Идентификация компонент тензора инерции и координат центра масс тела на реверсивно-симметричных прецессиях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ИНЕРЦИИ И КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАСС ТЕЛА НА РЕВЕРСИВНО-СИММЕТРИЧНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ*
B. Г. Мельников
C. -Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (СПбГУ ИТМО),
канд. техн. наук, доцент, melnikov@mail. ifmo. ru
Введение. Моменты инерции твердых тел экспериментально определяют на неравномерных вращениях вокруг оси, а тензор инерции в точке тела — на шести осевых вращениях, или на неравномерных сферических движениях. Аэродинамическое сопротивление и силы трения в подшипниках исполнительного устройства отрицательно влияют на точность параметрической идентификации. В связи с этим применяются медленные движения объекта и используются устройства с возможно малым трением, с торсионными, мультиплярными и упругими подвесами, с газовыми подшипниками [1−8]. Возможно непосредственное определение приложенных к телу сил посредством измерения упругих деформаций подвеса, этим снимается проблема влияния конструктивного трения, но сохраняется отрицательное влияние сопротивления среды и возникает проблема неточного выполнения движения на деформируемом подвесе [9]. Применяются также расчетные формулы для осевых моментов инерции, полученные по теореме об изменении кинетического момента, они инвариантны относительно внутренних диссипативных моментов, содержат только внешние диссипативные моменты, влияющие на точность [10]. Метод определения осевого момента инерции на симметричном программном вращении, инвариантный относительно как внутренних, так и внешних диссипативных моментов, а также исполнительное устройство предложены в [11, 12] и продолжены в работах [13, 14]. В статье предлагается метод параметрической идентификации матрицы тензора инерции в точке твердого тела и координат его центра масс на полупрограммной реверсивно-симметричной прецессии тела — сферическом движении частного вида, определяемого одной угловой координатой. По этому методу шесть осевых вращений вместе с переходными процессами изменения углового положения тела относительно оси заменены одним двухосным сферическим движением с линейной связью между углами собственного вращения и прецессии, с одним переключением передаточного отношения.
1. Реверсивно-симметричное полупрограммное сферическое движение и прецессии твердого тела. Сферическое движение тела вокруг точки О в инерциаль-ной системе Охух, содержащее этап замедленного вращения в ограниченных интервалах изменения углов Эйлера и этап ускоренного вращения тела на этих же интервалах, повторяющее в обратном порядке замедленное движение, будем называть реверсивно-симметричным сферическим движением. Такое движение типа торможение-об-ратный разгон может граничить с переходными процессами предварительного разгона, возможного выбега между этапами и конечного выбега. Движение назовем полупро-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10−08−1 046).
© В. Г. Мельников, 2010
граммным, если первый этап представляет собой свободное неуправляемое замеряемое движение, а второй — управляемое движение, осуществляемое по программе, удовлетворяющее условию симметрии, составленной по предыдущим замерам. РСП-прецесси-ей будем называть реверсивно-симметричное полупрограммное сферическое движение тела с постоянным углом нутации в = п/2 и с линейной голономной связью между углами прецессии и собственного вращения вида ф = Аф, Л = const. Кроме того считаем, что ось прецессии Ozi вертикальна, а собственная ось вращения Oz горизонтальна. За обобщенную координату и обобщенную скорость данного движения тела, имеющего одну степень свободы, принимаем ф и Q = ф. Предполагаем, что тело совершает по углу ф не менее двух оборотов как на первом, так и на втором этапах прецессии. Подвижный аксоид РСП-прецессии есть круговой конус с осью Oz, углом р = arctg, А между образующей конуса и осью. Конус перекатывается по неподвижному конусу, имеющему ось Ozi, и угол между образующей и осью, а = п/2 — р. В дальнейшем будем рассматривать две РСП-прецессии, соответствующие двум значениям коэффициента Ai = 0, 76, А2 = 5, 24, которые образуют одно сферическое движение при однократном переключении передаточного механизма. Данные константы выбраны из условия, чтобы три оси виртуального икосаэдра, условно связанного с телом, располагались на одном подвижном аксоиде, а другие три оси — на другом аксоиде. Шесть осей икосаэдра равномерно распределены в теле вокруг центра O, угол между любыми парами осей достаточно большой, превосходит 630. Этим обеспечивается хорошая обусловленность получаемой в дальнейшем алгебраической задачи, максимальное значение детерминанта, равное 2. 4, и соответственно минимальное влияние погрешности эксперимента на точность расчета. Допускаются ограниченные отклонения углов раствора пары конусов при сохранении приемлемого значения детерминанта.
2. Голономная стационарная система и кинематические формулы. На рис. 1
показано исполнительное устройство, состоящее из двухосного карданова подвеса с управляемым маломощным электродвигателем, усиленным двумя предварительно закрученными упругими элементами — торсионами, соосными с валами подвеса, которые в основном и осуществляют движение. Требуется, чтобы устройство удовлетворяло условию динамической симметрии, заключающемуся в том, чтобы модули моментов сил малого аэродинамического сопротивления и конструктивного трения в кинематических парах были инвариантны относительно направления вращения, либо отличались на достаточно малые величины, допускающие оценки. Последнее условие обеспечивает, в частности, цилиндрический кожух на внутренней рамке. Подвижная система состоит из внутренней рамки — цилиндра 1 с собственной осью Oz, в которой размещено тестируемое тело, внешней рамки 2 с вертикальной осью Ozi, ротора электродвигателя 3 с датчиком угла поворота, насаженного на вал внешней рамки, упругих элементов 4, 5, работающих на кручение, и двух планетарных механизмов с двумя колесами 6, насаженными на цилиндр, и двумя неподвижными колесами 7 с возможностью поочередного отключения.
Из рис. 2, поясняющего определение РСП-прецессии, вытекает справедливость следующих двух утверждений.
Пусть по результатам замеров свободного неуправляемого торможения на конечном угловом интервале методом аппроксимаций получено кинематическое уравнение движения вида
ф = f (t) при ф е [ф1,ф7], t е [ti, tr], ф7 — ф1 & gt- 4п. (1)
Ъ:
Ш
Рис. 1. Устройство с механизмом переключения.
/| / /б /'-6
Рис. 2. РСП-прецессия.
Тогда уравнение обратного симметричного движения находится посредством присвоения параметру? значения 27 — ?, где? — новое обозначение времени,
ф'- = /(2?7 — ?),? ? [?7, ?1 = 2?7 — ?1 ], (2)
при этом за РСП-движение принимается объединение двухоборотного движения согласно уравнения (1) на интервале [?1, ?б] при? б & lt- ?7, ^? [^1,6 =1 +4п] и двухоборотного обратного движения, определяемого уравнением (2) на интервале [?6 = 27 — ?б, ?1].
Пусть угловая скорость П непрограммного торможения замеряется на интервале времени [?1,?б], методом математической обработки измерений получаем уравнение вида П = р (?). Тогда угловые скорость и ускорение обратного движения, начинающегося с некоторого момента времени ?6 & gt- ?б, а также уравнение симметричного обратного
движения определяются формулами
П (?) = -р (і) при і = і6 + І6 — і7,? Є [і6, ^і],
М (ї'-)"'-.
3. Моменты инерции относительно осей икосаэдра и матрица тензора инерции. Пучок шести осей икосаэдра равномерно распределен в пространстве вокруг центра О, имеет большие углы между соседними осями 7^ «630 и максимальный определитель системы расчетных алгебраических уравнений det и = 2.4. В связи с этим будем определять моменты инерции тела относительно осей виртуального икосаэдра. Пусть ось Оу системы Охуг, связанной с цилиндром и телом, направлена отвесно в угловом положении, при котором торсионы недеформированны и угол ^ собственного вращения отсчитываем от отвеса к оси Оу. Виртуальный икосаэдр с радиусом описанной сферы Д =1 располагаем в цилиндре так, что ось Ог пересекает треугольную грань А1А2А3 в ее центре О1, причем сторона А2А3 параллельна Ох, а вершины А1, А5 двух треугольников, имеющих общее основание А2А3, а также первая и пятая оси икосаэдра ОА1 и ОА5 и высоты треугольников А1К1 = К1А5 = 3Л. расположены в плоскости Оуг (рис. 3). Введем обозначения: г — радиус вписанной сферы, а -длина стороны треугольника, вь в2 -углы наклона осей. Получим
3 + а/5 4 а
-0,8, а =, = «!,!, /1=-="0,3,
30 + бл/5 ' ' + 2аД ' ' 2а/3
ві = агееовг «370, 5 = 1800 — 2arctg (r/h), в2 = ві + 5 ~ 79°.
Орты шести осей, являющихся одновременно радиусами-векторами вершин икосаэдра и другие константы представим вектор-строками: еі = [0, -2р, г], Є2 = [а/2, Л, г], ез = [-а/2, к, г], Є4 = [аі/2, Н, гі], Є5 = [0, 2Н, гі], Єб = [-аі/2, Н, гі], Лі = /Зі «0, 76, Л2 = їй/?2 ~ 5,24 при Н = 0, 5 віп/?2, ї'-і = соз/32,аі = /4 — єіп2 /?2, где формулы для ортов е4, е5,еб получены из равнобедренного треугольника ОА4А.6 и равностороннего треугольника А4А5А.6 или посредством поворота орта е5 вокруг оси Ог на углы ±120°.
Три оси икосаэдра расположены на подвижном аксоиде с углом ві и три — на аксоиде с углом в2. Отметим, что треугольник А5А. 6А4 повернут вокруг Ог на угол 180° относительно треугольника А4А2А3. Если исключить такой поворот, то минимальный угол между осями двух конусов уменьшится с 63° до 42°, что нецелесообразно.
Расчетная формула вектор-строки элементов матрицы тензора инерции через моменты инерции относительно осей икосаэдра имеет вид
[іх іу Л іху Jyz Jxz] = [Лі,…, Лз]У-і, detV = 2,3, (4)
где матрица преобразования образована из шести вектор-столбцов:
V = |^Ь …, ^6^ Vk = [екх, еку, ekz, 2екхеку, 2еку ekz, 2ekxekz].
Вместо данного пучка осей возможно применение других осей, например осей, расположенных на двух конусах с измененными углами раствора при выполнения условия, что детерминант существенно отличен от нуля.
У
Рис. 3. Оси и вершины икосаэдра.
4. Динамические уравнения и расчетные формулы для осевых моментов инерции. Пусть система тело-устройство в которую включены все подвижные элементы (рис. 1) исполняет РСП-прецессию при значении Лх = tg в передаточного отношения на интервале Ф (1) = [^ь^в] при = 0,^6 = 10п/3 с промежуточными равноотстоящими узлами ^ + (к — 1) К, к = 2, 3,4, 5- К = 2п/3. Выделим на двухо-
боротном интервале три однооборотных пересекающихся интервала:
Ф1Х) = [^1,^1 + 2п] = [^1,^4], Ф2Х) = [^2 ,^б], ФзХ) = [^з,^б]-
Считаем, что двухоборотная прецессия состоит из непрограммного замедленного замеряемого движения на интервале Ф (1) и программного обратного симметричного движения (рис. 2). Она разбивается на три однооборотные РСП-прецессии. Мощность инерционных сил, в отличие от мощности диссипативных сил, изменяет знак при переходе на обратное движение- это обстоятельство приводит к аналитическому отделению расчетных формул для инерционных сил от формул для диссипативных сил. По теореме об изменении кинетической энергии для системы тело-устройство на оборотах тормозного и обратного движений для интервалов Фк, к =1, 2, 3, имеем шесть уравнений
Ек+з — Ек = Ак + Вк + ук, (5)
Ек — Ек+з = Ак + Вк + к = 1,2,3.
Здесь Ек = Тк + Щ — узловые значения механической энергии, Пк — потенциальная энергия двух торсионов, Ак, А'-к -работы электродвигателя на оборотах, Вк, В? -отрицательные работы сил внутреннего трения в торсионе вместе с силами сопротивления окружающей среды, Ук, Ук — отрицательные работы сил трения в кинематических парах устройства, в том числе — в подшипниках двигателя. Работы силы тяжести тела
равны нулю ввиду полнооборотности вращения по ^ и вертикальности оси прецессии. Имеем Б'-к = Bk в силу инвариантности сопротивления конструкции относительно направления движения, обеспеченной, в частности, круговой симметрией цилиндрической рамки. Предполагаем трение в конструкции малым, порядка е, тогда работы сил трения на торможении и обратном разгоне примерно равны, точнее — отличаются на величину второго порядка малости V? = Vk — е|. Действительно, трение способствует торможению и мешает разгону, в результате двигатель на разгоне должен компенсировать двойной момент трения, что вызывает небольшое возрастание давления в кинематических парах передаточного механизма на величину O (e), а это в свою очередь приводит к возрастанию трения на O (e2). Указанное различие в работах сил трения в основном создается в передаточном механизме, в связи с этим на валу внутренней рамки (рис. 1) поставлен второй закручиваемый торсион, который, в основном, и обеспечивает ее вращение, а передаточный механизм выполняет корректирующую роль с малыми нагрузками и пренебрежимо малой зависимостью трения от направления вращения. Почленно вычтем уравнения (5), получим
2Ek — 2Ek+s + ek = Ak — Akj k = 1, 2, 3. (6)
Посредством почленного сложения уравнений (5) получаем уравнения Bk + Vk = - (Ak + Ak)/2 + ek/2, которые можно использовать для оценки работы диссипативных сил на оборотах.
Кинетическая энергия системы имеет вид T = (J (у& gt-) + IА2) П2/2, где J (у& gt-) -приведенный к фазовому вектору [П, ip момент инерции тела вместе с цилиндром, I = const — момент инерции относительно оси Ozi внешней рамки вместе с ротором и с приведенным к ф осевым моментом инерции торсиона. Из системы (6) находим формулы для приведенных к П моментов инерции для трех осей икосаэдра Jk = J (y& gt-k):
Jk = (2nk+3 — 2nk + Ak — Ak — ek)(nk — nk+3) 1 — IА1, k = 1, 2, 3. (7)
Здесь nk — узловые значения потенциальной энергии торсиона, Ak, Ak — работы электродвигателя на полных оборотах в положительном и отрицательном направлениях, затраченные на изменение механического движения и преодоление диссипативных сил, е| - близкие к нулю величины, равные разностям работ сил конструкционного трения на симметричных движениях.
После исполнения прецессии при значении передаточного отношения А1 следует свободный выбег в отрицательном направлении с переключением в конечном положении на А2 и повторный эксперимент при этом передаточном отношении. В качестве второй РСП-прецессии принимаем свободное тормозное движение на новом угловом интервале Ф (2) = [^12) = п/3, ^^2) = 11п/3], сдвинутое вперед на 600. Соответственно, имеем три полнооборотных смещенных интервала:
ф!2) =[п/3,7п/3] = ь!2^ ^42)l ф22) =[п 3п] = ь22 ^52) ],
ф32) =[5п/3,11п/3] = й2
На этих интервалах получаем еще три приведенных момента инерции:
Jk = (2nk+3 — 2nk + Wk — Wk — efc + 5k — Sk)(nl — nk+3) 1 — IА2, k = 4 5, 6. (8)
Работа крутящего момента электродвигателя за оборот равна разности потребляемой энергии Wk и омических тепловых потерь 5k в обмотках вместе с расходами на
приращение энергии электромагнитного поля от начала оборота к его концу, отсюда получаем A'-k — Ak = Wk — Wk — (5k — 5k). Подставляя эти выражения в (7), (8), получаем расчетные формулы, в которых измерение работы крутящего момента электродвигателя заменено измерением потребляемой им энергии с вычетом разности омических потерь на разгонном и тормозном оборотах:
Jk = (2nk+3 — 2nk + Wk — Wk — e| + 5k — 5k)(nI — П!+3) 1 — IА2,2, k = 1,.. , 6 (9)
Здесь e|, а также I можно определять на дополнительном опыте с эталонными значениями Jk. Осевые моменты инерции тестируемого тела находим по формуле J° = Jk (1 + А2 2)-1 — I1, где I1 -моменты инерции цилиндра относительно мгновенной оси OL1, или OL2, постоянные ввиду круговой симметрии цилиндра.
Компоненты тензора инерции в точке O тела определяются либо по формулам (9), (4), либо — (8), (4).
5. Координаты центра масс твердого тела. Пусть mj = m+m'- - масса системы тело-цилиндр, (р, a, z) — цилиндрические координаты центра масс системы в начальный момент времени t1, Oz — собственная горизонтальная ось тела, a & gt- 0 -небольшой начальный угол отклонения центра масс от отвесной оси Oy при недеформированном состоянии торсионов. Рассмотрим движение центра масс C на первой РСП-прецессии на двух пересекающихся угловых интервалах Ф* = [да, да] и Ф* = [да, да] с величинами 2400.
Высота подъема H центра масс системы C на Ф* и опускания H на Ф* связаны формулами
H2, i = yo (cosа + sin (30° ± a)), Hi + Н2 = 3pcosa, Н2 — Hi = V3psina.
По аналогии с (6), полагая е| «0, составим уравнения изменения энергии:
2(Ek — Ek+2) = Ak+2,k — Ak, k+2 ± 2m1ffHk k 1 2, (10)
где Ek -узловые значения механической энергии, Ak, k+2, Ak+2 k -работы электродвигателя на угловом интервале [да, да+2], которые можно вычислить через расходы электроэнергии. Почленным вычитанием и сложением уравнений (10) получаем расчетные формулы
3mgpcosa = f, V3mgpsma = /2, (11)
где /1,2 = E4 — E2 ± (E1 — Es) + (A42 — A24)/2± (A13 — A31)/2. Функции /1, /2 считаем известными, поскольку найдены значения момента инерции системы и известны угловые кинематические параметры. Отсюда находим полярный радиус р центра масс системы тело-цилиндр, полярный радиус рс центра масс тела и полярный угол у& gt-:
Р = / fi + 3/| / (Зт^д), а = & amp-TctgV3f2/fi, pc = (1 + т'-/т)р. (12)
Формулы (11), (12) определяют линию Cz'-||Oz, на которой расположен центр масс тела. Третья координата zc центра масс тела определяется с привлечением дополнительного опыта при другом угловом расположении тела в цилиндре, либо она находится одновременно с массой тела m'- на предварительном статическом испытании.
1. Гернет М. М., Ротобыльский В. Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение, 1969.
2. Беляков А. О., Блаженнова-Микулич Л. Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, механика. 2005. № 3. С. 25−28.
3. Bogdanov V. V., Volobuev V. S., Kudryashov A. I., Travin V. V. A suite for measuring mass, coordinates of the center of mass, and moments of inertia of engineering components // Measurement Techniques. 2002. Vol. 45. N 2. С. 168−172.
4. Bottasso C., Leonello D., Maffezzoli A., Riccardi F. A procedure for the identification of the inertial properties of small-size UAVs // XX AIDAA Congress Milano, Italy. Proceedings. 2009.
5. Brancati R., Russo R., Savino S. Method and equipment for inertia parameter identification // Mechanical Systems and Signal Processing. 2010. Vol. 24. C. 29−40.
6. Previati G., Mastinu G., Gobbi M. Advances on inertia tensor and centre of gravity measurement: The INTENSO+ system // SAWE paper N3465. 2009.
7. Eberhard P., Schiehlen W., Sierts J. Sensitivity Analysis of Inertia Parameters in Multibody Dynamics Simulations // 12th IFToMM World Congress, Besanceon. 2007. June 18−21.
8. Atchonouglo E., Vallee C., Monnet T., Fortune, D. Identification of the ten inertia parameters of a rigid body // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2008. Vol. 72. C. 22−25.
9. Hecker F., Hahn H. Mathematical modeling and parameter identification of a planar servo-pneumatic test facility // Nonlinear Dynamics. 1997. Vol. 14. С. 269−277.
10. Банит Ю. Р., Беляев М. Ю., Добринская Т. А., Ефимов Н. И., Сазонов В. В., Стаж-ков В. М. Определение тензора инерции Международной космической станции по телеметрической информации // Космические исследования. 2005. Т. 43. № 2. С. 135−146.
11. Мельников В. Г. Способ определения осевого момента инерции тела и устройство для его осуществления // Патент на изобр. № 2 002 119 261, 2005.
12. Мельников В. Г. Использование программных движений для идентификации тензора инерции и центра масс твердого тела // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2007. Т. 50. № 8. С. 33−36.
13. Мельников В. Г. Многочленные преобразования нелинейных систем управления // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2007. Т. 50. № 5. С. 20−25.
14. Шаховал С. Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.
2008. № 47. С. 196−201.
Статья поступила в редакцию 20 октября 2009 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой