Периодический аналог краевой задачи Римана

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Культура и искусство


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 53
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ АНАЛОГ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА © А.В. Васильев
Ключевые слова: краевая задача Римана- индекс.
Рассматривается периодический аналог классической краевой задачи Римана для верхней и нижней полуплоскости и приводятся теоремы о разрешимости в зависимости от индекса этой задачи.
1. Классическая краевая задача Римана на прямой [1, 2] заключается в нахождении пары функций Ф±^)^ € R, допускающих аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) комплексную полуплоскость C±, соответственно, граничные значения которой на вещественной прямой удовлетворяют линейному соотношению
$+(z) = G (t)$-(t) + g (t), t € R. (1)
Давно известны многочисленные применения этой задачи в различных физических и технических вопросах [1, 2]. Ключевую роль в решении задачи (1) играет интеграл типа Коши
Ф (г) =dr, z € C±, (2)
2ni у z — т
— Ж
с помощью которого решение задачи (1) дается в явном виде [1,2].
Существует и другая разновидность краевой задачи Римана (ее называют задачей Римана — Гильберта), где линейное соотношение типа (1) связывает граничные значения действительной и мнимой части аналитической в единичном круге функции [1, 2]. Эта задача решается с помощью другого сингулярного интеграла с ядром ctg x, именно
2п
-П / Ф (т)ctg T--t dT& gt- (3)
0
понимаемого в смысле главного значения. Мы покажем, что сингулярный интеграл (3) можно использовать в качестве инструмента для решения другой задачи (мы называем ее периодической задачей Римана), которая возникает при исследовании дискретных сверток на полуоси [3].
2. Рассмотрим в комплексной плоскости C верхнюю и нижнюю полу-полосы
П± = {z € C: z = x + iy, x € [-п, п], ±y & gt- 0}
и сформулируем следующую краевую задачу: найти пару функций $±(z), аналитических в полу-полосе П±, соответственно, граничные значения которых удовлетворяют линейному соотношению
& lt-S>-+(t) = G (t)& lt-^-(t)+ g (t), t € [-п, п], (4)
где G (t), g (t) — заданные на отрезке [-п, п] функции, G (-п) = G (n), g (-п) = д (п).
2466
Можно определить целое число ж, называемое индексом задачи
п
ж = J d arg G (t),
— п
в терминах которого описывается картина разрешимости уравнения (4). В общем, она аналогична картине разрешимости классической краевой задачи Римана, и получается переходом от полу-полосы к единичному кругу. В случае G (t) = 1 задача (4) называется задачей скачка.
Теорема 1. Если функция g (t) удовлетворяют условию Гёльдера на отрезке [-п, п], то единственное решение задачи скачка, исчезающее на ж, дается формулой
п
1 [ Т — z
Ф (г) = ш1 Ф (т)ctg"Т~dT, z е П±'-
-п
Теорема 2. Если ж = n, n Є N, то задача (4) имеет только такие решения, которые описываются формулой
Ф+Z = Sn (z)er+ (z), Ф-(z) = e-izn Sn (z)er-(z),
где
П П n
1 It / _int--4 /. t Z 1
r (z) = 4- / ln (e intG (t)) ¦ ctgdt + 4- / ln (e intG (t))dt, Sn (z) = cke ikz
J n J k=o
со, сі, сп — произвольные постоянные.
Теорема 3. Если ж = -п, п Є N, то для разрешимости задачи (4) необходимо и достаточно выполнения условий
П
j e~it (k~l)dt = 0 k = 1,2,3, … n, (5)
J X+(t)
где X+^) = вГ+(: г).
При выполнении условий (5) решение задачи (4) единственно.
3. Эта задача может быть с успехом использована для изучения некоторых классов многомерных дискретных уравнений. Начальные результаты в этом направлении приведены в [4, 5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
2. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
3. Vasilyev V.B. Discrete convolutions and difference equations // Proceedings of Dynamic Systems and Applications. 2008. V. 5. P. 474−480.
4. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. On some discrete equations in a half-space //ARGESIM Report no. S38: Preprints MATHMOD 2012, 15−17 February 2012. Vienna. Abstract Volume. Editors: Inge Troch, Felix Breitenecker. P. 384.
5. Васильев А. В., Васильев В. Б. Дискретные уравнения и периодические задачи // Труды 55-й научной конференции МФТИ. 19−25 ноября 2012. Москва — Долгопрудный — Жуковский. Управление и прикладная математика. M, 2012. Т. 1. С. 25−26.
Vasilyev A.V. PERIODIC ANALOGUE OF RIEMANN BOUNDARY PROBLEM
2467
A periodic analogue of classical Riemann boundary problem for upper and lower half-plane and describes solvability theorems depending on the index of the problem is considered.
Key words: Riemann boundary problem- index.
УДК 517. 983
ОБРАТИМОСТЬ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В МНОГОМЕРНЫХ КОНУСАХ
© В.Б. Васильев
Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение- конус- обратимость- условие Дирихле.
Рассматривается модельное псевдодифференциальное уравнение в многомерном конусе и при некоторых дополнительных условиях описывается структура общего решения псевдодифференциального уравнения в пространствах Соболева-Слободецкого.
1. При изучении разрешимости псевдодифференциальных уравнений в областях с негладкой границей одним из ключевых моментов является описание условий обратимости модельного оператора в канонической негладкой области. Если граница содержит коническую точку жо, то речь идет об обратимости оператора
и (х) --& gt- I [ А (хо,?)ехй (№, (1)
с+ к™
где А (х,?) — символ оператора А- С+ = {х Є И,™: х = (х1, …, хт), хт & gt-ах'-, а>- 0, Х = = (жі,…, жт_і), другими словами, требуется обратимость оператора (1) с замороженным полюсом х, т. е. с символом А (-,?), не зависящим от х.
Мы рассматриваем псевдодифференциальное уравнение вида
(Аи)(х) = f (х), х Є С+, (2)
в многомерном конусе С+ в пространствах Соболева-Слободецкого Н5(С"), где, А — псев-додифференциальный оператор с символом А (?),? Є И™.
Уравнение (2) — типичное модельное уравнение при исследовании разрешимости псевдо-дифференциальных уравнений на многообразиях, граница которых содержит конические точи (ситуация с гладкой границей подробно описана в [1]). Для решения этой задачи автор [2] ввел понятие волновой факторизации символа эллиптического оператора относительно конуса С+ и в двумерном случае описал условия обратимости оператора (1) при наличии такой факторизации. Здесь рассматривается существенно многомерная ситуация (т ^ 3) и специальные типы граничных условий в пространствах Соболева-Слободецкого Н5(С").
Пространство Соболева-Слободецкого Н5(И™) — это гильбертово пространство (обобщенных) функций с конечной нормой [1]
\и\2 = / и (02(1 + е)2^.
и™
2468

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой