О значениях поперечников функциональных классов в пространстве l 2

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2012, том 55, № 11_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 5
С.Д. Темурбекова
О ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2
Институт математики А Н Республики Таджикистан
(Представлено академиком А Н Республики Таджикистан М. Ш. Шабозовым 16. 08. 2012 г.)
Получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина, в которых модуль непрерывности функции определён при помощи функции Стеклова. Для классов функций, заданных при помощи указанной характеристики, получены точные значения п -поперечников.
Ключевые слова: наилучшее приближение — обобщённый модуль непрерывности — п-поперечники.
1. Пусть N — множество натуральных чисел- ^ = N и {0} - Я+ - множество положительных чисел вещественной оси- Ь2 := ?2[0, 2 л] - пространство 2 л -периодических измеримых функций, квадрат которых суммируем на [0,2 л] с конечной нормой
2n 1
І2
2n
— f I f (x) |2dx
rr j
½
о
Через 32и_! обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка n — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции f е L2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
а (f) ш
f (х) ~ +? (ак (f) cos кх + bk (f) sin кх (1)
2 к=1
величина её наилучшего приближения элементами подпространства 32п_г в пространстве Ь2 равна
E-i (f) = inf|||f — T- ill: Tn-i?3n-1| =
, ½
= 11/-^,(/& gt-|| = {! р/ ,
где Бп_^/& gt- - частичная сумма порядка п -1 ряда Фурье (1), р^(/& gt- = с^(/& gt- + Ь%(/& gt-, к & gt- п. Через е, (^& gt- = (& gt- обозначим множество функций / е ?2, у которых производные г -1-го порядка /(г 1& gt- абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г& gt- е.
Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734 063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: sofish-83@mail. ru
При решении экстремальных задач теории аппроксимации функции / е ?2, наряду с классическим модулем непрерывности, часто используют различные обобщённые модули непрерывности (см., например, [1−3]).
Следуя работе [1], для произвольного элемента / е Ь2 запишем функцию Стеклова
і x+h
Sh (f, x) = - f f (t)dt, h є R+
2h ,
x-h
и при помощи рекуррентной формулы SA t (f) = SA (Shi_j (f)), i е N, определим оператор усреднения. Если I — единичный оператор в L2, то определим конечные разности первого и высших порядков равенствами [1]
Ah (f, x) := Sh (f, x)-f (x) = (SA — I)(f, x),
Д h (f, x) := Ah (Д ,-), x) = (Sh — I / (f, x) =
к
= S (-1)k-'-(k ] Shi (f, x), k = 2,3,-.
i=0
Для произвольной f е L2 равенством
п* С/, t) := sup {| a k (f, -)||: 0 & lt- h ^t]
определим обобщённый модуль непрерывности к -го порядка.
В [1] доказано, что для произвольной функции f е L& quot-) справедливо равенство
2 sinkh^2k
к=1
дд (f,•) '-=z '-ії(/)|1 -kh
откуда
О 2т{ї(г), і) := Г | к 2гр2к (/)^ 1 -Гр- | :0 & lt- Л & lt- 11
Всюду далее под неравенствами типа Джексона-Стечкина в рассматриваемом нормированном пространстве X понимаем неравенства, в которых величина наилучшего приближения Еп (/)х
функции / є X конечномерным подпространством Жп с X оценивается через модуль непрерывности самой функции / или некоторой его производной /(г) є X:
Еп (/) X := Е (/ Жп) X & lt- хпг О (/ г)& gt-і / п Ї & gt- 0
В данной работе введём в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
Хп. т, — (Л) =Р |
2- тпгЕп-1 (/)
г о тт (/(-), о*
где т, п е М, г е Ж+, к е М+. Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть т, п е М, г е Ж+ и 0 & lt- к & lt- л / п. Тогда справедливо равенство
(2)
(3)
Доказательство. В [1] для произвольной / е ^& gt- доказано неравенство
Е2−1 (/ & gt- & lt- Е-т (/ пг / т й т т (/& lt-г & gt-- ' & gt-+Ё ^ р2 (/& gt-.
к=п к
Умножая обе части неравенства (4) на t & gt- 0 и интегрируя от I = 0 до t = к, получаем
(4)
к2
2
Отсюда следует, что
е2- і (/) & lt- е"2:г (/)п-& quot-т / і о і! т (/& quot-) -і & gt-*+1
1 — соб кЛ 2..2----------Рк (/)•
I 1 Л *
2-,(/)& lt-е-:-(/)2" — 7т{*йтт (/& quot-)-«)* +1
Замечая, что
V Л о
ч2
* ^2біпк, 12
-ПТ)А (/),
тах I
кйп V кЛ
2біпЩ- 1 I 2. пЛ
, 2
— 1 =1 — біп- I, 0 & lt- пЛ & lt-ж, V пЛ 2.
(5)
из неравенства (5) находим
1 —
пк 2
Из последнего неравенства сразу получаем
V Л о
V Л о
или
т
к
0
— т
т
2-П1-геп-(/)
(1 h
(б)
vh о
Так как неравенство (6) справедливо для произвольной функции / е & gt-, то из него следует оценка сверху величины (2)
(h) & lt-j1"-hsin T.
(7)
Для получения оценки снизу достаточно рассмотреть функцию f (x) = sin nx е L, воспользоваться определением величины (2) и легко проверяемыми соотношениями
/-. т
sin nt 1
En-iGfo) = 1, am (fr-t) = nr11-
nt
f 1 h
-f t й m m (f ' -1, t d
= 2й--'-. jl — [-sin —
пк 2
Учитывая совокупность равенств (8), согласно определению величины (2), получим оценку снизу
(S)
2-m-rE--i (fo)
— ft Й Й (/0 г '-, t d
Vh o
= j1-Lisin & quot-h
m І І -h 2.
(9)
Сравнивая неравенства (7) и (9), получаем требуемое равенство (3), чем и завершаем доказательство теоремы 1.
1. Пусть М — некоторое интегрально-симметричное множество, принадлежащее Ь2. Через Ъи (М, Ь2 & gt-, йп (М, Ь2 & gt-, йп (М, Ь2 & gt-, 5п (М, Ь2 & gt- и Пп (М, Ь2 & gt- обозначим соответственно бернштей-новское, колмогоровское, геньфандовское, линейное и проекционное п -поперечники множества М с Ь2. Известно, что между указанными аппроксимационными величинами выполняются соотношения [4, 5]:
ъп (М, ц& gt- & lt- йп (М, 4& gt- & lt- ^ (М, ь& gt- = ?» (М, ь& gt-=П (М, 4& gt-.
Пусть Ф (и& gt- - произвольная непрерывная возрастающая при и & gt- 0 функция такая, что Ф (0& gt- = 0. Для любых т е М, г е М и 0 и к е М+ введём следующие классы функций
К'& gt- (к& gt- = |/ е К& gt-: ^ рйт"С/'-г& gt-- t& gt-Й & lt- 1],
-m
m
m
m
(1 h
Кr)(h,®) = J f е Ц):
(г)
¦A-jtйл/& quot--t)* ?Ф (Л)
Vh о
Также полагаем
?"_i (M) = sup{?"_i (f): f е ОТ|, M е L2,
L sin t) I sin t Л «sin L I
I 1-----: =-jl-------, если 0 & lt- t & lt- •, 1--------, если t & gt- tj,
I t A t t t J
где t» — величина аргумента функции sin t /1, при котором эта функция достигает на R своего наименьшего значения, то есть t — минимальный положительный корень уравнения t = t, 4. 49 & lt- t" & lt- 4. 51.
Теорема 2. Пусть nh & lt- t". Тогда справедливы равенства
У г, К)(h), L ] = y~2n-1К)(h), L ] = E"_, W'-(h)) ^
m A 2. nh'- sin-
v nu
=2. • 1-
n
nh 2
где уп (•& gt- - любой из перечисленных выше п -поперечников.
Следствие 1. В условиях теоремы 2 имеют место равенства
У2n
W (
г)
л
n
, l2
= У2n-1
Wi'-'-
л
V v
n
, L2 =
n-1
л
W® I —
m V n
vл — 4 У
nr
Теорема 3. Пусть для любых к е М+ и п е М мажоранта Ф (t& gt- удовлетворяет ограничению
/ 1/т
f Ф (/г) ^
& gt-¦
2л2
ч Ф (л / n) J n2h2 (л2 — 4) I
Тогда имеют место равенства
Уу, (wmr)(h, Ф) — L2 ] = у,-, (wmr)(h, Ф) — L ] =
л
(10)
E-1 (W ('-)(h, Ф)):
2 V
л- 4
2m Гл — nr '- In.
m
где уп (•& gt- - любой из вышеперечисленных п -поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (10), не пусто.
Следствие 2. В условиях теоремы 3 справедливы равенства
sup{ К (f)|, I b- (f) |: f єШ_'- '-& lt-h-Ф)| 1 n
2m
2^ (n)
• nr '- (n J.
Поступило 17. 08. 2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абилов В. А., Абилова Ф. В. — Матем. заметки, 2004, т. 76, № 6, с. 803−811.
2. Вакарчук С. Б. — Матем. заметки, 2005, т. 78, № 5, с. 792−796.
3. Шабозов М. Ш. — Изв. АН Р Т Отд. физ. -мат., хим., геол. и техн. н., 2010, № 4(141), с. 7−24.
4. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1976, 304 с.
5. Pinkus A. — «-Widths in Approximation Theory — Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
С.Д. Темурбекова
ЦИМАТИ ЦУТРИ^ОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛИИ ФАЗОИ Ьг
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Нобаробарии хдники намуди Ч, ексон-Стечкин, ки дар он модули бефосилагй бо ёри функсияи Стеклов муайян мешавад, исбот шудааст. Барои синфи функсиях, ои аз руи характеристика муайяншуда, кимати паники п -кутрх, о ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин — модули бефосилагии умумикардашуда — п -кутр^о.
S.D. Temurbekova
ON THE VALUES OF WIDTHS OF FUNCTIONAL CLASSES IN THE SPACE L2
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan An exact inequalities of Jacson-Stechkin type for the modulus of continuity, defined by Steklov function are obtained. For the classes of function govern by presented chdracteristic, the «-widths values are calculated
Key words: the best of approximation — generalized modulus continuity — n-widths.
S5S

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой