х) * У™ ¦ с /
Таким образом при п & gt- т ядра К3(х, с) и К4(х, с) непрерывно дифференцируемы в квадрате 0 & lt- с, х & lt- 1 при с = х и допускают следующие оценки:
Кз (х, с) = 0(1)(х — с)2(в2-в1)-1, К4(х, с) = 0(1)(с — х)2(в-1) —
Из представления ядра К5(х, с) с учетом предыдущих вычислений имеем, что поведение К5(х, с) аналогично поведению в смысле гладкости ядер Кз (х, с), К4 (х, с), т. е. ядро К5(х, с) при п ^ т непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 & lt- с, х & lt- 1 при с = х и допускает следующую оценку:
К5(х, с)=0(1)|х — с|2(в-1)-Таким образом, уравнение (3. 3) принимает вид
1
Л! !, [ К (x, С) v2(С)dС, (34)
А (х)^(х) + ---= Р (х), (3. 4)
с — х
где
К (х, с) = Кб (х, с)(с — х),
I ^ К1 (х, с)+г (2вК)Г (х1,с)2в) + К5(х, с) при с & lt- х,
Кб (х, с)^ -(ов) г (2в2/((1-)2в1)
^ ^ 8 т (2пв2) », сл, К4(х, с) _
-К2 (х, с) ±---: ---т при с & gt- х,
П У Г (2в2)Г (1 — 2в1)
л (_ 1 + соъ (2пв2)Вз (х) прип & gt- т, А (х) ^
{
1 + сов (2пв2)[Вз (х) + а (х)В4(х)] + а (х) прип = т, р (х) = д1−2в2 / (ху
Из установленных свойств ядер К^(х, с), г = 1, 5, заключаем, что ядро Кб (х, с) непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 & lt- х, с & lt- 1 при с = х и допускает при п ^ т следующую оценку:
Кб (х, с)=0(1)(с — х)-1,
где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.
Выясним гладкость Р (х) правой части уравнения (3. 4).
X
Р (х) = ?1−2в2 /(х) = ±[ / (г)dг =
р (х) = и°+ /(х) = Г (2в2) ?х] (х — г)1−2в2 =
0
X
/(0) + [ / (г^г
Г (2в2)
х1−2^ 1 J (х — г)1−2в2 0
Из вида функции /(х), свойств функций аДх), ЬДх), 7®(х), а (х), в (х), г = 1,2 и свойств дробных интегралов нетрудно заключить, что правая часть
F (x) G C 1(I), причем при x ^ 0 она может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 — 2?2.
Таким образом, уравнение (3. 4) при A (x) = 0 есть сингулярное интегральное уравнение [10, с. 157].
Условие A2(x) + K2(x, x) =0 гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (3. 4) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения сформулированной задачи.
Исследование случая m & gt- n не представляет трудности и проводится аналогично случаю n & gt- m.
Литература
[1] Saigo М. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ. 1978. V. 11. № 2. P. 135−143.
[2] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 161 с.
[3] Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Изд-во Саратов. гос. ун-та, 1992. 688 с.
[4] Кумыкова С. К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 1. С. 93−104.
[5] Нахушев А. М. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736−739.
[6] Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
[7] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностр. лит., 1957. 443 с.
[8] Кумыкова С. К., Нахушева Ф. Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 50−65
[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
[10] Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.
Поступила в редакцию 3/IX/2012- в окончательном варианте — 3/IX/2012.
60
О. А. Репин, С.К. Ky-M-btKoeo,
ON A PROBLEM WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL DIFFERENTIATION FOR A DEGENERATED INSIDE A DOMAIN HYPERBOLIC EQUATION
© 2010 O.A. Repin? S.K. Kumykova4
In this paper, we consider a problem with Saigo operators of fractional differentiation in a boundary condition on a characteristic part of a boundary. The unique solvability of this problem is proved.
Key words: integral and derivative of Riemann — Liouville fractional order, integral equations of Fredholm, Gauss hypergeometric function, kernel resolvent.
Paper received 3/IX/2012. Paper accepted 3/IX/2012.
3Repin Oleg Alexandrovich (matstat@mail. ru), the Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics, Samara State University of Economics, Samara, 443 090, Russian Federation.
4Kumykova Svetlana Kanshubievna (bsk@rect. kbsu. ru), the Dept. of Function Theory and Functional Analysis, Kabardino-Balkarian State University, Nalchik, 360 004, Russian Federation.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой