Парные корреляционные функции стохастического электромагнитного поля

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

MS С 81Р20
ПАРНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Лам Тан Фат, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308 015, Россия, e-mail: virch@bsu. edu. ru
Аннотация. Изучается стохастическое электромагнитное ноле, описывающее сх'-о тепловые флуктуации. Находится общий вид матрицы парных корреляционных функций этеих) но-
Ключевые слова: стохастическое электромагнитное ноле, гауееовекое случайное ноле, уравнения Максвелла, стохастическая модель, корреляционная функция.
1. Постановка задачи. Понятие о стохастическом электромагнитном поло возникает естественным образом при статистическом подходе к описанию электромагнитного ноля, имеющего тепловое происхождение. В этом смысле представление о стохастическом электромагнитном поло восходит к работам Рэлея, Джинса, Вина и Планка при попытке построения ими теории излучения абсолютно черного тела (см., например, |1−4|), Следствием предложенной М. Планком |5| теоретической корпускулярной модели электромагнитного излучения, позволяющей объяснить экспериментальные данные, связанные с тепловым излучением абсолютно черного тола, в теоретической физике возникло, в частности, понятие квантования электромагнитного ноля. При построении этой теории авторы, в то время, исходили из термодинамических соображений, так как не могли последовательно использовать какой-либо формализм теории вероятностей при построении статистической теории теплового излучения, так как соответствующего ее раздана, идейным образом связанного с изученном случайных полой, — теории случайных процессов, фактически, еще не существовало, К настоящему времени развитие теории случайных процессов в двадцатом столетии привело к построению стройной довольно развитой математической теории, которая позволяет, но новому подойти к теоретической задаче математического описания теплового излучения электромагнитного ноля (см., например, монографии |2, 3|, идеи которых развиваются в настоящей работе). Наличие такого подхода к изучению стохастических электромагнитных полой отнюдь, но ведет к необходимости пересмотра современной квантовой точки зрения на электромагнитное ноле, однако дает новые математические возможности при теоретическом моделировании теплового электромагнитного излучения в статистической физике.
В более ранних публикациях мы исследовали частный случай стохастического электромагнитного ноля — т.н. гауссовскую, модель со статистически независимыми и эквивалентными электрической и магнитной составляющими, которая естественна в том случае, когда физически имеется малость величины ноля в среднем квадратичном. Нами полностью был изучен случай, когда ноле, сосредоточенное в ограниченной полости прямоугольной формы, является стохастически однородным (в частности, находится в термодинамическом равновесии). В настоящем сообщении, мы находим общие ограничения на вид парных корреляционных функций стохастического электромагнитного ноля, В частности, наше рассмотрение распространяется и на случай, когда ноле сосредоточено в ограниченной полости. Полученный результат применим как в случае, когда ноле является гауссовским, так и в случае, когда его гауссовость не предполагается. Это, в частности, дает полное описание всего класса гауссовских электромагнитных полой, без дополнительных предположений об их стохастической пространственной однородности и независимости электрической и магнитной компонент. При этом мы, с самого начала, считаем, что ноле обладает нулевым средним значением, что, с одной стороны, с физической точки зрения, всегда выполняется в случае его теплового происхождения электромагнитного ноля, а, с другой стороны, не является каким-то существенным ограничением с математической точки зрения, так как исследование любого случайного ноля всегда может быть сведено к изучению ноля с нулевым средним подходящим неслучайным сдвигом значений его реализаций.
2. Стохастические электромагнитные поля. Электромагнитное поле в вакууме, в пространственной области Q, описывающей полость (она, в частности, может быть и неограниченной и распространяться на все физическое пространств о К3), где сосредоточено тепловое электромагнитное поле, представляется парой (Е (х, Ъ), Н (х, ?)) векторного и псевдовекторного полей на п, значения которых в кажд ой точке х € пи момент времени Ъ подчиняются системе уравнений Максвелла
с — скорость света в вакууме. При записи этой системы уравнений использован векторный дифференциальный оператор Гамильтона V. Если электромагнитное поле сто-
ЕН
циями. Конкретная математическая модель стохастического электромагнитного ноля определяется распределением вероятностей, заданном па семействе всех допустимых реализаций, В дальнейшем, усреднение случайных величин — всевозможных характеристик электромагнитного ноля, но этому распределению вероятностей будем обозначать угловыми скобками (•), Самым важным в математической конструкции стохастического электромагнитного поля является то, что каждая (с вероятностью 1) случайная реализация пары полей (Е (х, Ъ), Н (х, ?)) должна удовлетворять уравнениям (1), то есть являются их решениями. При этом, однако, нужно уточнить в каком смысле эти решения должны пониматься, так как в теории случайных полой их реализации определи-
+ [V, Е] = 0, (V, Н) = 0
с оъ
— [V, Н] = 0, (V, Е) = 0
ъ € К
(1)
ются только лишь на счетном всюду плотном множестве точек. Значения полей Е (х) и Н (х) в конкретной фиксированной точке не являются наблюдаемыми с физической точки зрения, а, наоборот, наблюдаемы только лишь их интегральные характеристики, но физически малым областям пространства. Поэтому пространственные производные в уравнениях (1) нужно понимать в смысле какой-то интегральной метрики, но пространственным областям. Принимая во внимание, что для каждой случайной реализации (Е (х, Ъ), Н (х, ?)) в любой момент времени должен оставаться конечным интеграл по любой пространственной области от функции (Е2(х, Ъ) + Н2(х,?)), который пропорционален энергии электромагнитного ноля в этой области, то естественно выбрать в качестве функционального пространства, в котором расположены случайные реализации электромагнитного ноля, пространство локально квадратично интегрируемых функций, то есть пространственные производные в дифференциальных уравнениях (1) должны пониматься в смысле метрики этого пространства. Таким образом, случайные реализации Е (х) и Н (х) с вероятностью 1 локально квадратично интегрируемы и имеют локально квадратично-интегрируемые производные, но пространственным переменным.
Заметим следующее. В теории вероятностей принято различать па письме случайные величины от неслучайных посредством некоторых дополнительных соглашений. В настоящей работе, мы, с цепью упрощения изложения, не будем следовать этому пра-
ЕН
предетавлять случайные математические объекты.
Таким образом, распределение вероятностей Р стохастического электромагнитного ноля таково, что каждая из реализаций удовлетворяет уравнениям (2) с вероятностью 1, и это свойство является ограничением па возможный выбор распределения вероятностей Р. Это ограничение состоит, в частности, в том, что каждая случайная реализация (Е (х, Ъ), Н (х, ?)) в момент времени Ъ определяется однозначно своими значениями в какой-то фиксированный момент времени ?0, то есть она является условно неслучайной, если заданы ее значения (Е (х, 0), Н (х, 0)) = (Е (х), Н (х)). Это связано с тем, что система уравнений (1) не содержит стохастических источникев. Следовательно, для описания случайного электромагнитного поля (Е (х, Ъ), Н (х, ?)) нужно задать распределение вероятностей Р0 для случайной пары электрического и магнитного полей (Е (х), Н (х)). В свою очередь, па выбор конкретной модели ноля (его распределения вероятностей) должны быть наложены ограничения в виде удовлетворения случайными реализациями с вероятностью 1 тех уравнений в системе (1), которые выражают свойство их бездивер-гептности. Поэтому задача описания всего класса допустимых моделей стохастических
ае
статических бездивергентных случайных полей (Е (х), Н (х)).
Заметим, наконец, что при построении конкретной модели стохастического электромагнитного ноля нужно учитывать что электрическая и магнитная составляющие, но разному ведут себя при отражениях физического пространства, так как Е (х) является векторным полем, Н (х) — псевдовекторным. Это обстоятельство накладывает ограничения па возможный вид их совместного распределения вероятностей с точки зрения его преобразования при поворотах системы координат.
Далее, будем предполагать, что совместное распределение вероятностей случайных
полей (Е (х), И (х)) таково, что остаются конечными их вторые моменты, то есть существуют конечные парные корреляционные функции
К"'-в)(х- у) = & lt-^(а)(х)^(/3)(у)>-, а, в = е, н, г, з = 1, 2, 3 (2)
(далее, наряду с векторными обозначениями, будем применять индексные обозначения для их компонент), где Е (Е) = Е, Е (н) = И. Такое ограничение естественно, с физической точки зрения, так как только такие стохастические электромагнитные ноля можно рассматривать могут представлять интерес, ввиду того, что должно быть конечно среднее значениеКг (Е'-Е)(х- х) + К (н'-н)(х- х)^ /8п в любой фиксированный момент времени ?0, которое определяет среднюю величину плотности энергии стохастического электромагнитного ноля в этот момент времени (здесь и далее подразумевается, что по повторяющимся нижним индексам производится суммирование по их значениям 1,2,3). Набор корреляционных функций (3) обладает очевидным свойством симметрии
4*'-в)(х- у) = К (?'-а)(у- х). (3)
Если оказываются конечными все моменты пары полей (Е (х), И (х)), что имеет место в таком частном, по важном случае гауссовского случайного ноля, то полный набор п ()
этих моментов & lt-П ^)(х^-)& gt-, п € N полностью определяет распределение вероятностей з=1 '-
стохастического электромагнитного ноля.
Принимая во внимание, что условие дифференцируемое™ с вероятностью 1 случайных реализаций (Е (х), И (х)) также можно сформулировать в терминах корреляционных функций Кг (?а'-в)(х- у) и, в связи с конечностью парных корреляционных функций
К (а'-в)(х- у), задачу описания всех возможных моделей стохастических электромагнитных полой мы будем понимать как задачу об описании таких необходимых и достаточных условий для матрицы функций с тензорными значениями К (за'-в)(х- у), которые дают возможность трактовать их как соответствующие корреляционные функции
^(х)^ (у)& gt-.
вт
основано на явном представлении пары случайных полей (Е (х), И (х)), удовлетворяющих с вероятностью 1 условию бездивергептпости. Это представление, наряду с учетом условия положительной определенности матрицы парных корреляционных функций, которому должна удовлетворять матрица парных корреляционных функций пары случайных полой, приводит к общей формуле дня этой матрицы, описывающей весь класс допустимых матриц такого тина дня стохастического электромагнитного ноля. Условие положительности мы обсудим в настоящем раздело.
Очевидно, что корреляционные функции & lt-^(а)(х)^(в)(у)>- пары, состоящей из элек-
Е, И
/ ^) (хН (а) (х)с1×2& gt- = / (х- у Йа) (хцв) (у)^у & gt- 0, (4)
/П Jn2
в которых по повторяющимся индексам, как нижним г,^ = 1, 2, 3 (см. замечание выше), так и верхним а, в = е, н, подразумевается суммирование. Здесь вектор-функции (и& gt-(а) (х), и& gt-2а) (х), и& gt-3а) (х)), а = е, н являются произвольными финитными и бесконечно
х
является также достаточным условием для того, чтобы набор, перечисляемый посредством а, в = е, н матриц-функции (х- у) с г,^ = 1, 2, 3 представлял собой набор
парных корреляционных функций & lt-^(а)(х)^(в)(у)>- для некоторой пары (Е (х), Нз-(х)) векторных случайных полой, что является следствием из известной теоремы Бохпера-Хинчина в применении к рассматриваемому нами случаю |6|,
В силу (3), имеется три независимых корреляционных матриц-функций: К (Е'-Е)(х- у) =
К (Е)(х- у) К (зн'-н)(х- у) = К (зн)(х- у), Кг (Е'-н)(х- у). В терминах этих матриц условие положительности (4) записывается виде
(К (Е)и, ит + (К (н)V, + 2(К (Е'-Н)и, & gt- 0, (5)
где для и (х) и v (x) — обозначения для соответствующих компонент пары вектор-функций w (a)(x), а = е, н- К (Е), К (н), К (Е'-н) — интегральные операторы с ядрами в виде соответствующих корреляционных функций и скобками обозначены скалярные произведения в Ь2(п),
Условие положительности в форме (5) можно переформулировать эквивалентным образом. Для этого воспользуемся тем, что функция и н V произвольны. Тогда заменим функцию V на Л^ ^ множителем, А € К. Тогда (5) запишется в виде
(К (Е)и, ит + А2 (К (н)v, vт + 2А (К (Е'-н)и, vт & gt- 0 ,
Л
к следующему набору неравенств, которые будут, тем самым, эквиваленты неравенству (5),
(К (Е)и, ит & gt- 0, (К (н)v, vт & gt- 0, (К (Е)и, иТ (К (нЧ vт & gt- (К (Е'-н)и,. (6) 4. Описание класса всех допустимых наборов (К (Е), К (н), К (Е'-н)). Наша зада-
вт
ций (К (Е) (х, у), Кг (н) (х, у), К (Е'-н) (х, у)), которые удовлетворяют требованию, чтобы соответствующие им случайные векторные поля (Е (х), И (х)) удовлетворяли с вероятностью 1 уравнениям (V, Е) = 0 (V, И) = 0.
Так как оба уравнения математически одинаковы, то будем рассматривать только второе из них. В классической электродинамике используется общее решение этого уравнения, которое дается формулой [V, А] = И, где векторное поле А (х), х € п представляет собой т.п. векторный потенциал. Тот факт, что такое представление является
И
казать, что оно является также и необходимым, что тесно связано с так называемой
теоремой Гельмгольца об однозначном, с точностью до постоянной, разложении любого ноля па сумму потенциального и солепоидалыюго слагаемых. Эта теорема обычно
Н
области П его определения, которое выражается в виде стремления поля к нулю на бесконечности. Здесь мы строго докажем необходимость представления [V, А] = Н для решений уравнения (V, Н) = 0 для областей П С К3 довольно произвольного вида, равно как и соответствующее уточнение теоремы Ге. ньмго. ньда без использования этого дополнительного условия. Ранее, в работе |4|, нами было дано доказательство теоремы Гельмгольца в случае, когда электромагнитное поло является почти периодическим в среднем квадрати чпом.
Теорема 1. Пусть П — связная обла. сть в К3. Тогда уравнение Н = [V, А] относительно векторного поля А (х), где Н (х) — гладкое (локально в среднем квадратичном) иоле на П, удовлетворяющее условию (V, Н) = 0, разрешимо внутри П, где А (х) —
П
сущеатвует единственное решение А (х), которое удовлетворяет дополнительному условию (V, А (х)) = 0.
? Выберем пару чисел Ь, е & gt- 0 так, что е & lt- Ь/2. Определим для каждого ] =
3
(3ъ32& gt-33) € кубическую область П, = - е, (^ + 1) Ь + е]. Пара областей П
1=1
и Пк с ] = к = {к^ к2, к3} имеет непустое пересечение только в том случае, если jl € {к — 1, к1,к1 + 1} I = 1, 2, 3 при выполнении условия ] = к. Тогда семейство областей {П,-] € ^3} образует атлас, так как у П, = К3, которые являются его картами.
Пусть П — связная компактная область в К3. Доопределим поле Н (х) для всех точек х € К3 П равенств ом Н (х) = 0, Очевидно, что (V, Н) = 0 вне области П. Тогда такое расширение векторного поля Н (х) является гладким в среднем квадратичном локально и в том же смысле удовлетворяет условию (V, Н) = 0. Рассмотрим уравнение Н (х) = [V, А (х)] на всей внутренней части каждого куба П, ] €
Зафиксируем целочисленный вектор ]. Сужение поля Н (х) та куб П, будем обозначать Н](х). При этом поле Н (х) является дифференцируемым продолжением поля Н,(х), Поле Н,(х) представим в виде ряда Фурье
Н,(х) =? Н,(к)е*(к& gt-х) (7)
{к}
по счетному множеству векторов {к}, определяемому величиной ребра куба П, к = (п1е1 + п2е2 + н3е3)/(Ь + 2е), (п1,п2,п3) € Z3. Ряд (7) сходится в среднем квадратичном, так как поле Н,(х) локально квадратично интегрируемо и ввиду компактности П, причем в окрестности точек гладкости поля Н,(х) он сходится равномерно. Решение А,(х) уравнения
Н|(х) = [V, А_|(х)] (8)
будем искать в виде суммы двух слагаемых А,(х) = А (0)(х) + А (1)(х), где первое ела-
гаемое равно А (0)(х) = [И,(0), х]/2, а второе дается рядом Фурье
А (1)(х) =? А,(к)в*(к'-х) (9)
к=0
с суммированием по тому же множеству {к} векторов. Подставляя разложения Фурье для И, (ж) и А (1)(х) в уравнен не И,(х) — И,(0) = [V, А (1)(х)], находим уравнение для коэффициентов А,(к), И,(к) = г[к, А,(к)], которое разрешимо при к = 0,
= (10) к
Из явного вида коэффициентов А,(к) следует, что ряд (9) сходится в среднем квадратичном (при |к| & gt- 1 ряд ^ |А (к)|2 мажорируется рядом ^ |И (к)|2),
Построенное решение единственно, если потребовать (V, Aj (x)) = 0, так как под-
вт
коэффициентов (к, А,(к)) = 0. Тогда выражение (10) является единственным решением уравнения И,(к) = г[к, А,(к)] при к = 0. Автоматически, из этого представления коэффициентов Aj (к) следует, что поле А (1)(х) является гладким в среднем квадратичном, так как сходится ряд
^]к2|А,(к)|2 & lt- то,
{к}
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой в него выражений для Aj (к), 1 € Ъ3.
Если поле И (х) — гладкое в точке х, то ряд (7) сходится к нему равномерно в малой окрестности этой точки, что имеет место дня любого ряда Фурье. Поэтому решение А (1)(х) и, следовательно, поле А (х) также являются гладкими в этой точке х, х
п, и пк и, следовательно в этой точке определены, соответственно, поля Aj (x) и А^(х). Тогда вычитая, уравнения (8) при значениях 1 и к, находим [V, (А, — Ак)](х) = 0. Общим решением этого уравнения является А,(х) — Ак (х) = Vф (x), Доопределим эту функцию на каждом из кубов п, и пк нулем в точках, которые находятся внутри симметрической разности (п, пк) и (пк п,), Тогда такая расширенная функция ф (х) представляется на п, рядом Фурье
ф (х) =ф (к)е4(к'-х). {к}
Следовательно,
Vф (x) = г ^ кф (к)ег (к'-х).
{к}
Так как каждое из слагаемых А,(х) и Ак (х) дифференцируемо в среднем квадратичном, то таким же свойством обладает VФ (x), Тогда, в частности, ряд
ДФ (х) = ^] к2Ф (к)ег (к'-х) (11)
{к}
сходится в среднем квадратичном. Теперь, так как оба векторных поля А,(х) и Ак (х) бездивергептпые, то вычисляя дивергенцию от обеих разности этих полой так, что дифференцирование возможно производить почленно, ввиду квадратичной сходимости ряда (11), получим
^]к2Ф (к)ег (к'-х) =0.
{к}
Таким образом, Ф (к) = 0 ПРИ всех к = 0. Следовательно, А,(х) совпадает с Ак (х) в любой внутренней точке х пересечении П, П Пк-
Так как доказанное совпадение решений А,(х) и Ак (х) имеет место для внутренних точек пересечения любого конечного набора кубов П|, то мы тем самым построили
А (х)
из П, которое на каждом из кубов П, совпадает с А,(х). Это поле, по построению, единственное, которое удовлетворяет условию (V, А) = 0.
Положим, теперь, что поле Н (х) — гладкое в П. Тогда оно является, в частности, гладким в среднем квадратичном, и поэтому, по доказанному, имеется единственное А (х) Н =
[V, А] и (V, А) = 0. Так как в левой части стоит гладкое поле Н (х), то поле А (х) может быть продолжено до гладкого во всех точках П поля, ¦
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что известная теорема Гельмгольца о разложении любого векторного ноля па два составляющих, одно из которых является потенциальным, в второе — солепоидальпым, допускает следующее обобщение.
Следствие. Пусть поле А (х), заданное в произвольной связной области П С К3, является гладким в среднем квадратичном. Тогда оно допускает такое представление А (х) = В (х) + С (х) в любой точке х € П, что имеют место равенства (V, В) = 0, [V, С (х)] = 0 (разложение Гельмгольца). Любые два таких представления А (х) = В1(х) + С1(х) = В2(х) + С2(х) отличаются друг от друга на градиент VФ (x), где Ф (х) — гармоническая в П функция.
? Пользуясь дифференцируемостью поля А (х) сформулируем уравнение [V, А (х)] = [V, В (х)] относительно поля В (х). Это уравнение имеет единственное решение, которое удовлетворяет условию (V, В) = 0. Определим поле С (х) = А (х) — В (х), Очевидно, что, но построению, ротор этого ноля равен пуню. Таким образом, по крайней мере, одно разложение поля А (х) требуемое вида существует. Рассмотрим два произвольных
С1 С2
равенство
(V, А (х)) = (V, С1(х)) = (V, С2(х)).
С другой стороны, ввиду выполнимости для этих составляющих равенств [V, С1(х)] = 0 и [V, С2(х)] = 0, на основании критерия потенциальности поля, существуют функции
ф^х) и ф2(х) такие, что С1(х) = Уф^х), С2(х) = Уф2(х). Подставляя в приведенное выше равенство, получим, что дф1 = дф2,
Так как при этом В1(х) — В2(х) = Уф (х) вместе с С2(х) — С1(х) = Уф (х), где введено скалярное поле ф2 — ф1 = ф, для которого выполняется дф = 0 ¦
Таким образом, из доказанной теоремы следует, что дня задания стохастического поля Н (х) необходимо и достаточно задать стохастическое поле векторного потенциала А (х). При этом в силу линейности связи между Н (х) и А (х), для парной корреляционной функции случайного поля Н (х) полностью определяется парной корреляционной функцией поля А (х). В нашем случае, эта связь между парными корреляционными функциями имеет вид,
г (х, у) = ([v, А (х)]г[у, А (У)Ь) = у)) =
52
= (12)
где К (А)(х- у) — парная корреляционная функция случайного поля А (х).
Дня обеспечения положительной определешюети парной корреляционной функции К (н)(х, у), ввиду произвольности функций у (х), необходимо и достаточно, чтобы была
положительно определена парная корреляционная функция К (. А)(х- у), так как
/52
r: xirjiy) '-Р& gt-«, у) =
ж3
= / ^'-(х)& lt-(у)К|(гаА)(х, у) = (КV'-) ,
ж3
v'-(x) = [V, v (x)].
Тогда достаточность положительной определенности функции К^^х, у) для положительной определенности функции К (^н)(х, у) очевидна. Необходимость же положительной определенности функции К^^х, у) следует из ее определения как парной корре-
А (х)
Обратимся, теперь, к удовлетворению условия, случайное поле Е (х) должно удовлетворять условию (V, Е) = 0. Так как в предыдущих рассуждениях нигде не было использовано условие, что поле Н (х) является псевдовекторным. Существенно было лишь, что оно представляет собой общее решение уравнения (V, Н) = 0, то мы можем воспользоваться уже полученными результатами для поля Н (х) и применить их к описанию случайного поля Е (х).
Вводя случайное поле В (х), как общее решение уравнения (V, Е) = 0 запишем представление Е = [V, В]. Тогда общий вид корреляционной функции К (Е)(х- у) дается
формулой, аналогичной (12),
д2
(х- у) =. /,/ Г/ /-, Л) КЫ (х& gt- У) • (13)
При этом введенное поле В (х) является псевдовекторным и мы отходим от общепринятой схемы, когда электрическое поле Е посредством соотношения
в котором частная производная по времени является независимым от поля А (х) случайным векторным полом. Для положительной определенности корреляционной фч: к-
(Е) ^
ции К- (х- у), как и выше необходимо и достаточно, чтобы была положительно определенной корреляционная функция К (В)(х- у) При этом имеет место (К (Е)и, и) = (К (В)и'-, и'-), где достаточно, чтобы и'- была произвольной финитной функцией.
Наконец, проанализируем возможность удовлетворить последнему неравенству из набора неравенств (6). Прежде всего, нужно найти выражение дня корреляционной функции К^Е'-Н)(х- у). Подставляя в определение этой функции (см. (2) при, а = Е, в = Н) выражения для стохастических полей Е (х) = [V, В (х)] и Н (х) = [V, А (х)], получим
д2 д2 /^Е, Н)(х-у) = ---(Б/(х)Дг (у)) = ---А^'-А)(х-у).
'- джйдут д^дут
Деперь, подотавляя в лквую часть последнего равенства в (6) выражения
и, и =
(К (В)и'-, и'-) и (К (НЧ у) = (К (А)у'-, V'-), а в правую — выражение дня и, у), по-
лученное в результате преобразований
/д2
4(х)г/п (у)К??'-А)(х, у) = (К (В'-АЧ у'-К
в результате, находим эквивалентное неравенство
(К (В)и'-, и'-к (К (А)у'-, у'-к & gt- (К (В'-А)и'-, у'-^, (14)
которое достаточно, чтобы оно выполнялось при всех непрерывных финитных функциях и'- и V.
Полученная совокупность неравенств (14) и (К (В)и'-, и'-) & gt- 0 (К (А)у'-, V'-) & gt- 0 означает, что матриц-фупкция вида
К (& quot-'-в)(х- у), а, в = В, А, г,-/ = 1, 2, 3
ху
Это влечет за собой возможность определить пару случайных полей (В (х), А (х)), для которых эта матрид-фупкдия является матрицей парных корреляционных функций
К (-, в) (х- у) = (В (х)А (у)), а, в = в, а, г,-/ = 1, 2, 3.
Таким образом, нами доказано следующее утверждение.
Теорема 2. В общем случае, совокупность парных корреляционных функций К (а'-в)(х- у) а, в = е, н стохастического электромагнитного поля (Е, Н) допускает представление в виде
sfЕ)(х- у) = •/¦/ … ?). nj)!hll /ч /'-'-'-'-'- (х- у)'- (х- у) = … ?). nj)!hll к'-& quot- л (
где совокупность
AlfH)(x- у) = ?iH?jmn dxkdym Kin А) (х- у)'- KiB'-B)(x- y), KiA'-A)(x- y), KB'-A)(x- y)
является набором парных корреляционных функций упорядоченной пары случайных полей (B (x), A (x)).
Эта теорема дает ответ па поставленный во введении вопрос об общем виде корреляционной функции стохастического электромагнитного ноля.
Литература
1. Бори М. Атомная физика/ М.: Мир, 1965 — 492с.
2. Плапк М. О законе распределения энергии в нормальном спектре /7 Избранные труды / М.: Наука, 1975. С. 259−267.
3. Федорюк М. В. Метод перевала / М.: Наука, 1977. 368 е.
4. Лам Тан Фат, Вирчснко Ю. П. Гауееовекие почти периодические в среднем квадратичном еоленоидальные векторные поля /7 Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & amp- Physics. 2014. 5(176)-34. C. 134−141.
5. Рытов C.M. Теория электрических флуктуации и теплового излучения.- М.: Изд. АН СССР, 1953.
6. Рытов С. М., Татарский В. И., Кравцов Ю. А. Введение в статистическую радиофизику, ч.2 Случайные поля/ С. М. Рытов.- М.: Наука, 1978.- 464с.
7. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики / М.: Мир, 1970. — 428 с.
8. Фат Л. Т., Вирченко Ю. П. Движение частицы в случайном стохастически однородном и изотропном магнитном поле с частотным спектром белого шума// Материалы международной конференции & quot-Дифференциальные уравнения и их приложения& quot-26−31 мая 2013, Белгород/ Белгород: Политерра, 2013.- С. 192−193.
9. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Эдиториал, УРСС, 2001.
10. Фат Лам Тан, Вирченко Ю. П. Стохастически однородные и изотропные магнитные поля// Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & amp- Physics.- 2013.- 19(162) — 32. '--'-C. 176−183.
11. Фат Лам Тан, Вирченко Ю. П. О теореме Гельмгольца для почти-периодических в среднем квадратичном векторных полей// Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & amp- Physics.- 2013, — 26(169) — 33, — C. 99−104.
12. Лам Тан Фат, Вирченко Ю. П. Стохастически однородные и изотропные еоленоидальные iwceoBCKHC ноля// Тезисы зимней математической школы С.Г. Крейна/ Воронеж: ВГУ, 2014, — С. 204−208.
13. Лам Тан Фат, Вирченко Ю. П. Гауееовекие почти периодические в среднем квадратичном еоленоидальные векторные поля// Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & amp- Physics.- 2014, — 5(176) — 34. -'- C. 134−141.
PAIR CORRELATION FUNCTIONS OF STOCHASTIC ELECTROMAGNETIC FIELD
Lam Tan Phat, Yu.P. Virchenko
Belgorod State University, Studericheskaya St., 14, Belgorod, 308 007, Russia, e-maiI: virch@bsu. edu. ru
Abstract. Stochastic electromagnetic field that describes heat fluctuation in vacuum is studied. The general form of pair matrix correlation functions of the field is found.
Key words: stochastic electromagnetic field, gaussian random field, Maxwell'-s equations, stochastic model, correlation function.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой