Модель нестационарного массопереноса в процессах жидкостной экстракции при перемешивании фаз

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 66. 061. 35
Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров, В. В. Елизаров
МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО МАССОПЕРЕНОСА В ПРОЦЕССАХ ЖИДКОСТНОЙ ЭКСТРАКЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕШИВАНИИ ФАЗ
Ключевые слова: капля, псевдоламинарный пограничный слой, коэффициент массоотдачи.
Рассматривается математическая модель процесса жидкостной экстракции в аппаратах с перемешивающими устройствами. Произведен расчет коэффициентов массоотдачи по предложенной модели, проведено сравнение расчетных данных с результатами экспериментов при экстракции в системах вода — изоамиловый спирт и вода — циклогексан.
Keywords: drop, pseudolaminar boundary layer, mass transfer coefficient.
It is proposed a mathematical model of the process liquid-liquid extraction for apparatus with mixing devices. On the basis of the proposed model calculated mass transfer coefficients in systems water — isoamyl alcohol and water -cyclohexane, these calculated data compared with experimental results.
Введение
Известен ряд эмпирических зависимостей с различными допущениями для описания массоотдачи при экстракции в системе жидкость-жидкость. Однако использование эмпирических зависимостей ограничено условиями проведения экспериментов, что объясняется масштабным эффектом, возникающим при переходе от лабораторного макета к промышленному аппарату. Конструктивные и режимные параметры связаны с диссипацией энергии в объеме двухфазного потока. В зависимости от конструкций аппарата и режимных возмущений в двухфазном потоке создаются различные структуры турбулентного движения. Существующие в настоящее время модели расчета процессов растворения мелкодисперсных частиц небольших размеров в аппаратах с перемешивающими устройствами, используют гидродинамическую модель обтекания взвешенных частиц в ламинарном, переходном режимах или модель пограничного слоя в турбулентном потоке.
Проведенные экспериментальные
исследования характеристик диффузионного пограничного слоя методом голографической интерферометрии позволили установить наличие автомодельности профиля концентрации при различных гидродинамических режимах. Кроме того, в структуре диффузионного пограничного слоя выявлены область с логарифмическим профилем концентрации и область диффузионного подслоя. На основании вышесказанного сделан вывод о том, что пограничный слой на поверхности частицы в потоках с внешней турбулентностью сочетает в себе черты характерные для ламинарного и турбулентного пограничных слоев, поэтому он может быть классифицирован как
псевдоламинарный [1].
Диффузия молекул с поверхности капли в ядро потока сплошной среды при уменьшении частицы и диффузия вещества из сплошной фазы к
поверхности частицы при росте приводит к перемещению границы пограничного слоя. Координаты пограничного слоя изменяются во времени пропорционально скорости изменения размера капли. Перенос импульса и массы в пограничном слое является нестационарным [2]. Рассмотрим задачу нестационарного массопереноса в пограничном слое на капле со стороны сплошной фазы, пренебрегая сопротивлением внутри капли.
Теоретическая часть
При малой скорости относительного движения капли иш и ее размера d, инерционные силы переноса импульса и массы в пограничном слое малы по сравнению с силами трения и молекулярного переноса. Уравнения движения и переноса массы в нестационарном пограничном слое на поверхности капли принимают вид:
ди, д2и д2и
— = v (-дг
до
дг
= D (
дх2 ду
д 20 д20
),
дх2 ду
(1)
(2)
Увеличение и уменьшение размера капли по диффузионному механизму начинается с величины
Перенос вещества с поверхности капли
приводит к увеличению, а перенос к поверхности к уменьшению размера d 0 по координате у. Скорость о роста (+) или уменьшения (-) размера сферической капли представим в виде изменения во времени поперечной координаты пограничного слоя: бу/бт = ±о.
Введем подвижную систему координат: ^ = у ±от ,^ = X. Проводим преобразования переменных в уравнении (1):
ди ди дц ди
дг дЦ дг дЦ
+
+
д2и д2и д2и д2и
ду2 дг)2 ' дх2 д#2
Аналогичные преобразования проводятся в уравнении (2). Подставляя значения выражений (3) в уравнения (1) и (2), получим:
ди, д 2 и д 2 и ,
о + -2),
дг д# дг
дс _.д 2с д 2с
о-= 2).
дг д#2 дг[
(4)
(5)
Введем безразмерные переменные:
и = ¦
с = -
•'-ГР
СГР ~ с СГР — Сш
где с
ГР
концентрация вещества на поверхности капли и в ядре потока- 8 — толщина динамического пограничного слоя- I = Яэ/2 -линейный размер частицы- бэ — эквивалентный диаметр частицы.
Введение подвижной системы координат позволяет перейти от двухмерной нестационарной задачи (1), (2) к двухмерной стационарной с параметром о в виде:
ди (6)
д2 и 8 2 д2 и
дг
+
12 д#2
= ±Reо
дг
д 2с
(7)
12
8Д2 д2с дс
-±------= ±Ре ------,
дг2 12 д#2 & quot- одг
где Reо=оS|v, Рет = о8д!0, 8д =8- Бс
толщина диффузионного слоя.
Поток импульса на внешней границе пограничного слоя:
ГР
ди
8 дг
= (о'-)2
г=1
ди
дг
(0)28
UГРV
и~8 _ 2″ иш
^^ = Ти ^е8-^-.
UГРV иГР
г=1 ГР*
Запишем граничные условия для уравнений
(6) и (7):
при г = 0: и = 1, с = 0 — г = 1: — = Ти 2Re8 --,
дг иГР
с = 1- # = 1:
М. ти = ± (-^4
и" I 15
18 + 0. 61Аг0 5) сЭ фф. (8)
дс
дг
= 0-
# = 0:
и = ¦
4 ГР
ди = дс = 0
КыржпЗбм V
и ж =
Здесь Аг — число Архимеда- Ти -интенсивность турбулентности на границе динамического пограничного слоя- е — скорость диссипации турбулентной кинетической энергии- К^ - критерий мощности перемешивающего
устройства- п — число оборотов мешалки- б м -диаметр мешалки- рЖ — плотность
перемешиваемой среды- и — скорость обтекания частицы- игр = и^ (1-##Сф) — скорость
движения жидкости по границе раздела фаз- #к, #сф — коэффициенты сопротивления капли и
твердой частицы- бэ — диаметр частицы.
Скорость изменения размеров капли по диффузионному механизму записывается в виде уравнения [3]:
о =
= ббэ
бт
фр
'-3(ГР — сы) -.
(9)
бт Эф/ Рд
где фр и ф/ - поверхностный и объемный
коэффициенты формы капли (для сферических
фр = я, ф/ = я/6) — Рд — плотность частицы- /3 —
среднее значение коэффициента массоотдачи в сплошной фазе.
Интегрируя уравнение (9), с начальным условием б = б0 при т = т0, получим размер капли в момент времени т:
б = б о —
фр
(10)
Эф/ рД
-0
где сш = сш (г) — концентрация экстрагируемого вещества в сплошной фазе- Сгр — концентрация вещества на границе раздела фаз, величина постоянная при заданной температуре и давлении. Для расчета начального среднего поверхностнообъемного диаметра капель, образующихся при перемешивании несмешивающихся жидкостей, используется следующее выражение [4]:
б0 = 0. 05Эбм
(2 л Э ^
рп бм
-0. 6
(11)
где, а — коэффициент поверхностного натяжения- р — плотность сплошной среды.
Толщина динамического пограничного слоя определяется из условия и = и т/и ГР при г = 1.
Решение уравнений переноса импульса.
Решение уравнения (6) будем искать в виде разложения по ортогональным функциям:
кя
т
г, (12)
А Ш
и = 1±Tu2Re8 эт2я-г+^ик (^)э1п
2я иГР к=1
где к = 1,3,5,… 2п +1,…- ик (#) — неизвестные
функции от #.
Решение (12) удовлетворяет граничным условиям (8) по координате г. Функции ик (#) должны удовлетворять уравнению (6) и граничным условиям (8) по координате #. Для определения
ик (#) подставим решение (12) в уравнение (6):
и
Г
а
S
-Ti/Res sin2−7+^uk (^)sink- r
2- иГР k=1 2 ,
2^Tu2Res-Uo-sin2−7+~yf-j uk (^)sink-r иГР k=1V 2 J 2
k-
= (1З)
А
2
= Rea TifRescos2^+^-^uk4)cos I urp k=1 2
Умножим левую и правую части уравнения (13) на sin, m = 1,3,5,… 2n +1,…- и проинтегрируем его по г от 0 до 1, учитывая при
этом следующие условия:
1
г. _. m-. 2. m-
I sin2-rsin------rdr = - sin-
1
2
-
2 4-(f
I m |0 при m ф k
r. k-. m-, I «
sin-r sin------rdr = 1 ,
J 2 2 | - при m = k
| cos2-rsin m-rdr
r k-. m-. 2
J cos-rsin------rdr
m+k+2
(14)
2 2 Я, м 1& quot- 1& quot-
0 m + к (-1) 2
После преобразований получим систему уравнений для определения искомых функций ит (#) (т = 1, Э, 5,… 2п +1,…):
& quot- l2 mi
um ==ї Um (S
S
V2, 2 8Tu2Res sin-m-
m-А l2 Uo S 2
2 J S2 U
ГР (m
4-,
2
2
2 «& quot-. m- 2TirRes sin-
ГР
4-if
2
2 + l2 Uo TU2Re-Renlm + (1З)
S2 иГР
— 4
¦ 2 о 2Re"^^ 2
kUk (4)
m+k+2
k=1
Здесь um =
m+k ¦ (-1) 2 d 2Um Re'-S =
и S'
S' =
d 2S г2.
б#2 & quot- V б#2
Таким образом, уравнение (6) в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (15) относительно ик (#). Преобразуем граничные условия (8) по координате #:
ди
84
j о і
=-Tu2RdS sin2−7+Vuk (^)sin-= О. (1б)
4=1 2- k=1 2
Умножим левую и правую части уравнений (1б) на sinr (m = 1,3,5,… 2n +1,… -) и
проинтегрируем его по r от 0 до 1. В результате, при 4 = 1 получим:
«т 2п. m-
2Tu2ReS sin------
S 2
4=1 иГР
4−1^
2 А
du m
d4
(І?)
С граничным условием при # = 0 в условиях (8) проведем аналогичные преобразования:
А О
1±TifReg-^0- sin2-+^uk (0)si
2- иГР k=1
y-r=. (1В)
2 иГР
Поскольку Re^ o = 0, получим:
4=o
4
-m
и 0
л
V иГР
-1
(19)
где т = 1,3,5,… 2п +1,…
Ввиду того, что Real, Regи 8 являются функциями от ?, система уравнений (15) с граничными условиями (17) и (19) решается методом последовательных приближений.
Правую часть уравнения (15) обозначим через Фт (& lt-?, ит) тогда:
(20)
# в
ит (#) =фт (Х& gt-ит)бХбв + С1т# + С2т 0 0
где %, в — переменные интегрирования.
Константы интегрирования С|т и С2т находятся из граничных условий (17), (19).
Общая схема решения следующая: задается первое приближение искомых функций ит (#) ,
например,
Um (1) (#) = const = Um (0).
Затем
определяем значения констант С1т и С2т, используя граничные условия (17) и (19). После этого из решения уравнения (20) получаем
(2)
следующее приближение ит (#) и так далее до достижения сходимости метода.
Для определения толщины пограничного слоя 8 используем условие:
u (4,r)|r=1 = 1 + Х Um (#)sin
2u
(21)
ГР
m=1
где m = 1,3,5,… 2n +1,…
Зависимость толщины пограничного слоя от 4 принимаем в виде степенной
функции: 8(4) = a4b, (22)
где a = const, b = const (b = 0. 5).
Таким образом, определение толщины слоя 8 сводится к нахождению параметра a в уравнении (22). Параметр a определяется из
2
u
о
u
um =
m
2
л
2
u
m
u
о
+
2
Л
условия (21) в результате минимизации интегральной невязки:
ГР
1+ І ит (4)
. m —
sin---------
2
(23)
V т =1
Среднее значение толщины слоя определялось как средне-интегральная величина:
S =
і
JS (4)d4.
В результате упрощения и учитывая размерное выражение (22) 8(4) = а4Ь • І, уравнение (15) можно записать в виде:
& quot- m2−2 1 Um (4) u»
2. m-.
8Tu2ио sin-----1
2 1 1
4 a2 4
¦ТР
(
4-If

a4
0. 5
… 2 ,. m-
Tu 2ио l sin
¦ГР
(
2 o 1 и о Tu 2ucooml
a-t~z------------ ----------- +
2−2v
+ 201-L І
a 4 -=
2 1. 5
ku- (4)
¦ГР
(
2
m+k+2
m + k ¦ (-1) 2
Решение уравнений переноса массы. Решение уравнения переноса массы (7) записывается в виде:
… кя ~2
C = Іе- (4)sin
(24)
k=1
где к = 1,3,5,… 2п +1,…- Ок (#) — неизвестные
функции от #, удовлетворяющие граничным условиям (8).
Для определения ск (#) подставим
разложение (24) в (7):
. к- f --А2 Sn2
-=1
. --
-Іс- (4)si^-2 + Іс- (4)si^-2 r =
-=1
2
= ^оІ^ (4)coS--rj& quot-у
(2З)
-=1
Умножим левую и правую части уравнений
(25) на sin (m = 1,3,5,… 2n +1,…) и
проинтегрируем по г от 0 до 1.
s 2 1
k=1
к- А г. k- m-
C- ~2 j J Si^TrSin- rdr +
к- m-
Д ¦sh & quot-ті -- ¦ m- -і
-Д-Іе- 4) J Sin-rSi^-2& quot-rdr =
l k=1 n 2 2
= Pem І c-
(2б)
к- Аг к-. m-
ck (4)1 ~2 JJ cos-^rSin^rdr.
к=1 V J 0
С учетом выражений (І4) уравнение (2б) запишется следующим образом:
, 2 / 2 l2 f m-
Sr
cm (4) =I — I Cm (4) +
2l
— ^оІ Cm (4)
k=1
k
S
д
m+k+2
m + к ¦ (-1) 2
где т = 1,3,5,…, 2п +1,…
Также как и при решении уравнений переноса массы, от уравнения в частных производных (7) перешли к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (27) относительно искомых функций ст (#). Используя (8) получим граничные условия для ст (#):
де
54
m
о.
Z'- ¦ к-
е- (4)sin^- r
4=1 к=1 2
= 0.
(2В)
4=1
Умножим левую и правую части уравнения
. _ -. Л _ _.
(2В) на sin-------------r, m = 1,3,5,… 2n +1,…- и
проинтегрируем по r от 0 до 1.
11 к-
Іе- (4)Jsin 2-rsinm-ridr = 10 ¦ sinm-rdr, (29)
k=1 o 2 2 o 2
cm (4)
=n.
4=1
(З0)
Для граничного условия при 4 = 0 проведем аналогичные преобразования:
о / Л
І ек (o)sin --r= 1, cm Г0) = - ¦ (31)
к=1 2 7
Система уравнений (2?) с граничными условиями (30) и (31) решается методом последовательных приближений так же как уравнение (1З).
Толщина диффузионного пограничного слоя определяется по толщине динамического в виде [З]:
_
8д (4) = S (4)Sc 2,
где Sc = v ID — число Шмидта.
При решении уравнений переноса импульса и массы в разложении (12) и (24) удерживалось конечное число членов ряда (k = 1), два (k = 1,3) и три (к = 1,3,5). Проведенные расчеты скорости и концентрации в области пограничного слоя показали, что решение уравнений (б), (?) в виде суммы трех членов ряда (к = 1,3,5) в разложениях (12) и (24) практически повторяет решение, представленное суммой двух членов ряда (k = 1,3). Для практических расчетов предлагается решение уравнении (б), (?) представлять в виде:
и (4, r) = 1 ±Tu 2ReSU- sin 2-r + u1 (4) sin
2-
/ ¦ 3-
+ U3(4)Sin — r.
¦ТР
2
r+
c (4, r) = C1(4) sin -2r + Є3(4) sin 3- r r
2
+
V
u
о
2
V
+
где и1(#), иЭ (#), с1(#), с Э (#) — неизвестные
функции, определяемые из уравнений (15), (27).
Коэффициент массоотдачи 3
рассчитывается по величине потока вещества в пограничном слое на поверхности капли:
3 =
о ^
ду
У=0
'-(сгр — Сш),
(32)
где с — распределение концентрации в пограничном слое- у — поперечная координата пограничного слоя.
Для расчета коэффициента массоотдачи по выражению (32) устанавливается распределение концентрации с в пограничном слое и в объеме аппарата сш.
Коэффициент массоотдачи р находится по формуле (32). С учетом разложения С по (24) выражение (32) можно записать следующим образом:
О-
ду
(
ХСт (4& gt-
34) = -
т=1
зП ту
128д
Л
Л
(сгр — сш) — сГР
У=0
сГР — сш
(33)
= °тст (#).
28д т=
Среднее значение коэффициента массоотдачи 3 определяется как
среднеинтегральное по поверхности частицы:
р = р (4)б4.
(34)
Распределение концентрации в объеме сплошной среды.
Изменение концентрации экстрагируемого
вещества на поверхности капли сГР и в растворе сш определяется скоростью переноса вещества с поверхности или, наоборот, из раствора к поверхности и описывается законом сохранения массы.
В аппаратах с перемешиванием изменение концентрации описывается моделью идеального перемешивания [6]:
V
бсх
бт
= 5со — - рр (сш — сгр).
(35)
Учитывая тП = V/3 — время процесса,
решение уравнения (35) получим в виде [3]:
((пг «Л А
С +
РР
V
С ГР +& quot-
с 0
рр 1
-- + - V тП
1
V тП
С учетом начального условия в момент времени т = 0 сш = сН, частное решение примет вид:
с н +
'-ГР
'-П
V
рр 1
¦?-±
V т
(рр 1 А
-- + -
V тг
+±т
V т
-1
X е к П у, (36)
где поверхность контакта фаз Р = /0 — т.
Здесь /0 = 3. 14-бэ^ - поверхность капли диаметра бэ- т — число капель, определяемое по объемной концентрации дисперсной фазы.
Результаты
Для сравнения расчетных значений коэффициента массоотдачи 3 (34) с
экспериментальными данными рассматривается стационарная задача: расчет уравнений проводится при т = т0 = 0 для капель жидкости, начальный размер которых в зависимости от конструктивных и технологических параметров определяется по
уравнению (11), а скорость роста о = 0.
На рис. 1, 2 приведены результаты расчета коэффициентов массоотдачи, полученные по
предложенной методике и сравнение их значений с экспериментальными данными [7] и данными других авторов [8, 9]. Эксперименты [7]
проводились в проточном смесителе диаметром Оа = 38 мм при перемешивании 2-лопастной
мешалкой. В эксперименте участвовали смеси: вода — изоамиловый спирт и вода — циклогексан. Расчет выполнен для т0 = 0 и начального размера капли
б0 = 58 -10−6 м в первом случае и б0 = 50 -10−6 м во втором эксперименте.
Рис. 1 — Зависимость коэффициентов
массоотдачи 3 (м/с) в сплошной фазе от
комплекса пбм при экстракции в системе вода (спл. фаза) — изоамиловый спирт в проточном смесителе диаметром йа = 38 мм при перемешивании 2-лопастной мешалкой: 1 —
расчет по предложенному методу- 2 —
экспериментальные данные [7]- 3 — расчет по модели авторов [8, 9]- 4 — расчет по модели авторов [7]
с
0
+
е
х
і
е
Р8с½хЮ2
1,4
1,2
0,2
0 --------------1-------------1------------1
0,25 0,35 0,45 пс^
Рис. 2 — Зависимость коэффициентов
массоотдачи 3 (м/с) в сплошной фазе от
комплекса пбм при экстракции в системе вода (спл. фаза) — циклогексан в проточном смесителе диаметром йа = 38 мм при перемешивании 2-
лопастной мешалкой: 1 — расчет по
предложенному методу- 2 — экспериментальные данные [7]- 3 — расчет по модели авторов [8, 9]- 4 — расчет по модели авторов [7]
Сравнение результатов расчета коэффициентов массоотдачи по предложенному методу показывает удовлетворительное
согласование с результатами экспериментальных исследований и данными других авторов.
Приведенные результаты математического моделирования и их сравнение с экспериментальными данными на примере процессов экстракции в системах вода -изоамиловый спирт и вода — циклогексан указывают на достоверность полученной математической модели. Разработанная математическая модель позволяет выбирать конструктивные и технологические параметры аппаратов с мешалками для процессов экстракции различных систем.
Результаты работы получены в рамках использования гранта президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-552. 2011.8 (договор № 16. 120. 11. 552-МД от 18. 02. 2011).
Литература
1. Клинова, Л. П. Массообменные процессы и аппараты химической технологии / Л. П. Клинова, Н. Б. Сосновская, С. Г. Дьяконов // Межвуз. сб. / КХТИ. -Казань, 1987. — С. 114−125.
2. Камалиев, Т. С. Проектирование конструктивных и технологических параметров барботажных тарелок по заданной степени извлечения компонентов жидкой смеси / Т. С. Камалиев, Д. В. Елизаров // Вестник Казан. технол. ун-та. — 2011. — № 9. — С. 127−131.
3. Дьяконов, С. Г. Кинетика растворения и роста элементов мелкодисперсной твердой фазы в аппаратах с перемешиванием / С. Г. Дьяконов, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров, Д. А. Кириллов // Теор. основы хим. технологии. — 2011. — Т. 45. — № 4. — С. 400−408.
4. Дытнерский, Ю. И. Основные процессы и аппараты химической технологии: пособие по проектированию / Г. С. Борисов, В. П. Брыков, Ю. И. Дытнерский и др.- под ред. Ю. И. Дытнерского. — М.: Альянс, 2007. — 496 с.
5. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. — М.: Наука, 1987. — 669 с.
6. Кириллов, Д. А. Гидродинамика и массоперенос в процессе дегазации крошки каучука / Д. А. Кириллов, В. И. Елизаров, Д. В. Елизаров // Вестник Казан. технол. ун-та. — 2009. — № 3. — Ч.1. — С. 84−91.
7. Каган, С. З. Определение коэффициентов массоотдачи в
сплошной фазе для систем жидкость-жидкость в
проточном смесителе / С. З. Каган, Ю. Н. Ковалев, В. И. Ильин // ЖПХ. — 1967. — Т. 40. — № 11. — С. 2478−2481.
8. Дьяконов, С. Г. Моделирование массоотдачи в
дисперсной фазе системы жидкость-жидкость с
подвижной поверхностью раздела / С. Г. Дьяконов, В. И. Елизаров, А. Г. Лаптев, О. В. Зайкова // Массообменные процессы и аппараты химической технологии: межвуз. тематич. сб. науч. тр. / КХТИ. — Казань, 1991. — С. 4−14.
9. Лаптев, А. Г. Математическое моделирование
массоотдачи при перемешивании двухфазных сред / А. Г. Лаптев, В. И. Елизаров, С. Г. Дьяконов, О. В. Зайкова // ЖПХ. — 1993. — Т. 6. — № 3. — С. 531−536.
© Т. С. Камалиев — асп. каф. процессов и аппаратов химических технологий КНИТУ, timur_kamaliev@mail. ru- Д. В. Елизаров — канд. техн. наук, доц. каф. автоматизации технологических процессов и производств НХТИ КНИТУ- В. В. Елизаров — д-р. техн. наук, профессор той же кафедры.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой