Модифицированный вихрь Куэтта

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК МГСУ
4/2010
модифицированный вихрь куэтта
А.Л. Зуйков
МГСУ
Рассмотрен профиль азимутальных скоростей в циркуляционно-продолъном течении в трубе за непрерывным или локальным завихрителем. Описание профиля получено из точного решения Куэтта уравнений Навье-Стокса для равномерного движения.
The profile of azimuthal velocity in a circulation-longitudinal flow in a pipe for a continuous or local swirlers is considered. The profile description obtained from the exact solution of the Couette flow Navier-Stokes equation for uniform motion.
Установившееся равномерное цнркуляцнонно-продольное течение является достаточно распространенным видом движения жидкости, оно имеет место в теплообменниках ядерных энергоустановок, в аппаратах химической и микробиологической промышленности, его наблюдают в аортах сердца. В технологических каналах такое течение поддерживается непрерывными завихрителями (рис. 1).
Рис. 1. Непрерывные завихрители потока: а — шнековый, б — ленточный, в — проволочная навивка, г — оребрение, д — спиральная накатка
Для исследуемого течения уравнения Навье-Стокса и неразрывности, записанные в цилиндрической системе координат г-в-г при установившемся (д|дt = 0) равномерном (дш/дг = ди/дг = = 0) осесимметричном (д/дв = 0) движении, имеют вид
дт и2 д, р ", д 2ш дш ш.
ш---=--(- -П) + е (-- ±---)
дг г дг р дг гдг г
д (ru), д u дu u.
ш--- = е (-2 ±--г)
rdr д r r 8r r
dv и p и v uv
v — - (- -П) + ?(- + -)
dr & quot-
a (p
8z p
& quot-3 r7
dv rdr'-
(1)
д (rrn) r д r
= 0,
(2)
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
где ш, м и V — радиальная, азимутальная и продольная составляющие местной скорости течения, р — давление, П — потенциал внешних сил, р и е — плотность и кинематическая вязкость жидкости.
Для течения в цилиндрической трубе с непроницаемыми стенками по уравнению неразрывности (2) находим ш — 0. Тогда система уравнений Навье-Сокса (1) приводится к виду
и! = А (Р_П)
г д г р д 2и ди и
-Т ±--Г = о
дг гдг г
. д2V дV. д, п
е (-г ±) = - (-
дг гдг дг р
Второе уравнение записанной системы
-[ = 0, д г гд г
после интегрирования имеет решение
С
и = С1г + (3)
г
Распределение (3) называют вихрем или профилем Куэтта. Оно показывает, что такое циркуляционно-продольное течение в общем случае является комбинацией вынужденного (С1 г) и свободного (С2 /г) вихрей. Следуя (3), азимутальную скорость можно выразить как сумму
и = и1 + и 2, (4)
где и1 — азимутальная скорость вынужденного (твердого) вихря или вихревая составляющая циркуляционно-продольного течения
и1 = С1г, (5)
и 2 — азимутальная скорость свободного (естественного) вихря или потенциальная составляющая того же течения
С
г
Представим теперь и1 и и 2 как
и1 = к1и и и 2 = к 2 и, (7)
где к1 и к2 некие коэффициенты (к1 & gt- 0, к2 & gt- 0), сумма которых равна
к1 + к 2 = 1, (8)
а их отношение
и, к,
— = 1Т'- (9)
и 2 к 2
показывает пропорцию вихревого и потенциального вращения в общем циркуляцион-но-продольном течении (4). С преобладанием к1 по отношению к к2 в потоке будет преобладать вихревая составляющая, и такое течение будет иметь более выраженные
и 2 = (6)
черты квазитвердого вращения, в обратном случае — структура течения будет более соответствовать потенциальному потоку. Из (5)-(7) далее находим
u
C 1 = kx- и C 2 = k 2 ur. r
Приведем эти константы к единой размерности, использовав для этого характерный размер потока — радиус R цилиндрической трубы. Преобразовав Cj и С 2 в новые комплексы CjR и С2/R с единой размерностью [ м/с ], мы можем их формально сложить
C = C, R + = П R + - = u (k, R + k2 r), j R R 1 r 2 R
и в результате получить
r/R
u = C •
к1 + к2()2 '-
Неизвестную константу С, имеющую размерность скорости, можно определить по граничному условию у стенки трубы, где г = К и и = и К. С учетом равенства (8),
находим С = и К, тогда
г/Я
и = иК----т. (10)
К к1 + к2(гК)2 (10)
Легко показать, что профиль азимутальной скорости по (10) имеет максимум и = ит на радиусе г = гт, для чего продифференцируем (10) по г и приравняем производную нулю, в результате находим: ди/дг = 0 при
к & quot- к2 = 0'-
при этом также д2и/дг2 & lt- 0, таким образом, условия положительного гладкого максимума, при котором г = гт Ф 0 и и = ит, записываются как
Г
h. k.
2 V
Поставляя равенство (11) в (8), находим
R
(11)
r2 R2
k, = 2 22 2 и k2 -Т. (12)
1 R2 + r2 R2 + r2 V —
и поставляя его же в (10), окончательно получим
г (К2 + г2)
и = ик К (2 ^ 2). (13)
К (гш + г)
Назовем распределение (13) модифицированным вихрем Куэтта. Найдем теперь максимальное значение азимутальной скорости при г = гт
к2 + г!
ит = и"" т. (14)
2 кг _
4/2010
ВЕСТНИК _МГСУ
Если теперь функцию радиального распределения азимутальной скорости (13) выразить относительно этого максимального значения, то получим
2 г «г
(15)
u = u
m 2 2
rz + r
m
Насколько формулы модифицированного вихря Куэтта отражают реальную структуру циркуляционно-продольного течения, можно судить по рис. 2, где выполненные по (13) и (15) расчетные кривые нанесены сплошными линиями на экспериментальные точки многочисленных исследований.

i, u
OJJ
M
м. :
¦к


1 k


U'-it,

1
1
.
1


t, fl Xf а
а,& quot-
пл il j n& gt- ОД 6
и'-и
m
Рис. 2. Профили азимутальных скоростей по: a — Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. [1], б — Сабурову Э. Н., Карпову C.B., Осташеву С. И. [2]
Как видим, модифицированным профилем Куэтта может быть описан любой вихрь от вынужденного до свободного, включая все промежуточные формы. Более того, этим профилем описываются не только равномерные, но и неравномерные (ow/dz Ф du/dz Ф dvfdz Ф 0) циркуляционно-продольные течения, формируемые локальными завихрителями. Так например (рис. 3), описывает характерное распределение скоростей в затухающем циркуляционно-продольном течении в цилиндрической трубе Osami Kitoh [3].
Рис. 3. Структура циркуляционно-продольного течения в трубе за лопастным локальным завихрителем (показаны справа)
Убедившись в том, что комбинированный вихрь хорошо описывает профиль азимутальных скоростей циркуляционно-продольного потока, проведем краткий анализ формулы (13). Согласно (13) на оси вращения азимутальная скорость всегда равна нулю в любом циркуляционном течении, содержащем ненулевую вихревую составляющую (k1 Ф 0), при этом потенциальная составляющая в потоке может иметь любое значение. Соотношение вихревой и потенциальной составляющих в общем потоке, определяемое равенством (9), с другой стороны по (11) равно квадрату отношения радиуса rm, на котором азимутальная скорость имеет максимальное значение, к радиусу трубы R, а пропорции вихревого и потенциального вращения в циркуляционном течении в целом определяются равенствами (12), сумма которых равна единице.
Отмеченные равенства показывают, что только при rm = 0 мы имеем безвихревое, то есть потенциальное, вращение, при котором k1 = 0, k2 = 1 и где согласно (13) u = uRR/r, что соответствует закону вращения свободного вихря. В этом частном случае, неизбежен разрыв сплошности потока несжимаемой жидкости в приосе-вой зоне в виде полого вихревого жгута [4], ибо вблизи оси вращения при r ^ 0 азимутальная скорость нарастает до u ^ да, что физически невозможно.
Основной случай (k1 Ф 0, k2 Ф 0). Можно видеть, что потенциальная составляющая будет превалировать над вихревой (k1/k2 & lt- 1) в таком потоке, где реально наблюдается экстремум азимутальной скорости в толще течения, когда согласно (11) rm/R & lt- 1. Частный случай, когда вихревая и потенциальная компоненты находятся в
равновесии k^/k2 = 1, характерен тем, что при этом экстремум азимутальных скоростей приходится на стенку трубы rm /R = 1. В потоке, где экстремума у профиля
азимутальной скорости не наблюдается, а это имеет место, когда азимутальная скорость от нулевого значения на оси нарастает до своего максимума только у стенки трубы, но при этом у стенки не соблюдаются условия положительного экстремума, при котором du/dr = 0, du /д r2 & lt- 0, мы имеем течение с преобладанием вихревой составляющей (k1/k2 & gt- 1), поскольку в этом случае rm /R & gt- 1. То есть такой профиль имеет экстремум, но он лежит на виртуальном или мнимом радиусе за пределами трубы.
И, наконец, третий частный случай, когда в потоке отсутствует потенциальная составляющая, получаем при k1 = 1, k2 = 0 с радиальным распределением азимутальных скоростей по закону вращения твердого тела u = uRr/R, в этом случае
rm/R ^ W.
Таким образом, соотношение вихревого и потенциального вращения в циркуля-ционно-продольном течении может быть определено по радиусу, на котором азимутальная скорость имеет максимальное значение, даже, если это виртуальный максимум.
Литература.
1. Vatistas G.H., Lin S., Kwok C.K. An analytical and experimental study on the core-size and pressure drop across a vortex camber//AIAA Pap., 1984, 1548.
4/2010 М1 ВЕСТНИК
2. Сабуров Э. Н., Карпов С. В., Осташев С. И. Теплообмен и аэродинамика закрученного потока в циклонных устройствах. Л., Изд-во ЛГУ, 1989.
3. Kitoh O. Experimental study of turbulent swirling flow in a straight pipe // J. Fluid Mech., 1991, 225, 445−479.
4. Волшаник В. В., Зуйков А Л., Мордасов А. П. Закрученные потоки в гидротехнических сооружениях. М., Энергоатомиздат, 1990.
Ключевые слова: циркуляционно-продольное течение, уравнения Навье-Стокса, азимутальные скорости, непрерывные и локальные завихрители, вихри вынужденный и свободный, профиль Куэтта.
Key words: circulation-longitudinal flow, Navier-Stokes equation, the azimuthal velocity, continuous and local swirlers, forced and free vortices, the Couette profile.
Рецензент: профессор д.т.н. B.C. Боровков.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой