Модель субдиффузии радона во фрактальной пористой среде

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 955
МОДЕЛЬ СУБДИФФУЗИИ РАДОНА ВО ФРАКТАЛЬНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ *
Р.И. Паровик1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684 034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683 032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: romanparovik@gmail. com
Рассмотрена модель субдиффузии радона без адвекции. С помощью функции Грина найдено решение модели. Показано, что оно является обобщением ранее известного классического решения.
Ключевые слова: функция Грина, обобщенная функция Райта, функция типа Миттаг-Леффлера
© Паровик Р. И., 2013
MSC 35C05
MODEL SUBDIFFUSION RADON IN FRACTAL
POROUS MEDIUM
R.I. Parovik1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684 034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683 031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: romanparovik@gmail. com
We consider a model of subdiffusion radon without advection. With the help of the Green’s function found a solution model. It is shown that it is a generalization of the previously known classical solutions.
Key words: Green function, generalized function Wright, function of Mittag-Leffler
© Parovik R.I., 2013
*Работа выполнена в рамках проекта №°12-ЬОФН-16 «Фундаментальные проблемы воздействия мощными радиоволнами на атмосферу и плазмосферу Земли» и при поддержке Министерства образования и науки РФ по программе стратегического развития ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» на 2012−2016 гг.
Введение
Радон — радиоактивный газ, находящейся постоянно в геосреде и эманирующий в приземный слой атмосферы с разной интенсивностью в зависимости от деформационных возмущений и других факторов. Изучение радона как предвестника землетрясений официально началось в 1966 г. после сильного апрельского землетрясения в г. Ташкенте с М=5,2. Именно тогда были успешно спрогнозированы автершоки этого события по концентрации радона в грунтовых водах. Вследствие, чего в дальнейшем выросла практическая значимость математического моделирования процесса переноса радона.
В этой работе мы рассмотрим режим массопереноса радона в пористой фрактальной среде — режим субдиффузии. Субдиффузия радона — процесс диффузии радона во фрактальной пористой среде, который протекает медленнее обычного режима диффузии. Это обусловлено тем, что геосреда обладает сложной топологией каналов между порами. Каналы изгибаются, сильно изрезаны, а в некоторых случаях могут разрываться, например, в силу наряжено-деформированного состояния геосреды, поэтому процесс переноса радона замедляется.
Режим субдиффузии характеризуется дробным показателем в, который входит в уравнение диффузии как порядок дробной производной по времени. В работе [1] этот показатель соответствует доле каналов, открытых для протекания вещества. Такой процесс обычно называют нелокальным по времени, а фрактальную среду, в которой он происходит, средой с памятью. В этом работе мы рассмотрим режим субдиффузии радон с позиции математического моделирования.
Постановка задачи и методика ее решения
Будем искать объемную активность радона, А (п, в) в области
П = {-^ & lt- п & lt- те, в & gt- 0},
а также считать, что перенос радона осуществляется только с помощью диффузии. Уравнение переноса радона можно записать так:
— = Г) е 3 2АП в) — * (А (П, в) — Ате). (1)
Здесь Г) е — коэффициент диффузии, X — постоянная распада радона, Ате — равновесное значение объемной активности на некоторой глубине, производная порядка
0 & lt- в & lt- 1 понимается в смысле Герасимова-Капуто и определяется следующим образом:
двА (П, в) 1 } дА (п, С)(. ^)-в ^
-дГ~ = г (Г-з)/(1 -° ^
Для уравнения (1) известны граничные и начальные условия:
А (0, в)= 0, Иш, А (п, в)= Ате, А (п, 0) = ф (п). (2)
П ^-те
Решим задачу (1)-(2) методом функции Грина. Для этого найдем функцию Грина из следующей задачи Коши:
дв 02 В (п, в) _ д202 В (п, в) —
дв в) — Де дп) +Х°2 В (п, в)= 0 (3)
с2, в (п, 0) = 8 (п).
Здесь 8 (п) — функции Дирака. Сделаем преобразование Лапласа по в и косинус-преобразование Фурье по п уравнение (1). Получим следующее уравнение для трансформанты с учетом, что ^ [8 (п) (к)] = 1:
2,в (к Р) = рв + Дек2 + X = рв + (Дек2 + X). (4)
Для изображения (4) известно [2], что обратное преобразование Лапласа по р дает:
1
G^ (k, в)= L
Рв + (Dek2 + Я)
(в) = вв-^в, в — [Dek2 + Я]вв. (5)
. z^
Здесь Ea в (z) = Е w---^ - функция типа Миттаг-Леффлера. Обратное преоб-п=о Г (аk + в)
разование Фурье для формулы (5) по k дает следующий результат:
G2^ (n, в) = Ц вв-1 Eв, в ^ [Dek2 — Я] вв) cos (kn) dk. (6)
o
Теорема. Функция Грина (6) при значении параметра в = 1 переходит в функ-
n2
-Яв-
цию G2)1 (n, в) =
e 4t De
2 Vх п Det
Доказательство. Доказательство. Пусть в (6) в = 1, будем иметь:
G2,1 (n, в) = 1J E1,1 ([Dek2 — Я] в) cos (kn) dk = (7)
G2)1 (n, в) = ~j exp ([Dek2 — Я] в) cos (kn) dk.
o
Интеграл в формуле (7) можно вычислить по справочнику [3] его значение совпадает с функцией Грина для классического уравнения диффузии:
exp (-XQ — п2
2,1 (п, в) = - г-^~4 ^ -. (8)
2у/ П ?& gt- е4
?
Отметим, что согласно справочнику [4] функция 8 является фундаментальным решением одномерного нестационарного уравнения диффузии с поглощением вещества.
Обобщение функции Грина на случай супердиффузии с дробным показателем
1 & lt- а & lt- 2 дается следующей формулой:
те
Gа, в (n, в) = вв-^в, в ([De |k|а — Я] вв) cos (kn) dk.
0
В работах [5]-[6] была найдена функция Грина в виде специальной функции Стокса
в случае, когда в уравнении (1) X = 0. Рассмотрим следующую задачу Коши:
двА (п, в) Д д2а (п, в). — А (п в)= 0 (9)
----двв-------------Де дп 2 + (п, в)= 0, (9)
А (п, 0) = ф (п), Иш, А (п, в)= 0.
п -- ±те
Согласно теореме о свертке двух функций, решение задачи (9) можно записать следующим образом:
те
А (п, в и/ ф (& lt-§)2,в (п — I, вЖ.
те
Если в правой части уравнения (9) имеется функция источника Р (п, в), тогда решение задачи Коши имеет вид:
те 4 те
А (п, в) = / ф (& lt-§)в (п — I, в Ж + /1 р (& lt-§, т) Ов (п — I, в —.
— те 0 -те
Рассмотрим более общую задачу Коши:
два, в (п, в) — д2а Оа, в (п, в),, п ^ п, . «а ^
двв Д-е дг]2а + -Оа, в (п, в)= 0,1 & lt- 2а & lt- 2, (10)
Оа, в (п, 0) = 8 (п).
Можно отметить, что при значении, а = 1 задача (10) переходит в задачу (3). Применяя преобразование Фурье по в и Лапласа по п, получим соотношение для транс-
форманты:
Оав (к, р) = в 1, ,, Л = -Де |к|2а. рв + Л + /I
Это уравнение можно записать следующим образом:
Оа, в (кр) = рв +Л + X = р/ЧЛ (, Л.
I + рв + V
В силу выполнения условия погрешности вида:
Л
p
& lt- 1 имеем сумму убывающей геометрической
с (_ л) и
Gа, в (k, p) = Е (в, Я) И+1.
n=0 (^в IЯ)
Обратное преобразование Лапласа согласно соотношению:
L-
1
, nIl
_n=0 (pа I Я)
приводит к следующему результату:
Е
n=0
вв n+в-^ я) Ч в (-Я вв
n!
Gа, в (k, в)= Е
(-Л)п ввn+в-1 / д
n=0
n!
дЯ) E0л & lt-- Явв
Из литературы известно [7], что
(n I 1, 1)
(в n I в, в)
-Я вв
где 11 (n) = 11
(а, а) (М, в)
к=0 к! Г (д + в к) этому можно трансформанту можно записать так:
n

n kГ (а I аk)
— обобщенная функция Райта. По-
Gа, в (k, в) = Е
(n 11, n)
(в n I в, в)
-Я вв
n=0
n!
Обратное преобразование Фурье дает:
Gа, в (n, в) = Е
(n 11, 1)
(в n I в, в)
-Я вв
F-
n=0
n!
De |k|2^ И
1
n
1
1 «В!вв^-1 |n| -n-1sin (аnn)Г (2аn11)
n=1
n!
11
(n I 1, 1)
(в n I в, в)
-Я вв
= (11)
Deвв
вв-1 «n
№ ««l

sin (апя) Г (2а n 11)
n!
l^l
(n 11,1)
(в n I в, в)
-Я вв
Можно показать, что функция Грина задачи (11) в случае, когда, а = в = 1 переходит в известную функцию (7). Функция Грина Оа в (п, в) является решением уравнения субдиффузии, но и также супердиффузии. В литературе два обычно режима объединяют понятием «аномальная диффузия» [8].
n
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрен режим субдиффузии радона. Найдена функция Грина для задачи Коши субдиффузии радона во фрактальной среде. Рассмотрены обобщения задачи переноса радона в режиме субдиффузии и супердиффузии.
Библиографический список
1. Nigmatullin R.R. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133. P. 425−430.
2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
3. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. С. 800.
4. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. С. 576.
5. Паровик Р. И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде // Вестник СамГТУ. Сер. Физико-математические науки. 2010. № 1(20). С. 127−132.
6. Паровик Р. И. Метод функции Грина для одного дифференциального равнения дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2010. № 1(1). С. 17−23.
7. Kilbas A.A., Srivastava H.M.,. Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 c.
8. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. № 8. С. 847−876.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 27. 09. 2013

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой