Идентификация многомерных по входу стационарных линейных динамических систем

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 519. 254
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПО ВХОДУ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2006 А Н. Волныкин, О.А. Кацюба
Самарская государственная академия путей сообщения
В статье рассматривается задача оценки параметров линейного разностного уравнения с многомерным входом при наличии помех наблюдения во входных и выходных сигналах. Эта задача отличается от стандартной задачи регрессионного оценивания, предложен новый критерий оценивания на основе отношения двух квадратичных форм, обобщающий стандартный метод наименьших квадратов и позволяющий получить состоятельные оценки параметров. Предлагается также численный метод определения оценок параметров линейных разностных уравнений, сводящийся к многократному решению линейных разностных уравнений.
Пусть имеет место стационарная линейная динамическая система, которая описывается следующим стохастическим уравнением заданного порядка с дискретным временем I -… -1,0,1___
-I Ъ
0& quot-<-1. =ТУа0& quot-ях<-я, (П
0 г -т/1/ 1 0 г -т '- т-1 у-1 т-0
у, — zl + %(/), м& gt-Р — х'- + %и)(1), где ^1(/) — помеха наблюдения в выходном сигнале, 1)(г) — помеха наблюдения соответственно в у — м входном сигнале.
Применение классического МНК не позволяет получать состоятельные оценки параметров: в самом деле, использование классической процедуры МНК для определения параметров разностного уравнения приводит к минимизации среднего значения величины:
Уг — ±Ъ (т) Уг-т -? Ь
2 (Ъ (m) a (mJ)) =
e Ъ
a (mj) w& lt-J)
i-m
т-1 у-1 т-0
Такая постановка задачи не совпадает с обычной постановкой задачи в регрессионном анализе.
Пусть выполняются следующие условия:
1) Множество В, которому априорно принадлежат истинные значения параметров устойчивой линейной системы является компактом.
2) Помехи %1 (г), %(1) (г), '- -1, d статис-
тически независимы и удовлетворяют следующим условиям:
Е (%х (г +1)/%,(10)_%(г)) — 0 п.н. -
Е ((%1)2(/ + 1)/|1(/0),_|1(г)) — С (г +1) & lt- п п.н.- Е (%)4(/)) & lt- п (1)п.н.- Е (%(1)(/ + 1)/'-0),_'-г)) — 0 п.н. -
Е ((%(1)2(г +1) / %(1} (г0),_%(1} (г)) — С (1 (г +1) & lt- п (11 & lt- да п.н. -
Е ((%(1))4(г)) & lt- п (у1)п.н., где Е — оператор математического ожидания.
3) |хг (1), _ хй) ] статистически не зависят
от %(/)}, %1Ч/)} 1 —.
4) Вектор входных переменных и истинные значения параметров удовлетворяют условиям:
N П.Н.
N -1Ь (*Т (г& quot-)!(х& lt-1)(г'-))Г -•••-(& lt-1))Т)т (& lt- (г)-(X"У)Я * где
(/)-(гг-1 _)Т .х (
х (j)М j) … х^У
r, 1 1-r,) ¦
Представим уравнение (1) для всех г -1,2_и в векторной форме в виде системы
линейных алгебраических уравнений (г0 -1):
z = Zb0 + Xa0.
где
Z = (z1 — zN J ,
+ - + r (d ^ ^)l= o (b0, а0)
Z =
Z0 — Z1-r
где:
-2
о2 — средняя дисперсия помехи наблюдения (г), (о (- средняя дисперсия помехи наблюдения })(/),
X =
,(1)
Д1)
х,
х
(1) м
(1) N -rj
,(d)
,(d)
М)
,(d)
(2)
v (о)=(0 r ^2
|2
b0 = b0
-b0r, (а0& quot-: -:а0'-)),
а-0& gt- = (а00'-) — а-0& gt-/.
Тогда определим оценку

(N).
v /у
неизве-
а0 = а
стных истинных значении параметров
(ь Л
° о
V ао У
Однако, вместо z, 7, X наблюдается только случайно возмущенный вектор
У = (у1 … уу) т еRN и матрицы Лу и
А№ =)), которые определяются
(2), если вместо zi ^ у, х (^) ^ ^). Таким образом, задача идентификации параметров ^ (Ь а (1) а^))= (Ь0: а0) т сводится к решению стохастических
из условия минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений е (Ь, а, г) с весом ш (Ь, а), то есть из:
ш-1 (Ь, а (1). а^ ^ (Ь, а (1)…
min
b и
а У
(3)
где
Y — A
Y W
(ь Л
v а
Y — A
Y W
(ь ЛЛ
v, а yy
алгебраических уравнений [1,2], определяемых значениями у, (Лу: Лш) = Лу ж, вероятностные характеристики которых описываются условиями 1 — 4.
Представим уравнение (1) в виде:
(•,•) — скалярное произведение.
Утверждение 1. Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями описывается уравнением (1), и выполняются условия 1 — 4, тогда оценки
y = (y- (0W" l-W)(i))(Ь- ] + (()-S-Ь- - S- а01) — - Я
Vd)
где
iu Л
(n)
'-(N)У
а.
определяемые выражением (3) при
(()-(j)
е R
Введем следующую невязку: (Ь-, а-, i) = ^! (i)-ЕТгЬ--Е Г1 а-1) — ^а-& quot-)
Тогда из уравнения (2) и леммы 1.1 [1,2], получаем, что средняя дисперсия невязки равна:
lim N& quot- ±E (Ьо, «-,/))= ^ +^!2ЬоТЬ- +(a (1))2 (а-1))Т а-1) + -
N ^ го существуют и являются сильно состоятельными оценками, то есть:
V Щ--
Доказательство утверждения 1. Рассмотрим функцию:
jj (N)Л п.н. (Ь- Л
N
V ао У
-))2 (o-d)=^
1 + Ь-Ь + х (1)(а01))Та01) —
1 ^ (Ь, а) = N^ (zi +а)4Т (О+ЕТ)ь-^(х^ОО^+Е- ] (d))2 =

zN-1 — zN-r
1-r
d
N-1
N-1
N-r
r
= & quot-"-?fe (0 + zf (Фо + (f CW + & quot-z?(Ф-
i=i
Tb — X
N
r-1
(f (OlTa"-sTaM -… -(#>-(OlTa (d)-E*a (d))2 =
в силу условий 2, 3, 4 удовлетворяет условиям леммы 1.2 [1,2] и, следовательно, равно 0. Заметим, что
N-1? fei (0 — zT №-(*-& gt- 0) Г~(1) — ••-Ц? ®Ja (d) — ^? ^ (i)~ = N-? b
i=i
Zi-ili (i -1) … Z-Д (i -1)'- zi-ili (i-j). zi-?i (i —
-STb-STa (i) — … -Sa (d))"-=Vl + v 2 +v 3,
где: b = b — b0,
~(j) = a (j) — a (j).
(4)
Таким образом (4), можно представить в виде г2 слагаемых, каждое из которых в силу условий 2, 3 по лемме 1.2 [1,2] сходится к нулю. Аналогично можно доказать, что и все остальные слагаемые сходятся к нулю с
V = N (г) + ЪТНгН^ + (а (1))ТНгН1″ + … + (а (& quot-))ТНгН^а» + вероятностью 1 при N ^.
1, ч Следовательно,
+ 2ЪТНгНЛа (1) + … + 2ЪТН, Н^ -2^(г)нТгЪ -2^)Н, }а (1) —
— … — 2§ i (i)(S Ja (d) + 2(a (i)) S, S^ a (2) + … + 2(a (d-i)) S «- S
(~ V
= N1 ?
i (i)
5 (d)
у
zT (^Ц ^(i& gt-r
XI z

'- 5 ^
5 (d) V у
V3 = 2N (-^1(/& gt-Т (0)~- ?1 ()(х"()) ~(1) -… -?^(г^('-1 ~(& lt-"- +
г=1
+ ЪтН^ (г)~ + (а"Г Нч (г)~ +… + (а^ Н^ (г)~ +
+ Ът Н г X1'- (гЙ + …+ Ът Н г (г))^ + (а»)Т Н ,(*" (г)Г~(1) +
+… + (а (1))ТН,(?& gt-(г))Т~+ … + (а^Н" (?& gt-(г))Т~<-'->-
Тогда из условия 2 по лемме 1.1 [1,2] получаем:
V. !$= ^ +^2ЪТЪ + И2 (а 1У, а & lt-"- +… + И)2 (а ^ «
V
Г b Л
е B
v a у
Из условия 4 следует:
П .Н.
'- N
V3 ^ 0, V
Г ь ^
е B
V a у
и
N ~UN (b, a)^'- ax2 + a2xbTb + (a (i))2 (a (i & gt- Ja (i) +.
N ^да
. + H)2 (a (*)Ja d
1
+

H *
v a у
V a у
= U (b, a).
Покажем, что решение задачи
. ._ Г b
min о)-1 (b, a (i). a (d)p (b, a),
еB (5)
существует и достигается в единственной
V a у
Г b ^ Г b0 ^
точке
V a у
V ao у
Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:
V (b, a, в) = U (b, a) — во (b, a (i)… a (d)), 0е R1,
Г b Л
V (в) = min V (b, a, e),
е B
V a у
Тогда
v с,-'- -Va:)h-Г^^у-f -Г bo ш a ^
'-+1 b I X
V a I
Г5Л
v 2 =
H *
V a у
V
Г b Л
V a у
е B
V a у
Слагаемое
-L? Ui (i)zT (i)T-^i (i) (xj1 (i)Ja (i)-^i (i) (rjd) (i)Ja
N i=i d
(d)
Hzz +ai Ir -eai2 Ir

Ц '-H'-Xdx d K+. i-вИ
jd+1
Г b Л
V a у
T
v
X
2
i=1
x
H r (d)
X& quot-Z
если
Н* =
Г Н 1 Н22 • 1 1 Н Л • 1 •
1Нх (й)2 ! '- г ¦¦ Нх (й)х)у
Дифференцируя V (ъ, а, 9) по
Г ъ Л
V, а У
и при-
равнивая производную к нулю, получим:
Г ъ (9)^
а (9))
(Н 22 + С1г -вС 1 г Н2х ('-)

V НхС 2 ГНхИхИ+(с (1))2 +1 -в (с (1))2+
Г Г ъ ЛЛ н *р
V Vа°У У
(6)
Тогда
V (в) = С
+
Г ъ л
V а° У
Н*
г ъ л
V а° У
-Св-
Г Г ъ ЛЛ н *[ъ°-
V Vа°УУ
(Н 22 + СД вСсС 1 г Н)

V Нх (й 2 ГНхИхИ+ (с (1))2 +1 -в (С1 & gt-)21, +1
Г Г ъ ЛЛ
Н *р V Vа°УУ
Если X ш1п — минимальное характеристическое число регулярного числа форм
Н"" + с, I 1 — 1
22 1 г | |
Н
____________2Х{^_
1−1 •
•:
--------т----1---------
Н 1 … 1 Н +
п х (& quot-)2 ! ! х (& quot-)х (& quot-)
С21г ! ° ! ¦•• г ___
СУ


• I • I
• I • I ¦& quot-
----!--т---
— !° -
. С))21, +, У
то, следовательно, Xш1п & gt- °, и функция V (9) на интервале (- да, X ш1п +1) непрерывна и
IV (в)
Г ъ Л
йв
= -с —
V, а У
— да
(2 т I п I I с11 I ° 1 — 1
. 1−1 I
• I • I ¦ • • I
-----[__1----г
(с (й))2 1, +1
Г ъ Л
V, а У
отрицательна на интервале (- да, X ш1п +1), отсюда следует, что V (9) = ° на интервале (- да, X ш1п +1) имеет не более одного корня.
Нетрудно убедится, что 9 = 1 является корнем уравнения V (9) = ° и 1 & lt- X ш1п +1.
Тогда из (6) непосредственно следует справедливость (5).
Введем следующий вектор
(1! ъа (1) … а (й))= и
А, ш = (- Y ! А, ш) ,
и
матрицы
г. +1
га+1
0* = г{
с12 ! ° 1 .ъ ° … л °
° [С121г ° !. л °
: |: • ° ! ° 1 О | -… 1 • 1 '- 1 '-С1Т^'-
Гй +1{
то (3) можно записать в виде:
гтт
и
Ш1П
и Аг ш '- Аг ши
~ Т ГЛ * '-
1+1+1+. гй +1 и V и
где ш & gt- °.
Для конкретной выборки объема N нахождение корня уравнения VN (9) = ° (эти корни имеют те же свойства, что и для V (9) = °) можно записать в следующей форме:
9N =XШ1П N) ГAYTWAYш (V*)-1
— минималь-
ное характеристическое число пучка квадратичных форм, определяемых, AY, ш и о *. Но V* & gt- °, поэтому рассмотрим [3, С. 281]:
Лшп НА^, ш -во'-]-
Лпах (N)|^(А/, Ш А, Ш)
о
Известно[4, Р. 452], что:
N
Лшах (N, ш Г о
П.Н. ^ -
* I N ^да
11ш — АТшАгж I о
Nда N У
Лшп
I $ш ^ ж ](о*)-1
VN^да N У
X
X
Г
т
X
х
X
X
°
1
-1

Так
как
нахождение
Л
lim -1 AyWAYW IlD*
N^-м N
W
* ,-)=, Y -, в- ! Y'-a, ('-
+
l, а ,
fATYAY -0O-2Ir j лТлщ _ _ __
• i •
Y r
AT A
rt-w У1

& quot- Г
••! -0И")21,
Г b 1
v, а у
Дифференцируя VN (b, а, 9) по b и, а и приравнивая производную к нулю имеем:
4T, А Л
ГЛТЛг -ва?Ir ! aYAW,
AWdAY
AYAWd
I
1----Г
!!! awA. -0(a (d))21,+, у
'- ayty^
AT Y
l^w1 у

можно интерпретировать как определение корня уравне-
(aYY 1ПН.
AT Y
l^w1 у
N
1 ~ П.Н. «
ния Г (е) = 0, то -0N ^ 0.
Далее параметры можно определить, если ввести следующую вспомогательную функцию:
'-Ь 1
н»
H
X (d & gt-z & quot- ^
Г b 1 — н * Г b 1 ° 0
v, а у v ао у
• & quot-н>- x с к- +1-вИ J i,
rd +1
Из единственности решения (6) и (7) и последнего выражения следует [5, Р. 178], что оценки стремятся к истинным значени-
(ЫъЛЛ
ям
(7)
b (N) 1 ПН{ bo 1
(n)
vaN) у
N
v а0 у
Для получения численного метода вычисления оценок параметров из критерия (3) рассмотрим функцию:
VN (b, а, в) = UN (b, а) — вс (b, а), Vn (в) = min Vn (b, а, в)
тогда:
Vn (b, а, в) =
а Р
YT —
b 1
A
v, а у
Y, W
Y — A
Y, W
b 11
v, а уу

-в (1 + bTb + ^ (а} а (1) + • + /(d) (а Wj а (d)=
Vn (в) = YTY -ё?в-
'-atYV
AT Y
v^w1 у
YTY — 2(ytAY ! YTAw (а
b 1 Г b 1
-в +
v, а у
Г ЛгЛив^ j_AY_Awi_L__, _
AWd AY
AYAWd
… |
T
. AWdAwd -вИ)2Irj+1 у
x x
AyAy -вIr AyyAw (1) A^ (d)
AW M Ay ATw (i) Aw мв1^ AW (1) AW (d)

aW (d) Ay Y AW (d) AW (!) 4 (d) AW (d ^ +1
AT Y
^ W1 у
и неизвестные параметры могут быть определены из уравнения (7). Тогда, очевидно
гaytAY в2 ir AYAW _. _
• I •
-----------------
Y, А I
V
AYdAY
I

& quot- '- I
1----Г
. AWdAwd -вИ)2 Л,
(8)
Дифференцируя VN (b, а, 9) по b и, а и приравнивая производную к нулю имеем:
[ayay -ff, ! ayaw (,) •••[ aytaw (d)
Aw 1) ay ! & quot-'-[ ay (¦) aw (d)

v AY (d)AY iAY (d)Awо ••• [AY (d)Aw (d) -в/Х +111
bWAtY'- а у [AtY,
(9)
откуда
Hzz + Ir -ва1 Ir
X
X
AYAW
X
X
T
T
T
X
X
x
X
?ы (в) = YTY-в-
АТ У
VлшУ у
ГАТАу-в1г[ АУТАж (1) — [ а7т с) Л
АТ (,)Ау ! — АТ А
: 1: • 1 • ¦. 1: ^ •
у) АУ !)Аж (!) — ! АТЖ", Аш")-вГ (а+1У
(10)
ЧУ
АТ У
^ ж1 у
?Й-
Ау А У ^
АУ АШ (!)
I
I ¦
I
А У Аш (& quot-)
АТ, А ! АТ, А ! — ! АТ А
Аж ('-)Аж ('-) Аш ('-) ! ! А-('-) А



(1
ж
(d)
I
I
I
I
: I
__________•____I__________
АТ, А | АТ, А | | АТ А


Г, г1 +1
Г Г +1
1 … 1 п
г, Г1+1 |_ _[_ Г, г4 +1
1 0
I ^ +1,^+1
'-Л)т I
г[ 41
'- ^+1 I, _
¦ I ¦ • I
I
0Т1 1 ! — ! у[а)1 1
Г+1 | I '- гл+1
= 0
Далее,
г 1 г 1 0 1 ¦ 1 0 г, 11+1 1 ¦ _1______1__ '-] 0гг +1
?ы (в) = - 1+[ ь1Т —
v, а у 1. ^ 1 |_ ь ¦ 1 —
v 0 Т,+1 0 Т 1 г1+1,г, 1 +1 I '- 1 '- г +1
& lt--1
Тогда на интервале (- да, Ат1п (ы)) ?ы (в) имеет не более одного корня, если он существует, ?ы (о) & gt- 0 и, следовательно, ?ы (в) & gt- 0 У в е (-да, 0) (матрица
Имеет место следующая лемма.
Лемма: для функции? ы (в), связанной
с задачей (3) существует следующее утверждение:
1) Все корни уравнения? ы (в) = 0 не отрицательны-
2) Уравнение (10) на полусегменте
[0Дтт (ы)) имеет не более одного корня
в (ы), где Ат1п (ы) — минимальное собственное число регулярного пучка форм, то есть наименьший корень уравнения:
-
АТ ж у
К (¦)АУ ! А1 (¦)Аж (¦) ! & quot-
: I: I ¦.
_ _•____I____•____^___
А№(¦!)Ау ! А№(¦!)А№м ! ••


Аж ^) АШ ^)
АТ ж У
идемпотентная).
Отсюда вытекает справедливость утверждений 1, 2 и достаточность 3. Необходимость 30 вытекает из экстремальных свойств регулярного пучка форм [3].
Утверждение 2. Пусть выполняются все условия утверждения 1, тогда с вероятностью 1 при N существует корень
в (Ы) е [0, Ат1п (ы)] и единственная оценка (9), которая является одновременно решением
задачи (3) и Ь (Ы) -. & gt-Ь
N ^да
п. н. -
а (N) —
-& gt-а0 п.н.
3) Существование корня в (ы) на полусегменте [0, Ат1п (ы)) является необходимым и достаточным условием существования и единственности решения (3).
Доказательство леммы. Функция? ы (в)
на [0Дтт (ы)) непрерывна, к тому же
А™ (ы) & gt- 0 как собственное число неотрицательной определенной матрицы.
ы^да '- 0 '-
Доказательство утверждения 2 следует из утверждения 1 и леммы.
На основании утверждения 2 предлагается численный метод, который позволяет: ответить на вопрос существует ли
единственная оценка Ь (ы), а (ы) —
определить начальное приближение, гарантирующее сходимость итерационного
процесса к единственной оценке Ь (ы),
а (ы) —
вычислить с любой наперед заданной точностью оценку Ь (ы), а (ы) —
Утверждение 3. Пусть последовательность)} определяется следующим алгоритмом: Шаг 0.
х
X
X
х
-1
0
г
Т
0'-(о)=о-
Шаг 1.
Ч)_(ЛпШ + в'-(г -1)) —
0'-(г)_
Шаг 2. Вычислить Ъ (ы, 0'-(г)), а (ы, 0'-(г)) из системы линейных уравнений (9) — Шаг 3. Вычислить

И'-'-))
((
_ УТУ — [ -
АТ У
VАшу у
'-ЛЛП
АТУ V ЪЫ, в'-(г)
а1
иГгЬ)
Процесс вычисления заканчивается, если выполняется условие
?м (& lt-9(/ +1))-?м (#))
N (#+ 1))
& lt- 5
где 5 — априорно заданная точность оценок.
Это утверждение непосредственно вытекает из метода Ньютона:
N, ?'-(0).
Шаг 4. Проверить условие УЫ (#'-(/))& lt- 0. Тогда если уравнение УЫ (#'-(/))_ 0 имеет корень 0'-(Ы) е [о, Атт (Ы)), то последовательность 0'-(о), 0'-(1″,… #(о) — конечна и
#(о)е [в1'-(ы), Ят1П (Ы)), в противном случае
последовательность бесконечна.
Доказательство утверждения непосредственно следует из леммы.
Этот алгоритм позволяет определить
начальное приближение #(о), необходимое для дальнейшего применения метода Ньютона или определить, что корень не существует.
Утверждение 4. Пусть существуют фЦв-Ы)ДтШ (ы)) тогда м ?(г)_, 11 т Ъ ('-, 0(г)) _ Ъ (ы) ?1т, а ('-, 0(г'-)) _ а (Ы) где
г'-^ю 5 г'-^ю 5
?(г), Ъ (г'-, #(/'-)) и а (, #(/'-)) определяется совместно со следующим алгоритмом:
Шаг 1. Вычислить Ъ (ы, 0(г)), а (ы, 0(г)) из системы уравнений (9) — Шаг 2. Вычислить
в (г +1) _ (1 + ъ (ы, ь (м, ?(0)+ г" [а «(ы, а „(ы, е (г})+… … + г ('-)[а (л „(ы, в (г)][а (л „(Ы, ?(г)^1 |уту + [?(/)^Ъ (Ы, в (г)} ь (м, 0(г))+ + г (1)[а „Ы, в (1))]а „Ы, & lt-?(/))+ …+ '-[а^ '-Ы, & lt-?(/)! а ^ '-Ы, 0(/))1-
0 (г +1)_ 0 (г) —
Уы[ ('-'-))
УЖ'-))
Обоснованность использования метода Ньютона следует из того, что УЫ[) — непрерывна для V0 е [о, Атт (Ы)), УЫ ((9“ & lt- -1 для V 0 е[о, ЯтШ (Ы)) и
У,
(Ъ)Т ¦ -2 -а
1“ ! о“
I I
г I & quot- г, г1+1 огГ +1
Т I У"I I … I о
Г, Г! +11/ 1Г1 +11 I +1
… I … I ¦• I …
о
оТга +1 г1 +1,гл, 1 1гл +1
Ау Ау Ау А1Т (1“ -1
К (О Ау 1 1 ЛТ л 1 ¦. 1: X
К (а) Ау 1 1 лТ л 1. А№ ^'- А№ ^'-
X-----
о
г г+1
1 о
I иг1 +1,гл +1
'- г +11.. „
… I ¦ • _ I …
оТ ~!~Г. Т| у“ Т& quot-
иг1 +1,г"+1 I У Ч +1
(Ъ)
V, а у
& lt-о
Шаг 3. Перейти к шагу 1.
для V 0 е[оДтШ (Ы)).
На основании предложенного численного алгоритма создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки параметров с наперед заданной точностью.
В качестве примера рассмотрена стационарная динамическая система, которая описывается следующим линейным разностным уравнением:
г, а г]
2 г — ^ Ъо 2г-т _ ^ ^ Х'--т ,
т1 у1 т_о
X
X
г
г, г +1
X
Т
При d = 2, r = 2, Г = 1, r2 = 2 имеем
z, = z,_1. bW + z,_2 • b& lt-2) + x“. + x». «01'-1) + *i2& gt-. a0°, 2) +
+ x (2). aM)+ x (2) • a& lt-2−2)
Ai-1 & quot-o T ai-2 & quot-O
Векторы входных сигналов X, = {x^, x, 2−1} и векторы помех
S, = {^ (,)} заданы с помощью гене-
ратора случайных чисел: х (1) = rnorm (N, 0,0. 2) x,(2) = rnorm (N, 0,0. 2) ?. W= rnorm (N, 0,0. 1). (2) = rnorm (N, 0,0. 1)
|1 (,) = rnorm (N, 0,0. 15) В табл. 1 приведены значения оценок параметров, полученные в результате тестирования на основе предлагаемого численного метода (при числе экспериментов
N = 120).
Также получено значение среднеквадратичного отклонения сигнала Z, от ZT?:
Таблица 1. Сравнение полученных оценок параметров с истинными значениями.
Z Z — Z)2
(J2 = ¦'-=1
la = 0,018,
N-1
где — значения выходного сигнала, полученные по рассчитанным оценкам коэффициентов Ь^, 9'-(г)), а^, в'-(1)).
Параметры Истинные значения Полученные оц ен ки
b (l) 1 1,0 1 8
b (2) -0,5 -0,523
a (0,1) 0,5 0,501
a (1−1) 0,4 0,3 8 1
a (0& gt-2) 0,3 0,28
a (1−2) 0,6 0,579
a (2& gt-2) 0,2 0,203
1.
2.
4.
5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кацюба О. А., Жданов А. И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных опрераторов// Изв. Ан. СССР. Техническая кибернетика. 1981. № 5. Кацюба О. А., Жданов А. И. О состоятельных оценках решений некорректных стохастических алгебраических уравнений при идентификации параметров линейных разностных операторов // Изв. Ан. СССР. Техническая кибернентика. 1981. № 5.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
Stoica P., Soderstrom T. Bias correction in least — Squares identification // int. J. Control. 1982. Vol. 35. No 3.
Unton F. Recursive estimator of the solutions of linear equation sequence // IEEE Trans. AuT. Control. 1984. Vol. AC-29. No 2.
IDENTIFICATION OF STATIONARY LINEAR DYNAMIC SYSTEMS
MULTIVARIATE ON INPUT
© 2006 A.N. Volnykin, O.A. Katsyuba Samara State Academy of Ways of Communication
In article the problem of an estimation of parameters linear difference equations with a multivariate input is considered at presence of handicapes of supervision in input and output signals. This task differs from a standard problem regression estimation, the new criterion of estimation is offered on the basis of the relation of two square-law forms, generalizing standard method of the least squares and allowing to receive well-grounded estimations of parameters. The numerical method of definition of estimations of parameters linear difference the equations, reduced to the repeated decision linear difference the equations is offered also.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой