Алгоритм отыскания наиболее жесткой конструкции крыла при заданных требованиях механики разрушения для нижних монолитных панелей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И, А Г И
Т о м XI 1 9 8 0 № 2
УДК 629. 735. 33. 015. 4:539. 43+539. 219. 2
АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИБОЛЕЕ ЖЕСТКОЙ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ПРИ ЗАДАННЫХ ТРЕБОВАНИЯХ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ ДЛЯ НИЖНИХ МОНОЛИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ
В. Г. Лагутин
Предлагается алгоритм отыскания наиболее жесткой конструкции крыла с учетом требований механики разрушения для нижних монолитных панелей. Хрупкое разрушение в панелях происходит при нанесении в центральной части панели тестовой сквозной трещины заранее заданной длины, которая может быть обнаружена в условиях эксплуатации. Объем силового материала при поиске оптимальной конструкции задается и не изменяется. Для определения разрушения нижних панелей, передающих сдвиг и растяжение, используется для учета тестовой трещины частный случай критерия локального разрушения Г. П. Черепанова в форме равенства [1]. Учитывается влияние толщины нижней панели на критический коэффициент интенсивности напряжений.
1. Силовая конструкция крыла при заданном объеме силового материала может быть оптимальна по жесткости [2], но не оптимальна по прочности в случае возникновения в ней усталостных трещин. Поэтому возникает задача перераспределения заданного объема силового материала между элементами крыла таким образом, чтобы жесткость крыла была максимальной, а возможные усталостные трещины с длиной меньшей, чем те, которые обнаруживаются при эксплуатации, не приводили к хрупкому разрушению крыла.
Рассмотрим упругую конструкцию крыла, которая нагружена системой сил и состоит из п -г т мембранных изотропных конечных элементов (КЭ) с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона р*. В пределах каждого КЭ толщина постоянна, а перемещения изменяются по линейному закону. К числу п КЭ относятся стенки лонжеронов и нервюр, а также панели верхней поверхности крыла. К числу т элементов относятся нижние панели крыла, для которых необходимо выполнить требования механики разрушения и при этом обеспечить максимальную жесткость крыла.
Предполагается, что участки конструкции не теряют устойчивость. Для оценки хрупкого разрушения каждого у-го КЭ из т КЭ (/ = лг 1, п + 2,.. , т) от возможных усталостных трещин условимся наносить прямолинейные сквозные проверочные (тестовые) трещины в центральной части каждого /-го КЭ. Если мембранные КЭ четырехугольники, то центральной частью считаем для определенности место пересечения его диагоналей. Тестовую трещину в каждом /-м КЭ будем наносить в центральной части КЭ в следующем направлении (здесь и далее везде используем местную систему координат х, у для каждого КЭ).
В направлении, перпендикулярном растягивающему напряжению ох, которое действует в направлении оси х. В этом положении тестовая трещина подвергается нормальному разрыву от зх и поперечному сдвигу от касательных напряжений т*, у, которое действует на КЭ в осях х, у.
Введем следующие обозначения:
5/-площадь мембранного КЭ, аппроксимирующего работу г-й верхней панели стенки. Здесь и далее везде /=1, 2, … ," — бд, ¦1 — постоянная в пределах г'--го КЭ толщина при Д^-й итерации-
(r)л?+1, г — постоянная в пределах /-го КЭ толщина при N-{- 1-й итерации-
6у-площадь мембранного КЭ, аппроксимирующего работу /-й нижней панели. Здесь и далее везде у'-= п 1, п + 2,.. , т-
Ддг у-постоянная в пределях у-го КЭ толщина при Л^-й итерации-
, у- - постоянная в пределах у-го КЭ толщина при УУ+Ьй итерации-
ах N / - нормальные напряжения ах в направлении местной оси х для у-го КЭ при А-й итерации. Аналогично & lt-зх дг ,• для /-го КЭ-
З.г Л'--Ц у-нормальные напряжения ах в направлении местной оси х для у-го
КЭ при N + 1-й итерации. Аналогично ах ¦ для /-го КЭ-
д, у — нормальные напряжения ау в направлении местной оси у для у-го
КЭ при А-й итерации. Аналогично ^ ,• для /-го КЭ- а дг_|_1 ] - нормальные напряжения су в направлении местной оси у для у-го КЭ при N + 1-й итерации. Аналогично чу ^+1. для /-го КЭ-
Тху /V у-касательные напряжения 1ху в местных осях х, у для у-го КЭ при Л^-й итерации. Аналогично 1ху дг 1 для /-го КЭ- гХу ЛЧ-1 / - касательные напряжения тху в местных осях х, у для у-го КЭ при
N + 1-й итерации. Аналогично тху -У+1 для /-го КЭ-
*Л- ДГ, '-) — ах. Л?, jAN,) — (1 ¦1)
погонные усилия для А-й итерации от ах Л, ¦ в у-м КЭ, вычисленные при Дд, у. Аналогично хЛ._ 1 для /-го КЭ с заменой Ддг_
на ЪЫ'- {,
* ЛГ, N.) ~~ °у, /V, / ДЛ у — (1. 2)
погонные усилия для А-й итерации от ау& gt-, в у-м КЭ, вычисленные при Дд, Аналогично У ^ д, ¦1 для /-го КЭ с заменой Дд^ -
на 5дг^ • -
ТN. к, у = у, д / ДА'-, ] ~~ (1. 3)
погонные усилия для А-й итерации от т Л7& lt- ¦ в у-м КЭ, вычисленные при Дд,. Аналогично 7™дг 1 для /-го КЭ с заменой Дд, ¦ на 5^ г-
ЛЛ'-+1. ЛГ+1,) — с-г, Л'+1, у йлг+1, / «(1−4)
погонные усилия от д,+1. на N + 1-й итерации в у-м КЭ. вычис-
ленные при Ддг^^у. Аналогично -Гдг+1 д, + 1 1 для /-го КЭ с заменой
дл/-н, / на йДГ+1. /& gt-
^ + 1. ЛГ+1, У = 3у, Л’Ч-1. 1 ДЛ'+1, / - (1. 5)
погонные усилия от ау дг_|_1 у на 1-й итерации в у-м КЭ, вычисленные при Ддм ь. Аналогично Л7+1 / Ддя *"го КЭ с заменой
длЧ-1, у на 5Л7 ±1, /'
ЛЧ-Ь Л7+1. у = тлгу, ЛГ + 1, у АЛ/ + 1, у „(1. 6)
погонные усилия от т_ у на N1-й итерации в у-м КЭ, вычисленные при Ддг,! Аналогично 7^+1 дг+1& gt- 1 для /-го КЭ с заме-ной Ду+1& gt- у на 0д, + 1 /-
^ЛГ+1. N,/==ax, М, / АЛГ+1,у — (1. 7)
погонные усилия ОТ а^. ^ у В у'--М КЭ, вычисленные при Ддг+1/--
Глг+1. лг, У =ау, л^. у АЛЧ1,/~ (1.8)
погонные усилия от ^ у в у-м КЭ,'-вычисленные при Д, у+1 р
^N+1, АТ, / = тху, N. у АЛ/+1, / - (1. 9)
погонные усилия ОТ ЪХУ'- дг^ у в у-М КЭ, вычисленные при Ддл1 у,
им, N, 1= '-2И 1 ~ (, л0)
^ А, у
энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при у- и Ду у на УУ-й итерации, где
?2У, / = /V, у +Л -У, у — 2^Л7, Л7, / Л^, У & quot-+ 2 0 + Iх) у“
= с-1»
2/: оуУ. /
энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при /?уу. и Д^ д. на ДГ-й итерации, где
л / - лг, / + /V, / ~ 2^лг. /V. / & gt-4 дг, / + 2 (1 + Iх) ?л Д7, /I
п
ГТ — *& quot- + 1. / 5/ _, 19ч
Чу+1, лг+1, / -
^аАЧ-1,У
энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при у и Ау, 1 у- на
N + 1-й итерации, где
+ 1, /^^АЧ-1, ЛГ+1. У + ^#+1. ЛЧ1, У — 2^Л7 + 1, ЛЧ-1, / ^+1, Л' + 1, У «*~
+ 2(1 +[х) 7*+1 В дг+1,/
тт — ^4−1, * /|
^АГ+1, ЛЧ-1. I ~ --------- „1КМ& gt-
*?°/? + 1, I
энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при /?дг+], ,• и о^+1 на А^+1-й итерации, где
ЛГ+1, I =ЛГ + 1, ЛЧ-1, / + ^ЛГ+1, ЛЧ-1. * „2^Л7 +1, Л/ + 1, /ЛЧ-1, ЛГ+1, / +
-± 2 (1 + [*) ^+1# ДГ+1& gt- {у
иЫ, и, } = 2е1 1 1'- (1'-14)
энергия деформации у-го КЭ, вычисленная при Яд^у и АлЧ-1, у“
^лг+1, лг. / = 2?%' ' '- - (,-15)
^°д г 4-!, I
энергия деформации /-го КЭ, вычисленная при и & amp-у+1,
/ - заданная полудлина сквозной тестовой трещины в у-й панели, которую можно обнаружить при эксплуатации-
1, Л7+1. уу, у = алг, Л7, *1 = Л Д7& gt- V — С1−16)
аЛ7+1, у
коэффициент интенсивности напряжений /С, нормального разрыва, вычисленный ДЛЯ тестовой трещины В /-М КЭ при Л’д j И Адг^.! у*,
*11. ЛГ+1. /V, У = тху, N. / У711 == д '- - У ~ (1−17)
коэффициент интенсивности напряжений /Сц поперечного сдви-
га, вычисленный для тестовой Трещины В у-М КЭ при 1ху д- j
и АЛГ+1, у
Для ТеСТОВОП Трещины В каждом /-М К Э При усилиях Хм+1, N. у- Тм+1, л у А^-й итерации и толщинах 8уу+1,у М+1-й итерации потребуем выполнение критерия локального разрушения Г. П. Черепанова в его частном виде, в форме равенства (см. [1], стр. 255):
(К, ЛГ + 1, Л у + К\, N+1, А^. у)2 + 4АГ?, ЛЧ1. Лу /Си, ЛЧ1, N. у — Л ' =0', (1−18) здесь
К=У~Щ~- (1. 19)
критический коэффициент интенсивности напряжений (см. [1], стр. 200−201), где ^ - удельная необратимая работа образования поверхностей трещины, равная
А д- 11
Тс '- д ' 1 при ДлЧ-1, /& lt- Д-
Т1 г 1 (тг — 71 с) ~х~~- при Д#+1. У & gt- д.
*N+1. у
(1. 20)
Величина, А (см. [1], стр. 502) представляет собой толщину /-й панели, соответствующую максимальному значению 7 = величина 7, с — наименьшее значение 7 (для толстых пластин).
к^
(1. 21)
, с 2 Е '
Т1С=^4^!1, (1. 22)
где Кс и Л“, с — критические коэффициенты интенсивности напряжений для плоско-напряженного и плоско-деформированного состояний трещины.
Подставляя (1. 16), (1. 17) в (1. 18) с учетом (1. 19)-(1. 22), (1. 7), (1. 8), получим два значения Л, Д2 для Длг+1,у, при которых выполняется критерий (1. 18):
4. = +у/л-^. ('--23& gt-
-[*?-*?"(1 —: х2)1 А + /Гк]- кс (1 — !х2)]2 Д2 + (1 — У^~
Д2= -----------------------------------------------------,(1,24)
2/^(1-^)
где |/л77 = ^ V (Лй.У + П, у)2 + 4^, 7л-,, .
6--Ученые записки* № 2 81
Если Л!'-#,/& lt-0, то при подсчете Аы% / нужно использовать у = 0, так как происходит смыкание трещины. В зависимости
от значений величин Д1? Д2, А величина Ан+и принимает следую-
щие значения:
^N+1,1=^ при Д,& lt-Д- (1. 25)
Адг+1, / = Д2 при, А 1 Д. (1. 26)
2. Постановка задачи. Пусть известны толщины о. у, /, Д. у,/, заданные произвольно с выполнением условия постоянства объема:
п т
У& gt-,/5г+ V АЛ. ! Б] - V-
1=1 ]=п+1
здесь V — заданный объем силового материала.
Пусть известны усилия /?лг,/, RN. fi полученные из конечно-элементного расчета конструкции при толщинах о^. г, А, у,/.
Необходимо указать такой алгоритм отыскания толщин 8^+1§/-, А^+1,/& gt- ПРИ котором выполняются следующие условия:
1) условие сходимости по энергии
п т п т
У. их+1, л'-, / + 2 ^у+1, лг, / ^ ^ ^ 1 Н» 2 дг' ^ ^)
/ = 1 /="-[-1 / = 1 ]-П +1
п т п т
^ЛГ+1. ЛЧ1, I Т ^ДЧ1. АЧ1, У ^ ^ ^/У+1, ЛГ. / + ^ ^+1, Л /, (2. 2)
г-1 / = /2-{-1 /-1 /="+1
т. е. условие непрерывного уменьшения энергии деформации-
2) условие постоянства объема силового материала
п т
У олч-1,/5- -ь ^ А, чп / 5у= 1/- (2. 3)
г =1 /=я+1
3) критерий локального разрушения (1. 18).
При решении поставленной задачи используем следующие основные допущения и ограничения:
— при К, лч-1, и, / =^= 0- ЛГн, Л7−4-1, лг, у ф0 начальный дефект- трещина полудлиной /0 — развивается по некоторой криволинейной траектории до реальной трещины, суммарная длина участков которой равна 21. Предполагается, что тестовая прямолинейная трещина длиной 2/, используемая в расчете, по разрушающей способности не менее опасна, чем реальная трещина-
— иолудлина тестовой трещины / и нагрузки на конструкцию
таковы, что о*. & lt-0,830. 2, гДе ао, 2 -напряжение текучести матери-
ала у-й панели, т. е. можно использовать критерий (1,18) —
-- изменением способности у-й панели передавать усилия Х\ д*. у, при нанесении тестовой трещины пренебрегаем-
— экспериментально определяемая величина А, вообще говоря,
К
зависит (см. [1], стр. 149) от отношения 1'ЛГ+ЬАГ'-/ ^ однако этой
ли, N +1, N. у
зависимостью пренебрегаем и считаем везде, А постоянной величиной-
— предполагается, что в итерационном процессе нет ситуации,
т
когда V Длг+В противном случае необходимо увели-
/=л+1
чить заданный объем V.
3. Решение задачи. Рассматриваемый ниже алгоритм обеспечивает такой выбор 8N+1,1, Длг+1,/, при котором:
а) энергия деформации фиктивного состояния конструкции
п т
У ?/лц-1, л/, * + У 1. ЛГ,/,
I /=л+1
вычисленная при 8^+1& gt-|-- Длг+1,/- Их, С, /& gt- принимает минимальное значение при ограничениях (2. 3), (1. 18) —
б) энергия деформации конструкции на М+ 1 итерации
«т
У? Лу+1, Л-' + М + ^ ^+1 -Л7+1. У,
/=1 /=я + 1
вычисленная при 8, у+1, Г, Длг+1, /- /?лг+1. Г, /?лг+1, /, принимает минимальное значение согласно началу наименьшей работы (см. [3), стр. 599): «из всех напряженных состояний тела, статически соответствующих заданной внешней нагрузке тела, условиям сплошности удовлетворяет то единственное, которое обращает потенциальную энергию деформации тела в относительный минимум44. Точность выполнения уравнений сплошности при толщинах 8дг+1& gt- /- Длч1, у и усилиях /?лг+1,/- /?лг+1. / зависит, очевидно, от выбранной конечно-элементной идеализации конструкции.
Задача минимизации энергии деформации фиктивного состояния конструкции
п т п г)2 о т г)2 о
Х^/7 I ГГ V1 I 1 | V1 & quot-, / /
X ^+1& gt- / ¦+ 1 ия+и Л'-. / = N --- + N Щ-
1=1 у=п+1 1=1 уУ+1- 1 /=/2+1 лг-Н,/
но переменным 8дг+1|/, Дуу+1,у, при ограничениях (2,3), (1. 18), экви-
валентна задаче минимизации энергии
п т
У и^г% N. / + У Аг, у
* = 1 /=/2 + 1
только по переменным 8у+1, I при ограничениях (2. 3), если толщины Ауу+1,у найдены по формулам (1. 25), (1. 26). Решение указанной задачи получим по методу множителей Лагранжа:
ТП
1/- ^ Д-У + 1, у 5-
5#+1.» = /?лг. /-----------------------------------^-, (3. 1)
2 — 1
где значения Дл?+1,/, удовлетворяющие критерию локального разрушения (1. 18), определяются по формулам (1. 25), (1. 26).
После окончания итерационного процесса, т. е. когда
п тп пт
У? Лу+1, ЛГ+1, I + У ?/лг + 1, ЛГ+1, у — У иЫ, ЛГ, I — 2 лг, —
г = 1 /=я+1 /=1 у*=я + 1
(г — наперед заданное малое положительное число), определяются напряжения в каждом элементе конструкции, которые соответствуют распределению толщин (3. 1). При известных напряжениях, начальной длине трещины 2/0, конечной длине тестовой трещины 21 можно определить число п/ пульсирующих циклов (например, по формуле Пэриса или формуле Г. П. Черепанова [1]), после приложения которых тестовая трещина приведет к хрупкому разрушению /-й нижней панели. Интервал времени до первого после начала эксплуатации конструкции осмотра для обнаружения возможных трещин необходимо определять С учетом найденного пр
№ итера- ции 5Л 1 2 л 3 У N. N, 1 + Jr^N, N. 2 + JГUN, /V, 3 Уы +1, N. 1 + + УЫ+^, 2 + + ^N+1, N. 3 ^Л7-+1, ЛГ+1, 1 + + ^4−1,Л7+1,2+ + ^Л/+1, ЛЦ-1, 3
мм даН-мм
1 3 3 3 48 489,09
46 030,22
2 3,257 399 3,53 728 0,1 850 214 45 918,62

3 3,20 778 3,119 859 0,1 057 294

Используя все принятые выше обозначения, рассмотрим в качестве иллюстрации применения предложенного алгоритма задачу отыскания толщин 8дг& gt-ь 8#& gt-2, з участков тонкостенной трубы (см. рисунок) максимальной жесткости, которая скручивается моментом М= 16* 106 даН-мм и имеет следующие геометрические размеры: длина трубы 1 = 294 мм, длина кривой аЬс I, = 1840 мм, длина кривой ас1с /, о= 1390 мм, длина участка ас ?3=195 мм- площадь, ограниченная контуром аЬса, Бх = 164−103 мм2- площадь, ограниченная контуром ас! са, Б2 = 114,3−103 мм3.
Для материала трубы приняты следующие значения постоянных: Е = 0,7−104 даН/мм2- ^ = 0,3- Д = 4мм- ус = 4,82 даН/мм- ъс = = 1,2 даН/мм.
Тестовая трещина полудлиной /=10 мм (2/ & lt-С/-3) наносилась в центральной части внутренней стенки трубы толщиной Ддз в направлении, перпендикулярном главному растягивающему напряжению, которое возникает от касательных напряжений т-Ху, ы, з, воспринимаемых этой стенкой. Объем силового материала V —
— 30,2085−105 мм3.
Из результатов расчетов, приведенных в таблице, видно уменьшение энергии деформации, вырождение толщины стенки Дд3 практически на второй итерации (IV= 2). Таким образом, если исходить из возможности возникновения трещины в средней, плохо просматриваемой при эксплуатации стенке, то из условия работоспособности конструкции максимальной жесткости следует предусмотреть суммарное усиление крайних стенок примерно на 10%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., «Наука», 1974.
2. Комаров В. А. О рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. Труды КуАИ, вып. XXXII, 1968.
3. П ап ков и ч П. Ф. Теория упругости. Л.- М., Оборонгиз,
1939.
Рукопись поступила 181VIII 1978 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой