О затухании возмущений в изобарическом следе за телом, обтекаемым вязким сжимаемым газом

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И
Том VIII
197 7
УДК 532. 526. 048.3. 011. 7
О ЗАТУХАНИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ИЗОБАРИЧЕСКОМ СЛЕДЕ ЗА ТЕЛОМ, ОБТЕКАЕМЫМ ВЯЗКИМ СЖИМАЕМЫМ ГАЗОМ
Исследуется распределение возмущенных скоростей и температур в ламинарном изобарическом вязком следе на больших расстояниях за телом или решеткой тел, помещенных в поток вязкого сжц-маемого газа. Показано, что законы течения в этом случае такие же, как и в несжимаемой жидкости, и лишь значения констант, определяемых интегральными законами сохранения, зависят от числа М невозмущенного потока.
Приводятся соотношения, связывающие значения интегральных толщин вытеснения, потери импульса и потери энергии в следе на больших расстояниях за телом.
Ламинарное течение вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкости в дальнем следе за телом рассматривалось в ряде работ, например [1 -4].
В данной работе проводится аналитическое исследование течения сжимаемого газа в следе за телом или решеткой тел. Выявляются некоторые особенности течения в следе за телом, обтекаемым вязким сжимаемым газом.
1. Ламинарное безотрывное течение газа в вязком следе за плоским телом с острой задней кромкой описывается системой уравнений пограничного слоя
А. П. Быркин., И. И. Межиров
(1)
(2)
(3)
4-Ученые записки № 3
49'-
Uix& gt-
Здесь и ниже л'-, у- прямоугольные координаты (ось х направлена по оси следа) — и, v-проекции скорости на оси х, у соответственно- р- плотность- р — давление- h — cpT — энтальпия- Т — температура- ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении- р. — коэффициент вязкости, Pr = f"у! — число Прандтля- -коэффициент теплопроводности.
Граничные условия, которым должны удовлетворять скорость и температура, следующие: на оси следа (_у = 0)
да/ду — 0, с) Т-ду --= О
при у -" оо, и Но, Г ^ Г", где величины их и Too являются, вообще говоря, заданными функциями а-.
Рассмотрим течение на больших расстояниях от тела, где возмущения продольной составляющей скорости, плотности, температуры и т. д. малы по сравнению со значениями соответствующих величин В невозмущенном потоке. В ЭТОМ случае tl — Uoo+ll'-, р = poo -f- р'-- T=ToaJf-t'- и т. д., где и'-, р'-,? — малые величины.
Учитывая, что величина v в следе также мала по сравнению с их, можно провести линеаризацию системы уравнений (1) -(3). Полагая течение изобарическим, получим:
да' д3 и'- ,
Poo «ос -g- - V-LC -ду, (4)
? + *& gt-(&-+&-)-°- (5)
dt'- _ !1и d-f
Poo Uoo -gj- - -p- ^
Видно, что уравнения количества движения (4) и энергии (6)
имеют такой же вид, как и в случае несжимаемой жидкости. Они могут быть решены независимо друг от друга. После определения скорости и'- и температуры t'- вертикальная составляющая скорости v может быть найдена из уравнения неразрывности (5) с использованием уравнения состояния.
Уравнение (4) должно решаться при следующих граничных
условиях:
•^- = 0 при_у=0, и' 0 при у оо. (7)
Решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (7) и условию постоянства избыточного импульса в изобарическом течении, имеет, как известно, вид (см. [1]):
— (В)
«оо у х у 1
здесь x=xjb b -характерный линейный размер тела- г, = (у/х)У Rex — переменная Блазиуса- Rex = pJ0ux: xlii<-xl. Знак минус в формуле (8) обусловлен тем, что скорость в вязком следе меньше ее значения в невозмущенном потоке. Постоянная са определяется из условия постоянства по длине изобарического следа толщины потери импульса 5**:
В линейном приближении
Отсюда находим, выполняя интегрирование,
Таким образом, число М невозмущенного потока влияет на возмущенную скорость в следе только через толщину потери импульса 8**.
На фиг. 1 приведено распределение поперек следа величины (и0 — и'-)1и0 на разных расстояниях от задней кромки пластины, обтекаемой потоком с числом Моо = 4 при значении температурного фактора Гщ,/Го со- 0,6, числе Прандтля Рг = 0,71, показателе адиабаты -/ = 1,4 и степенном законе зависимости вязкости от температуры (показатель степени «= 0,76). Здесь и'-0 — значение возмущенной скорости на оси следа- Тт — температура поверхности пластины- То — температура торможения невозмущенного потока. Данные получены в результате численного интегрирования системы уравнений движения газа в вязком следе за пластиной. Видно, что по мере удаления от задней кромки кривые приближаются к зависимости, соответствующей Моо = 0, определяемой формулой (8).
Уравнение энергии (6) аналогично уравнению количества движения (4). Граничные условия для температуры также аналогичны условиям (7):
- = 0 при у = 0, 0 при у -& gt- оо. (9)
Поэтому распределение температуры V в следе на больших расстояниях от задней кромки тела определяется формулой, аналогичной (8):
_ _ с' 0-п14
Т0 со у~х
е~^4, (10)
где yit = (yjx)Y Re* Рг-модифицированная переменная Блазиуса — под знаком квадратного корня вместо числа Рейнольдса стоит число Пекле НеРг. Постоянная ct зависит от числа Моо и определяется из условия постоянства по длине следа толщины потери энергии Д**:
со _.
2Д** = Г -^-(--J±-dy.
J Poo uco 0 00 /
-oo
В линейном приближении
со f ^2
Д** = - [-4-dy-------… 8**.
J0 со Ср0 со
Отсюда, выполняя интегрирование, имеем:
& lt-«>-
Из формулы (11) видно, что существуют условия, когда в следе в линейном приближении отсутствует неравномерность статической температуры: с (= 0 при
& lt-12>-
При изменении Мсо в пределах Оч-оо отношение Дсоответствующее (12), меняется от 0 до 2. В действительности максимальное значение Д**/8** (эта величина должна считаться заданной) не может, по-видимому, заметно отличаться от единицы. Так, в случае подобия профилей скорости и температур торможения, т. е. в условиях, когда справедлив интеграл Крокко, легко показать, что
Д**/5"* = 1 _ TJT0x.
При этом (А: !-:75**)тах = 1 — случай, соответствующий охлаждению поверхности обтекаемого тела до абсолютного нуля. Поэтому диапазон чисел Мю, в котором возмущения статической температуры в дальнем следе могут отсутствовать, составляет приблизительно 0 у& quot-2/ (¦/. — 1).
Установим теперь связь между толщинами 8**, Д** и толщиной вытеснения 8* в вязком следе на больших расстояниях от задней кромки тела. Величина 8* определяется соотношением:
В линейном приближении с учетом уравнения Клапейрона и условия изобаричности имеем:
Отсюда получаем, используя полученные выше соотношения:
Т и2
__§** 0 00 д**_______ю g"*
¦Г СО ср То 00
или, вводя число Моо:
8* = 3**|1 + (х- 1) Му +(l + (13)
Таким образом, на большом расстоянии от задней кромки толщина вытеснения в следе постоянна.
э
X
Фиг. 2
Из соотношения (13) следует, что при
1 1с0 У (х — 1) (1 — ½ Д**/5**)
толщина вытеснения 8* равна нулю, т. е. в линейном приближении отсутствует вытесняющее действие вязкого следа на внешний поток. При изменении числа Мта в пределах Он- оо величина д**/§**5 соответствующая (14), меняется от 1 до 2. В действительности по причинам, указанным выше, этот диапазон уменьшается до небольшой окрестности единицы. Таким образом, при малых числах Моо и сильно охлажденной поверхности тела толщина вытеснения 8* в вязком следе вдали от тела может быть равной нулю. Формула (13) одинаково справедлива для ламинарного и турбулентного течения.
2. Рассмотрим теперь задачу о следе, образующемся за решеткой плоских пластин (фиг. 2) при обтекании ее вязким газом.
Для описания течения в следе будем использовать уравнения, совпадающие с уравнениями пограничного слоя (1) — (3), с граничными условиями:
ди/ду — 0, v = 0, дТ/ду = 0 ириу — 0, | ^
ди/ду = 0, v = 0, дТ/ду = 0 при у-уш, |
'-'-де yw — половина расстояния между пластинами.
Кроме того, должны быть заданы начальные условия задачи:
и, -и (у), Т = Т (у) и р при л: = 0.
В рассматриваемом приближении давление р постоянно по сечению следа.
Однако в отличие от задач теории пограничного слоя в данной задаче закон изменения давления в продольном направлении является искомой функцией и может быть определен из условия равенства нулю поперечной составляющей скорости v при у =yw. Последнее эквивалентно постоянству расхода по длине следа:
У w
| pudy = const. (16)
о
Как и выше, будем рассматривать течение на достаточно больших расстояниях от задних кромок пластин. Тогда, вводя возмущенные скорости и температуры и линеаризируя уравнения количества движения, энергии и граничные условия (15), а также (16), получаем
да'- __ dp'-. д2 и'
Рос Исо дх _ dx + (Лео дуг ,
df _ dP' Рсо д2 f Роо И-о дх — u™dx~r рг дуч.
ди'- п dt' ««
l0' ПрИ У==0г
ди'- n dt' n
= ~Sy~ ~0 ПРИ У=У"& gt-
(17)
(18)
p
roo
• w w
¦ Г ~-dy-- f -?-dy = 0, (19)
J CO J «со
где индекс «оо» соответствует значениям величин при Л-& gt-ОС.
Сами значения параметров потока при л -«оо для рассматриваемой задачи в предположении использования уравнений пограничного слоя полностью определяются профилями всех величин в поперечном сечении на выходе из каналов, образованных решеткой пластин.
Из уравнений (17), проинтегрированных по у от 0 до уш, граничных условий (18) и условия (19) можно получить, что данное течение обладает следующими свойствами:
У10 У 40
dp'-dx=' 0, ^ и'- dy = 0, | t'-dy = 0.
и о
Таким образом, уравнения (17) с граничными условиями (18) будут совпадать с уравнениями и граничными условиями для за-
дачи о нестационарной теплопроводности конечного стержня с теплоизолированными концами.
Пусть индекс т соответствует произвольной точке на оси следа (х = хт) в области, где справедливы уравнения (17).
При этом зависимости относительной скорости и температуры
от х = xjyw ny = ylyw при х^& gt-хт будем искать в виде
А- == щ (х) и2 (у), = (х) и {у).
ит *т
Подстановка этих зависимостей в уравнения (17) и граничные условия (18) с учетом условия dp'-{dx = 0 приводит к следующим уравнениям:
Re= -& lt-**, RePr-^- = -a*, um (%n) = tl (xm)=, (20)
— a2 u., = d2 u2jdy2, — a212 = d% i. Jdy2, diujdy = dUjdy = 0, | ^ и.2 =2 = 1 ПРИ У== 0, dutjdy = dtojdy — 0 при y=l, j где Ке = рсоЫос^а, Мос& gt- а3 — КОНСТЭНТЭ разделения.
Интегрируя уравнения (20), получаем
щ = ё~ (х~хт tx = е~ ('-х~хт (22)
При л: -& gt- сю возмущения скорости и температуры затухают, причем в данном случае, в отличие от случая, описанного в п. 1, затухание возмущений происходит по экспоненциальному закону. Интегрирование уравнений (21) дает
и2 = t2 = cos (a_y). (23)
В формулах (22) и (23) следует положить я = так как между двумя пластинами решетки скорость и температура имеют только один максимум.
Выражение (23) показывает, что выравнивание профилей скорости и температуры происходит таким образом, что при _у=½ возмущения полностью отсутствуют.
Полученные в данном разделе результаты одинаково справедливы как в случае несжимаемой жидкости, так и в случае сжимаемого газа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.,. Наука14. 1969.
2. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.
3. Архипов В. Н. Плосконараллельное течеиие сжимаемой жидкости в следе за телом. ПММ, т. XXV, вып. 1, 1961.
4. В, а р ж, а н с к, а я Т. С. Пограничный слой на продольнообтекаемой пластине и ламинарный след за пластиной. Сб. работ Вычислительного центра МГУ «Численные методы в газовой динамике», вып. VII, 1967.
Рукопись поступила 24jVI 1976 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой