Параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления для общей математической модели объекта

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Гораздо эффективнее использование градирни, в которой охлаждаемая вода непосредственно контактирует с воздухом, увлажняя его и охлаждаясь не только за счет передачи теплоты воздуху, но и за счет частичного испарения. Воздух в градирню подают с помощью вентиляторов. Унос воды составляет примерно 0,001 от ее расхода. Температура охлаждаемой воды на выходе из градирни оказывается в зависимости от влажности воздуха на 4−5 градусов ниже температуры воздуха, входящего в систему. Это увеличивает температурный перепад на предыдущей ступени, где вода является охлаждающим агентом.
Мощность вентиляторов при использовании градирен по данным изготовителей составляет примерно 0,01 от тепловой нагрузки и с ростом q возрастает линейно. Для контакта с воздухом в градирне нельзя использовать воду, прошедшую химводоочистку или дистиллированную воду в силу их дороговизны, так как эту воду приходится постоянно пополнять из-за уноса.
Выводы
При расчете теплообменных систем нужно учитывать условия их термодинамической реализуемости и выбирать водяные эквиваленты и гидравлические сопротивления для каждого из потоков с учетом затрат энергии на их реализацию. Системы охлаждения суперкомпьютеров требуют значительных затрат мощности на последней ступени передачи теплоты окружающему воздуху. Экономия может быть достигнута только за счет перехода к «влажному» охлаждению.
Другим способом, позволяющим резко сократить затраты энергии на охлаждение, является переход на второй ступени от воздушного охлаждения к водяному, используя холодную воду из артезианской скважины или водоема больших размеров.
Литература
1. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. с нем. 2-е изд. — М.: Мир, 1985. — 520с., ил., с. 466−468.
2. Цирлин А. М. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и микроэкономических систем. М.- Наука, 2003. 349с.
3. Цирлин А. М., Ахременков А. А., Григоревский И. Н. Минимальная необратимость, оптимальное распределение поверхности и тепловой нагрузки теплообменных систем // Теоретические основы химической технологии, т. 42, № 1, 2008, с. 1−8.
4. Кухлинг Х. Справочник по физике.: Пер. С нем. 2-е изд. — М.: Мир, 1985. — 520с., ил., с. 466−468.
5. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям./ под ред.М.О. Штейнбер-га — М.: машиностроение, 1992.
6. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. М.: Мир, 2002.
Параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления для общей математической модели объекта
к.т.н. доц. Полянский В. П.
Университет машиностроения 8(499)267−07−82
Аннотация. В статье рассматривается параметрический синтез оптимального регулятора на основе вариационного исчисления при условии, что математическая модель объекта представляется дифференциальным уравнением в в операторной форме с левой и правой частями в виде алгебраических полиномов относительной переменной р =. В такой же форме представляется математическая модель регулятора. На этой основе получена система уравнений Эйлера-
Известия МГТУ «МАМИ» № 3(17), 2013, т. 2 181
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
Пуассона для экстремальной вариационной задачи. После приравнивания коэффициентов полиномов оптимальной задачи и полиномов, полученных из исходных уравнений объекта и регулятора, получим настройки заданной структуры регулятора.
Ключевые слова: оптимизация, математическая модель, уравнение Эйлера, функция Лагранжа, параметры настроек регулятора.
Пусть математическая модель объекта регулирования описывается дифференциальным уравнением в операторной форме с правой частью, заданной номиналом переменной р = ^
ёг
ж (Р) ь (р)
(1)
(рп + ёп-1рп 1 +… + ё1р + ё0) у = (Ьхрх + Ьх 1 +… + Ь1р + Ь0
при этом п& gt-х- ё (р)у = Ь (р)и-
Математическую модель регулятора также возьмем в общем виде следующим образом.
_яСР)_ _г (р)_
(?*-1рх-1 +… + + %0)и = (Г + Г р +… + гпрп-1) (2)
% (р)и=г (р) У
В качестве функционала качества примем интегрально-квадратический критерий в обобщенном виде с учетом ограничения на затраты энергии на управления в виде
?(у
1 = /|ЕЯ"У (г-1)2 +и2 л (3)
0 V г=1 0
Требуется определить такую структуру регулятора (2) и такие настройки что функционал (3) принял минимальное значение.
Структура регулятора задана значениями г не равными нулю или нулевыми значениями или близкими значениями к нулю.
Для решения задачи оптимизации [1] т. е. нахождения переходного процесса от возмущения в виде неравенства нулю начальных условий у (0) = у10- у (0) = у20- … у (п)(0) = уп0, с учетом краевых условий характеризующих асимптотическую устойчивость.
у (г ® ?) = у (г ® ?) =… = у (п) (г ® ?) = 0
Далее введем в рассмотрение функции Лагранжа [2]. Поскольку ограничения в данном случае представляет собой дифференциальное уравнение: ё (р) у = Ь (р)и, то вместо множителя Лагранжа 1 в функцию Лагранжа должна входить переменная Лагранжа). Тогда функция Лагранжа выглядит следующим образом:
Ь =? ч, у0−1)2 + и2 + 1(г)[ё (р)у — Ь (р)и ] (4)
г=1
Составим уравнение Эйлера-Пуассона для функционала Ь (у, и) от двух функций у (1-) и и (1-) и получим систему двух уравнений:
дЬ ё дЬ, ё дЬ _, 2ч ^
* & quot- ж др+'-. +(-1) 1 ^=ё (-р)1+2?(р)у =0
дЬ ё дЬ 1 дЬ
----+… + (-1)& quot---- = 2и — Ь (-р)1 = 0
ди Ж ди ёга ди (а)
У
где д (р2) = ^ д"р (г-1)2(-1У-1.
1=1
Исключая из этих уравнений переменные и и X, получаем уравнение для экстремалей вариационной задачи.
[й (р)й (-р) + Ь (р)Ь (-р)д (р 2)]у = 0 (5)
Характеристический полином
Л (р) = й (р)й (-р) + Ь (р)Ь (-р)д (р2), (6)
является уравнением степени Р = тах п, {(у + х -1)}.
Пусть для простоты х + у -1 & lt- п. Это полином четных степеней Р и его можно представить в факторизованном виде:
Л (р) = 3(р)3(-р), (7)
где 5(р) — полином степени в, содержащий корни полинома Л (р) с отрицательной вещественной частью.
С другой стороны характеристический полином замкнутой АСР имеет вид:
Др) = й (р)д (р) + Ь (р)г (р). (8)
Составляем тождества д (р) = О (р) и сравниваем в этом тождестве коэффициенты при одинакового степенях Р получаем уравнения для определения искомых настроек регулятора. Пример:
Модель объекта регулирования.
(р2 + ар + йо) у = (Ьо + Ьри. (9)
Модель регулятора
(ёхГ + & amp->- = (г1 + г2р) У. (10)
Критерий оптимальности
?
J = {(?1]У2 + и2
о
Составим функцию Лагранжа
Ь = ЧиУ2 + и2 + 1(1)[{р2 — й1р + йо) у — (Ьо + ^рУА
или
Ь = диу2 + и2 + Щ)(у & quot-+йху+йоу — Ьои — Ь1и'-)
Составим уравнение Эйлера-Пуассона
дЬ — аъ + й! = о
ду й ду^ й2 ду & quot-
дЬ — й _дЬ = о
ду й ду& quot-
Запишем функцию Лагранжа в критерии оптимизации:
(11)
?
1 = | [^11у2 + и2 + 1(г)(у у+ё0у — Ь0и — Ь1и)]ж (12)
0
В соответствии с уравнениями Эйлера-Пуассона построим производные:
дЬ _ Л Л Ч 7
— = 2Чиу + 1(г)ё0 ду
дЬ
— = 1(,)Ж
ду
Ж дЬ. ,. ,
ж ^=1(г)Ж (13)
§=к'-)
ду
4 — = 1& quot-С)
Ж2 ду-
дЬ _ 7 ", ч
— = 2и — Ь010(г) ди
дЬ
дЬ = -Ь1(,) (14)
ди
Ж дЬ 7 «,.
--= -Ь11 (,)
ёг ди& quot-
Подставив производные (13) и (14) в уравнение (11), получим:
Г 1у (,) + 1(г)ё0 -1 (г)ё1 +) = 0 |2и — Ь01(,) + Ь11,(,) = 0
(15)
Ж
Преобразуем систему уравнений к операторному виду с переменной р = -. В резуль-
ёг
тате найдем:
Г (р2 — ё1р + Ж)1(р) + 2д» у (р) = 0 ё (-р)1 + 2дпу = 0
[2и — Ь01(,) + Ь11(,) = 0, 2и — Ь (-р)1 = 0 ()
что по форме соответствует уравнениям (5), записанным в общем виде.
В соответствии с процедурой оптимизации исключим из системы (16) переменную 1(р):
1/ N 2и
Мр)=Ь& quot--Ьр (17)
Затем подставим (17) в первое уравнение (16)
2и —
Ь0 — Ь1р

(р2 — йхр + ёо)--- + 2диу (р) = 0:
после преобразования получим
(р2 -й1р + йо) и + дпу (р)(Ьо -Ьр = о. (18)
Далее определим уравнение и (р) из математической модели объекта (10):
, ч р2 + й р + й", ч и (р) =, -0 у. (19)
Ьо + Ь1р
Подставив (19) в (18), найдем:
(р2 — йхр + йо)(р2 + йхр + йоуу + дх ху (р)(Ьо — Ь! р)(Ьо + Ьр = о.
(й (-р)й (р) + Ь (- р) Ь (р)дх!)у = о. (2о)
Уравнение (20) представляет уравнение для экстремалей вариационной задачи. Из (20) определим характеристический полином.
Л (р) = й (-р)й (р) + Ь (-р)Ь (р)дп, (21)
что представляет собой полином четной степени. Такой полином может быть факторизован.
Л (р) = (р2 — й1р+йо Хр 2+йгр+йо)+дц (Ьо- Ьгр)(Ьо + Ь1р) = = ру — й р3 + йо р2 + й1 р3 — й р2 + й0йг р + йо р2 — йой1 р + й2 =
= р4 + (2йо — й2 — 2д11Ь12) р2 + 2д11Ьо2 + йо2 = о Обозначим коэффициенты уравнения
А = 2йо — й2 — д11Ь12 д1Ь12 & gt- 2йо — й2| =& gt- А =& gt- л/а — 24 В & gt- о
(22)
б = диЬ1 + йо
В результате получим окончательно:
Р4 + Ар + В = о. (23)
Представим (23) в факторизованном виде:
Р4 + Ар + В = (р2 + ар + е)(р2 — ар + с) = р4 + (2с — а2) р + е2
2с — а2 = А с = 4В
с2 = В 24В — а2 = А
а = л/ 24В — А
Примем устойчивое уравнение
р2 + л/ 24В — А р +4 В = о
и определим корни л/2Л/Б — А
рх, 2 =
2 & quot-V
24В — А —В = V24В — А + Л/- А — 24В
4 2 2
Если -А — 24 В & gt- о, то корни р1,2 будут действительными и наборот — А — 24 В & lt- о, то корни будут комплексными.
л/24В — А. л/а + 24 В л1^4В — А. Л/А + 24Б
р =---+]-2-- р2 =--Б--7−2
Найдем устойчивый полином 3(р):
3(р) = (р — Л)(р -р2) =
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология л/^л/В — АА + 24 В Т — А л/А + 2л[в Л
р-----]--- Р----+ ]---
2
04
У^л/в — А | N, А + 24В
2 2
0 4 0
(ГГп: -л2
= р
У2/В
— А +
42л[В — А
2
+1 (а+4 В 2)=
= р2 -424в — ар + (2л/в — а)1 +1 (а + л/в2)= = р2 -424В — Ар + 4В1 (2л/В — А + А + 24В)= 44В
=р2-лЩВ-Ар +тБ
Приведем к такому же уравнение исходного объекта.
Для этого найдем управляющее воздействие и уравнение (10)
1 + Г р и = --у
+ %0
и подставим его в исходную модель объекта (10):
(р2 + ёхр + /0)у = (Ь + ь, р) 1 +12р у
%1р + %0
^ + Ж0)(р2 + Ж1р + Ж0) у = (Ь0 + Ь^. р)(г1 + 12_р)у
рЪ+ й1^ + %0р2 + + %0Ж0 — Ь0Г1 + Ь0Г1р + Ь1Г1р + Ь112р2 ^^ = р3+ (%1Ж1 + %0 + Ь1Г2) р2 + (%1Ж0 + %0Ж1 + Ь0Г1 + Ь1Г1) р + %0Ж0 + Ь0Г1%1ё1 + %0 + Г2Ь1 = 1
ЯА + + Ь01 + Ьг = -У2/Б-А = + +1 (Ь + Ь1) = -л/ 24В — А
%0ё0 + Ь0Г1 =В = 0
1 — + гоп =
— 1 —
— 424В — А — +. (,"оп = Ув —
1 =-
Ь1 Ь0 + Ь1 Окончательный закон регулирования имеет вид:
и (р) = ^^ у (р),
что соответствует ПД — регулятору: и
— = К + К Др — ПД — регулятор
у
/'- г
н = кд =
Литература
1. Александров А. Г. Синтез регуляторов многоконтурных систем. М.: Машиностроение, 1986
2. Рей У. Методы управления техническими процессами. М.: Мир, 1983.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой