Алгоритм управления по выходу с компенсацией синусоидального возмущения для линейного объекта с параметрическими и структурными неопределенностями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Кибернетика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 681. 51. 015
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ И СТРУКТУРНЫМИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ2
А. А. Бобцов, С. А. Колюбин, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации по выходу линейного объекта, подверженного влиянию внешнего неизвестного синусоидального возмущения. Решение задачи получено для класса линейных систем, функционирующих в условиях параметрической и структурной неопределенностей.
Ключевые слова: управление по выходу, компенсация возмущений, параметрическая и структурная неопределенность.
Введение
Компенсация синусоидальных возмущающих воздействий является актуальной и популярной задачей современной теории управления (например, [1−15]). Большинство исследований, связанных с разработкой методов компенсации гармонических возмущений, изучают случай, когда амплитуды, фазы и частоты являются неизвестными постоянными параметрами (например, [1−14]). В частности, работы [3, 4] являются одними из первых работ отечественных ученых, где была поставлена и решена задача адаптивной компенсации неизвестных гармонических возмущений. В настоящее время при различных допущениях относительно модели объекта рассматриваются различные случаи задач управления, а именно: линейность или нелинейность динамики, параметрическая определенность или ее отсутствие, доступность измерений всех переменных состояния или только их части и пр. Несмотря на то, что в фундаментальной монографии [2], посвященной методам компенсации возмущений, большинство подходов было изложено, кратко рассмотрим некоторые новые результаты.
В [5] предлагается алгоритм управления линейным устойчивым объектом с известными параметрами и единичной относительной степенью, подверженным влиянию смещенного гармонического возмущения. В отличие от [5], в [8] рассмотрен алгоритм компенсации возмущающего воздействия для случая неминимально фазового линейного объекта с известными параметрами, но любой относительной степени. Работы [9, 10, 14] посвящены парированию синусоидального возмущения в условиях полной параметрической неопределенности объекта управления. Выстроен адаптивный регулятор, базирующийся только на измерениях выходной переменной. В [9, 10] рассмотрен линейный объект, а в [14] - нелинейный. Однако в [9, 10, 14] допускается, что относительная степень известна и равна единице. В [12, 13] данная задача распространена на линейные объекты с известными параметрами, но с запаздыванием в канале управления.
В настоящей работе предлагается новый алгоритм управления по выходу параметрически неопределенным линейным объектом, подверженным влиянию гармонического возмущения 5(t) = д sin (? t + ф) с неизвестными амплитудой и фазой. Данный подход основан на методе операторного синтеза компенсации возмущения, который был опубликован в [15]. По мнению авторов, несмотря на то, что частота? известна, решаемая в этой работе задача развивает подходы, опубликованные в [1−15], поскольку допускается, что относительная степень объекта, как и его параметры, может быть неизвестна.
Постановка задачи
Рассмотрим линейный объект управления вида
a (p) y (t) = b (p)u (t) + c (p)S (t), (1)
где p = d / dt — оператор дифференцирования- параметры полиномов
a (p) = pn + an_lpn_ + an_2pn2 +… + ao, b (p) = bmpm + bm_, pm_ + bm_2p& quot--2 +… + b0 и
c (p) = ctp'- + cl xpl1 + ll2pl2 +… + c0 неизвестные числа, а 5(t) = цsin (rot + ф) — возмущающее воздействие с неизвестными амплитудой д и фазой ф.
Цель управления — найти такой сигнал u = u (y), чтобы было выполнено целевое условие lim y (t) = 0. (2)
Данную задачу будем решать при следующих допущениях.
Допущение 1. Полином b (p) гурвицев, и коэффициент b0 & gt- 0.
Допущение 2. Известно максимальное значение относительной степени r *, но не размерности полиномов a (p) и b (p), и сама относительная степень r = n _ m.
2
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009−2013 годы (государственный контракт № 16. 740. 11. 0553).
Допущение 3. Известна частота ю возмущения 5(/) = ц 8ш (+/ + ф).
Предварительный результат
Следуя [15], представим уравнение (1) в виде
7 (,) = М и (я) + ^ я) + Ж, (3)
а (я) а (я) а (я)
где я — комплексная переменная Лапласа- 7 (я) = Ь{ у (?)}, и (я) = Ь{и (?)} и я) = ?{8(?)} = + -
я2 ++2
изображения по Лапласу соответствующих сигналов, = ц8т ф и = цсо8 ф- полином Б (я) обозначает сумму всех членов, содержащих начальные условия.
Временно предположим, что измеряются все необходимые производные выходного сигнала у (/), а коэффициенты полиномов а (р) и Ь (р) известны. Предполагая, что относительная степень г известна, выберем закон управления и) следующим образом:
и (0 = -к а (Р)(++21)2 у", (4)
р2 ++2
где гурвицев полином а (р) степени г * -1 и постоянный коэффициент к & gt- 0 выбираются из соображений строгой вещественной положительности передаточной функции (например, [16, 17]): Ь (я)а (я)(я +1)2
H (s) = ¦
a (s)(s2 + ю2) + kb (s)a (s)(s +1)2 Замечание 1. В [16, 17] было показано, что для любого гурвицева полинома а (p) существует в общем случае достаточно большой постоянный коэффициент k & gt- 0 такой, что передаточная функция H (s) удовлетворяет условиям строгой вещественной положительности. Для известных коэффициентов полиномов a (p) и b (p) поиск коэффициента k & gt- 0 является несложной задачей. Тогда, подставляя изображение по Лапласу для (4) в уравнение (3), получаем
Y (s) = _kb (s)a (s2)(s + 1)2 у (s) +L + Ж a (s)(s + ю) a (s) (s + ю) a (s)
и
W4, 4c (s) D (s)(s2 + ю2)
Y (s) = (^s + + ч-- ,
Y (s) Y (s)
где полином y (s) = a (s)(s2 + ю2) + kb (s)a (s)(s +1)2 — гурвицев в силу строгой вещественной положительности передаточной функции H (s).
Осуществляя обратное преобразование Лапласа для Y (s), имеем lim y (t) = 0.
Основной результат
Однако производные выходного сигнала y (t) не измеряются, а коэффициенты полиномов a (p) и b (p) неизвестны. В этом случае воспользуемся результатами, опубликованными в [14, 15] и выберем закон управления следующим образом:
и (t)=_k-vli^'-r (5)
a (p)(p +1)2(?2 p +1Г (p2 +ю2)(7- p + 1)9
= ,
(6)
5 2 =
.1 г-1 = ст (-к11 — к22 — … — К-Лг-1 + к1 У), где число к & gt- 0 и полином а (р) выбираются аналогично (4), число ст & gt- к, а коэффициенты к, рассчитываются из требований асимптотической устойчивости системы (6) при нулевом входе у (?), 9 = г * -г0, параметр 7|-1 должен быть больше коэффициента к и много меньше ст, параметр Т2 такой, что
0 & lt- Т2−1 & lt-<- Т|-1, число г0 соответствует известному минимальному значению относительной степени:
0 & lt- г0 & lt- г & lt- г *.
Замечание 2. Очевидно, что в условиях полной параметрической неопределенности выбор Т1−1, к и ст может вызывать некоторые сложности, поэтому рассмотрим более конструктивное правило расчета этих коэффициентов. Как показано в [17], можно настраивать коэффициент к по линейному закону до тех пор, пока переменная у (/) не попадет в некоторую малую область, заданную разработчиком системы. Параметры Т|-1 и ст можно рассчитывать следующим образом: Т|-1 = к2 и ст = ст0 (Т|-1)29. Очевидно, что при таком расчете коэффициентов регулятора система может быть неустойчивой, но данная схема обеспечивает сходимость выходной переменной у (0 в некоторую малую область, заданную разработчиком системы.
Подставляя (5) в (1), получаем
у ('-) =
кЬ (р)а (р)(р +1)2 (Т2 р +1)9
а (р)(р2 + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ (р)а (р)(р + 1)2(Т2 р +1)
-е (/) +
Ь (р)(р2 + ю2)(Т р + 1)8
а (р)(р2 + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ (р)а (р)(р + 1)2(Т2 р + 1) где в (/) = у (Г)).
Запишем (7) следующим образом:
-8(0,
у (0 =
кЬ (р)а (р)(р +1)2 (Т2 р +1)9
а (р)(р + ю2)(Т р + 1)9 +кЬ (р)а (р)(р + 1)2(Т2 р + 1)'-
¦[Е (0 + ^(0],
(7)
(8)
где сигнал м& gt-(г) =
(р2 +ю2)(Т р+1)9
к а (р)(р + 1)2(Т2 р +1)
-8(0.
Модель близкая к (8), рассматривалась в [18, 19], поэтому воспользуемся результатами [18, 19] и перейдем к форме вход-состояние-выход вида
х = Ах + кЬ (е + м& gt-), (9)
у = сТ х, (10)
где х е Я& quot- - вектор переменных состояния модели (9), (10) — А, Ь и с — матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход, причем в силу известной леммы Якубовича-Калмана (например, [16]) можно указать симметрическую положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:
АТ Р + РА =0!, РЬ = с, где = 0 Т — некоторая положительно определенная матрица. Перепишем (6) в векторно-матричной форме: 4 = ст (Г4 + йу), (11)
Ъ = иТ 4,
& quot- 0 1 0 … 0 & quot- & quot- 0& quot-
0 0 1 … 0 0
где 4 е Яг 1 — вектор переменных состояния модели (11), Г = 0 0 0 … 0, й = 0
-К -к2 -кз … -кг-1 _ к _
причем матрица Г — гурвицева в силу расчета коэффициентов к1 модели (6).
Введем в рассмотрение вектор отклонений
П = Ьу — 4.
Дифференцируя уравнение (12), получаем: П = Иу — ст (Г (Иу — п) + йу) = Иу + стГп — ст (й + ГИ) у = Иу + стГп,
(12)
И
(15)
(16)
s = y = hTп, где d = _rh.
Таким образом, имеем систему дифференциальных уравнений:
x = Ax + kb (s + w), y = cTx, (13)
П = hy + стГп, s = hT п. (14)
В силу гурвицевости Г существует матрица N = NT, удовлетворяющая уравнению Ляпунова
Гт N + Nr = _Q2, где Q2 = Qt2 — положительно определенная матрица.
В работах [18, 19] была построена функция Ляпунова вида
V = xT Px + пт Nn
и показано, что для системы (13), (14) существует число ст & gt->- k такое, что
V & lt-_XV + k_V, где число X & gt- 0.
Следуя результатам раздела «Предварительный результат», легко показать, что limw (t) = 0. По-
t ^да
скольку доказательство аналогично приведенным в [18, 19], не будем повторять его здесь. Так как w (t) экспоненциально сходится к нулю, то из неравенства (16) следует, что функция (15) стремится к нулю, что означает выполнение целевого условия (2).
Пример
Рассмотрим числовой пример моделирования предлагаемого алгоритма управления (5), (6) для линейного объекта вида (1) вида
[p3 _ 2p _ 3] y (t) = [p + 2] u (t) + [_4p +1] S (t), y (0) = _2, y (0) = _2, y (0) = 2.
Будем полагать, что относительная степень r * не превосходит 3, но известно, что относительная степень не меньше 2. Выберем закон управления в соответствии с (5), (6), где а (p) = p +1, T2 = 1, $ = 1, коэффициент k настраивается по линейному закону до тех пор, пока переменная y (t) не попадет в малую область 0,1, параметры Tj1 и ст рассчитываются в соответствии с замечанием 2, т. е. Tj1 = k2 и ст = ст0 (Tj1)2, где ст0 = 0,8. На рисунке представлены переходные процессы в замкнутой системе с возмущением 5(t) = 6 sin (3t _ 2). На рисунке (а) представлен результат моделирования для выходной переменной y (t), а на рисунке (б) — для адаптивно настраивающихся параметров k, Tj1 и ст.
y (t) 4
2
¦ 0
'- -2 -4 -6

А
1
j f


100 80
60
% 40
20
I i I
— I
I J I
. =r…
4 6
k — ¦ - T1−1
8 t, c & quot-"- & quot- ст
0 2 4 6 8 и с
а б
Рисунок. Графики переходных процессов в замкнутой системе: (а) — график функции у (?) —
(б) — графики функций к, Т1−1 и ст Заключение
Для класса линейных стационарных параметрически и структурно неопределенных объектов вида (1) получаем алгоритм адаптивного управления (5), (6), полностью парирующий влияние синусоидального возмущающего воздействия 5(/) = ц бш (+/ + ф) с неизвестными амплитудой ц и фазой ф. В качестве недостатка отметим, что в представленной работе задача была решена для случая известной частоты ю возмущающего воздействия 5(/) = ц бш (+/ + ф). Расширение полученного результата на случай неиз-
0
2
вестной частоты возможно посредством введения дополнительного канала ее идентификации. При этом
подстановка получаемых оценок частоты в контур регулирования может происходить итеративно с использованием схемы с переключениями.
Литература
1. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies // Automatica. — 1997. — V. 33. — P. 2213−2221.
2. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. — СПб: Наука, 2003. — 282 с.
3. Никифоров В. О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 2. — С. 103−106.
4. Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control. — 1998. — V. 4. — № 2. — Р. 132−139.
5. Marino R., Santosuosso G.L., Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. — Automatica. — 2003. — V. 39. — P. 1755−1761.
6. Marino R. and Р. Tomei. Output Regulation for Linear Minimum Phase Systems with Unknown Order Exo-system // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2007. — V. 52. — P. 2000−2005.
7. Арановский С. В., Бобцов А. А., Никифоров В. О. Синтез наблюдателя для нелинейного объекта в условиях гармонического возмущения, приложенного к выходной переменной // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2010. — № 3 (67). — C. 32−38.
8. Бобцов А. А., Кремлев А. С. Алгоритм компенсации неизвестного синусоидального возмущения для линейного не минимально фазового объекта // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2008. -№ 10. — С. 14−17.
9. Бобцов А. А. Алгоритм управления по выходу с компенсацией гармонического возмущения со смещением // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 8. — С. 25−32.
10. Бобцов А. А. Адаптивное управление по выходу с компенсацией гармонического смещенного возмущения // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 1. — С. 45−48.
11. Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта любой относительной степени // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 3. — С. 114−122.
12. Бобцов А. А., Колюбин С. А., Пыркин А. А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. -2010. — № 11. — С. 115−122.
13. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic. Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. — Baltimore, 2010. — P. 5688−5693.
14. Бобцов А. А., Кремлев А. С., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения для параметрически и функционально неопределенного нелинейного объекта // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 1. — С. 121−129.
15. Лукьянова Г. В., Никифоров В. О. Алгоритм компенсации внешних детерминированных возмущений: операторный метод синтеза // Научно-технический вестник СПб ГИТМО (ТУ). — 2003. — Вып. 10. -С. 5−9.
16. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. — СПб: Наука, 2000. — 549 с.
17. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. -2005. — № 1. — С. 118−129.
18. Бобцов А. А., Шаветов С. В. Управление по выходу линейным параметрически неопределенным объектом в условиях возмущающих воздействий и неучтенной динамики // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2011. — № 1 (71). — C. 32−38.
19. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Управление по выходу линейными системами с неучтенной паразитной динамикой // Автоматика и телемеханика. — 2009. — № 6. — С. 115−122.
Бобцов Алексей Алексеевич — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, декан, bobtsov@mail. ifmo. ru
Колюбин Сергей Алексеевич — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, аспирант, s. kolyubin@gmail. com
Пыркин Антон Алексеевич — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, ассистент, a. pyrkin@gmail. com

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой