Идентификация параметров внутренней микроструктуры биотканей с использованием формализма стохастических разностных уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Метод показал высокую эффективность при регистрации спектра пропускания различных участков микроструктуры клеток, который имеет большой диапазон изменения оптической плотности. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы позволяют использовать микроскоп-гиперспектрофотометр во многих областях биомедицинских исследований.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Литература
1. Гуров И. П., Лопатин А. И., Мельников А. В. Метод компенсации спектральной неоднородности источника излучения подстройкой его цветовой температуры для гиперспектральных приложений в микроскопии // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2012. — № 5 (81). — С. 38−42.
2. Nayar S.K., Branzoi V. Adaptive dynamic range imaging: optical control of pixel exposure over space and time // Proc. the Ninth IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV). — 2003. — V. 2. — P. 1168−1175.
3. Nuske S., Roberts J., Wyeth G. Extending the dynamic range of robotic vision // Proc. IEEE Int. Conference on Robotics and Automation. — 2006. — P. 162−167.
4. Понс Ж., Форсайт Д. Компьютерное зрение: Пер. с англ. — М.: Вильямс, 2004. — 928 с.
5. Белашенков Н. Р., Гуров И. П., Лопатин А. И., Мельников А. В. Микроскоп-спектрофотометр с матричным фотоприемником // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. — 2007. — № 9 (43). — С. 260−265.
6. Бобровников Л. З. Электроника. — СПб: Питер, 2004. — 560 с.
Гуров Игорь Петрович — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, gurov@mail. ifmo. ru Лопатин Александр Иосифович — ОАО «ЛОМО», кандидат физ. -мат. наук, главный оптик, ailo-
patin@gmail. com
Мельников Алексей Викторович — Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, инженер-исследователь, melnikov. alexey@gmail. com
УДК 53. 05: 519. 219: 519. 714. 3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ВНУТРЕННЕЙ МИКРОСТРУКТУРЫ БИОТКАНЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМАЛИЗМА СТОХАСТИЧЕСКИХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е. А. Воробьева, И. П. Гуров, А.Х. Киракозов
Разработан метод моделирования многослойных случайно-неоднородных сред на основе использования математического аппарата стохастических разностных уравнений. Предложен метод описания случайной границы среды. Приведены примеры представления многослойных случайно-неоднородных сред с различными параметрами их внутренней микроструктуры.
Ключевые слова: микроструктура, стохастические дифференциальные уравнения, многослойные среды.
Введение
Определение внутренней микроструктуры случайно-неоднородных сред неразрушающими оптическими методами представляет важное направление научных исследований и высоких технологий. Перспективным методом исследований является оптическая когерентная томография (ОКТ), обеспечивающая наиболее высокое разрешение при неразрушающем контроле микрообъектов [1−3].
Количественный анализ свойств микроструктуры объектов возможен при учете физических особенностей взаимодействия оптического излучения с веществом и использовании адекватного математического описания микроструктуры исследуемых объектов. Существуют различные подходы к исследованию случайно-неоднородных сред, например, метод диаграмм, метод интегралов по траекториям, метод уравнения переноса и др. [4−5]. Метод диаграмм связан с использованием аппарата квантовой теории поля, а именно, с построением диаграмм Фейнмана [6].
Метод интегралов по траекториям, впервые предложенный Р. Фейнманом, получил широкое распространение [6−8]. Сущность метода заключается в том, что излучение рассматривается как поток фотонов, проходящих через среду по всевозможным траекториям, рассеиваясь на неоднородностях [9]. Интегрирование по всем траекториям (суммирование вкладов по всем траекториям) позволяет описывать распространение света в случайно-неоднородной среде [4]. Виды реализации метода интегралов по траекториям можно разделить на два класса: аналитические и стохастические. Модели рассеяния на броуновских частицах и на потоках частиц составляют основу аналитических методов [9−10], в которых ис-
пользуются некоторые приближения для решения задачи. Метод Монте-Карло является стохастическим методом моделирования рассеяния в случайно-неоднородной среде [11−12].
Одним из наиболее плодотворных методов исследования случайно-неоднородных сред является метод уравнения переноса [4, 13]. Поскольку на сегодняшний день не найдено решение уравнения переноса, корректно описывающее рассеяние всех порядков, стохастическое описание является, по существу, единственным подходом, позволяющим предсказывать результаты экспериментов в случаях, когда важную роль играют как рассеяние низких порядков, так и многократное рассеяние.
Модель случайно-неоднородной среды можно построить также на основе формализма стохастических дифференциальных уравнений [14]. При этом важно учитывать априорную информацию об исследуемой среде, например, о наличии слоистой структуры с неровными границами и т. п.
В настоящей работе рассматриваются особенности описания случайно-неоднородных сред на основе формализма стохастических дифференциальных уравнений первого порядка (в форме уравнения Ланжеве-на) и демонстрируется возможность определения параметров микроструктуры исследуемой среды.
Стохастические дифференциальные уравнения для описания случайно-неоднородных сред
Рассмотрение свойств случайно-неоднородной среды дает основание для использования стохастических математических моделей для моделирования ее внутренней микроструктуры. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Ланжевена
а 0
— = -а0+аи (О, (1)
Ж
где) — случайный гауссовский процесс с нулевым средним значением и равномерной спектральной плотностью мощности (белый гауссов шум) — а — константа.
Уравнение (1) представляет собой альтернативное описание случайных реализаций величины 0(/) при эволюции плотности вероятности р (0, t), определяемой уравнением Фоккера-Планка. В свою очередь, уравнение Фоккера-Планка широко используется для описания многих процессов в физике и химии [15], а также при изучении процессов самоорганизации в сложных системах, включая биологические системы [16]. Кроме этого, известно, что решение уравнения (1) обладает свойством фрактальности, которое характерно для разнообразных процессов в естественной природе. Таким образом, уравнение вида (1) применимо для описания пространственного распределения степени отражения излучения в случайно-неоднородных средах биологической природы ввиду клеточного механизма формирования биотканей. При этом распределение коэффициента отражения в среде по глубине определяется уравнением (1) в форме
а 0
— = -а0 + ап (г), (2)
где г — координата по глубине среды.
Уравнение (2) удобно для использования ввиду простоты при моделировании и возможности варьировать спектральные свойства получаемых реализаций 0(г). За счет выбора подходящего значения, а можно установить характерный масштаб неоднородностей: чем меньше величина этого параметра, тем более крупным является характерный масштаб неоднородностей моделируемой среды.
Большинство биотканей имеет слоистую структуру [17, 18]. По этой причине для описания реальных биотканей уравнение (2) требуется преобразовать к нестационарному виду, когда, а =а (0, г) или формирующий шум п (х) характеризуется изменяющимися параметрами — переменной дисперсией или шириной спектра, т. е. является «окрашенным» шумом.
В методах ОКТ, как отмечалось выше, получают значение коэффициента (однократного) отражения по глубине среды вдоль координаты г (так называемые А-сканы), совокупность которых составляет томограмму (В-скан). Поскольку томограмма является двумерным представлением микроструктуры в сечении исследуемого объекта, при описании распределения коэффициента отражения среды нужно учитывать коррелированность характеристик в соседних А-сканах.
Дискретная двумерная модель томограммы показана на рис. 1. Модель представляет собой двумерную сетку, состоящую из N х М ячеек, при этом каждой ячейке соответствует инверсное значение коэффициента отражения: чем оно больше, тем ярче выглядит ячейка на рисунке. Значение коэффициента отражения в ячейке с координатами (/, у) обозначим как 0(/, у).
Используя уравнение (2), можно записать стохастическое разностное уравнение для описания изменения коэффициента отражения внутри среды с учетом коррелированности значений в соседних точках в виде
0(1, у) = (1 — а) (а0(/ -1, у) + Ь0(/ +1, у) + с0(/, у +1) + а0(/, у -1) + м& gt-{1, у), (3)
где а, Ь, с, ё — коэффициенты, сумма которых должна быть равна единице. Таким образом, получаем N х М уравнений и N х М неизвестных:
(1 с Ь 0 ^
а 1 0 а 0 0
с Ь 1 с а1
(4)
V… /
где 6 — столбец неизвестных 6(/, ]) — V — столбец случайных величин м& gt-(1, ]). При решении системы уравнений (4) полученные значения будут полностью удовлетворять уравнению (3).
А/
М
& quot-ЛИЩГ
Рис. 1. Дискретная двумерная модель В-скана
Рис. 2 иллюстрирует пространственные распределения коэффициента отражения в среде при а=Ь=с=ё=0,25 и различных значениях а. Значение параметра, а влияет на скорость изменения характеристик среды, что позволяет определить среды с различными масштабами локальных неоднородностей.

а б в г
Рис. 2. Примеры пространственного распределения коэффициента отражения в среде для а=0,5 (а) — а=0,2 (б) — а=0,05 (в) — а=0,01 (г) (размер 150*200 пикселей)
Заметим, что параметр, а определяет граничную частоту диапазона частот спектральной плотности мощности случайного процесса, определяемого уравнением (2) (см. [19]), что позволяет интерпретировать свойства случайно-неоднородных сред с позиций пространственно-частотного подхода.
Описание границы случайно-неоднородной среды
В описанном выше алгоритме предполагается, что моделируемая среда имеет ровную границу. Однако получаемые ОКТ-изображения реальных биологических сред практически никогда не имеют ровной внешней границы.
Для описания случайной границы целесообразно использовать решение уравнение Ланжевена (2), в котором в качестве случайной реализации 6 рассматривается начальная координата границы х0. Рассмотрим алгоритм определения случайной границы более подробно.
Для формирования случайной границы необходимо задать функцию х0 (]), которая для каждого ]-го столбца определяет номер ячейки, относящейся к границе среды для этого столбца [14]. Для уравнения Ланжевена (2) известно точное решение: если 60 = 6(2 = 0), то
6(г) = 6^ +а|и (§)Та (2ё.
(5)
Перепишем уравнение (5) для координаты границы 2/:
z
zj) = у (а, ст, zj_J, Az) = zj_le_az +ajn (t)e_a (z_ydt,.
(6)
где функция у (zJ) представляет решение уравнения (1) при заданных параметрах (а, ст), ст — среднеквадратичное отклонение, характеризующее формирующий гауссов шум п (z).
Алгоритм вычислений состоит из двух этапов. Сначала выбираются некоторые значения для параметров а, ст, z0, Az, и для каждого у-го столбца по формуле (6) рекурсивно вычисляются значения zj = у '-(а, ст, zj1, Д) у = 1,…, М.
Затем функция z0(j) вычисляется по следующей формуле [14]:
(«, Л
zo (j) = Int
1 + (max {zo (j)}_ i)
zj _ min zj
max j zj _ min j zj y
(7)
где Int (-) обозначает функцию округления до ближайшего целого числа, max {z0(j)} - заданное максимальное значение функции z0 (j). Формула (7), по существу, представляет операцию масштабирования
значений z j на
i отрезок [l, max {z0(j)}].

'-*? ,. A s -. щ —
г I -ДА. Z V4 г
Г -TP: i4* н. г-1 Vfttflr
а б
Рис. 3. Томограмма свиной кожи (а) и результат синтеза В-скана для среды со случайной верхней границей для а=0,1 (б) (размер 300*150 пикселей)
На рис. 3, б, показан результат моделирования случайно-неоднородной среды со случайной верхней границей. Сравнение рис. 3, а, б, демонстрирует соответствие реальной томограммы биоткани и синтезированной томограммы.
Описание структуры многослойной случайно-неоднородной среды
Реальные биологические ткани в большинстве случаев состоят из нескольких слоев, отличающихся свойствами их микроструктуры. Для многослойной среды необходимо определить параметры для каждого отдельного слоя и для границ слоев [14].
На рис. 4 представлены примеры синтезированных многослойных случайно-неоднородных сред. Случайная граница между слоями задается так же, как и внешняя граница среды.
б
Рис. 4. Фрагменты представления двухслойной (а) и трехслойной (б) случайно-неоднородных сред
(размер 300*150 пикселей)
На рис. 4, а, показан фрагмент двухслойной среды при значениях параметров для обоих слоев а=Ъ=с=й=0,25 и значениях а=0,2 для верхнего слоя, а=0,1 для нижнего слоя. На рис. 4, б, представлен фрагмент трехслойной среды с параметрами а, равными 0,1- 0,01- 0,05 для верхнего, среднего и нижнего слоев соответственно.
а
Рассмотренный алгоритм позволяет компактно описать внутреннюю микроструктуру случайно-неоднородной среды с произвольным числом слоев при различной степени выраженности границ между слоями. Представленные среды на рис. 4 имеют ярко выраженную границу между слоями. Для моделирования слабо выраженной границы было реализовано усреднение коэффициентов а, и а} на границе
1-го и/-го слоев.
Алгоритм вычислений иллюстрируется блок-схемой на рис. 5. В качестве входных данных алгоритм получает описание каждого из слоев случайно-неоднородной среды и параметры для определения случайных границ. На первом этапе вычислений осуществляется инициализация параметров среды. Для каждого слоя формируется случайная граница и выполняется ее сглаживание при необходимости.
Второй этап вычислений заключается в разбиении среды на отдельные равные части. Время выполнения вычислений значений в каждой точке среды и требуемая память имеют квадратичную зависимость от размера обрабатываемой области, что ограничивает допустимые размеры области расчета.
параметры среды
& quot-М
V
Инициализация параметров среды
С
Инициализация слоя ^^-
______ _ _
Генерация
Скользящее усреднение
Н-
границы слоя
V
[0
-сн
Сглаживание границ слоев |
& quot- ри а, Ь, с, ^'-д: — ¦: :
коэффициент воздействия соответствующих & quot-соседей"- в каждой тсмке среды
V
Разбиение среды на части

V

[0… Х][0… У]
ч
Расчет значений пространственного распределения коэффициента отражения
'- Формирование системы уравнений I
---г*
с учетом влияния соседних ячеек
С
I
Решение системы уравнений методом Гаусса
)

Обьединение результатов
С
с
у
Нормализация результатов расчета
V
3 3
Преобразование результатов в ч/б изображение
3
V ®
Рис. 5. Блок-схема представления многослойной случайно-неоднородной среды
со случайными границами
Третий этап вычислений состоит в формировании системы уравнений с учетом влияния соседних ячеек с весовыми коэффициентами а, Ъ, с, й и ее решении методом Гаусса. Этот этап выполняется отдельно для всех частей среды, и затем результаты вычислений объединяются в форме матрицы.
Завершающие шаги алгоритма состоят в нормализации полученных результатов и преобразовании в черно-белое изображение. Нормализация проводится для удобства преобразования полученных значений в полутоновый диапазон.
На рис. 6 представлены примеры многослойных сред со слабо выраженными границами между слоями, полученные с помощью описанного выше алгоритма вычислений.
Представленная на рис. 6, а, среда состоит из двух слоев, параметр, а для верхнего слоя равен 0,13, а для нижнего 0,08. Среда, изображенная на рис. 6, б, состоит из трех слоев, для которых параметр, а равен 0,85- 0,9- 0,95 для верхнего, среднего и нижнего слоев соответственно.
а б
Рис. 6. Смоделированные В-сканы для двухслойной (а) и трехслойной (б) случайно-неоднородных сред со слабо выраженными случайными границами между слоями (размер 300*150 пикселей)
При описании сложных многослойных сред требуется задавать в общем случае четыре «переключаемых» параметра для каждого слоя и для каждой границы слоев. Число параметров снижается при описании преимущественно однородных сред.
Заключение
Разработанный подход к определению микроструктуры биотканей на основе математического аппарата стохастических разностных уравнений обладает высокой гибкостью в зависимости от выбора параметров модели, что позволяет адекватно представить случайно-неоднородные среды с различной микроструктурой. Предложенный метод позволяет определять случайно-неоднородную среду ограниченным числом параметров для описания слоев и их границ. Приведены примеры описания однослойных и многослойных случайно-неоднородных сред со случайными границами, иллюстрирующие адекватность предложенного представления реальным средам.
Разработанный подход обеспечивает возможность создания тестовых моделей (виртуальных неоднородных сред) для верификации алгоритмов обработки информации в оптической когерентной томографии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Литература
1. Гуров И. П. Оптическая когерентная томография: принципы проблемы и перспективы // Проблемы когерентной и нелинейной оптики / Под ред. И. П. Гурова и С. А. Козлова. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. — С. 6−30.
2. Alarousu E., Gurov I., Kalinina N., Karpets A., Margariants N., Myllyla R., Prykari T., Vorobeva E. Full-field high-resolving optical coherence tomography system for evaluating paper materials // Advanced Laser Technologies 2007 // Proc. SPIE. — 2007. — V. 7022. — P. 7022−12.
3. Gurov I., Karpets A., Margariants N., Vorobeva E. Full-field high-speed optical coherence tomography system for evaluating multilayer and random tissues // O3A: Optics for Arts, Architecture, and Archaeology Proc. SPIE. — 2007. — V. 6618. — P. 6618−07.
4. Скипетров С. Е. Диффузионно-волновая спектроскопия в средах с пространственно неоднородной динамикой рассеивателей: Дисс. … канд. физ. -мат. наук: 01. 04. 21. — М., 1998. — 153 c.
5. Воробьева Е. А., Гуров И. П. Модели распространения и рассеяния оптического излучения в случайно-неоднородных средах // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И. П. Гурова, С. А. Козлова. — СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2006. — С. 82−98.
6. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 8. Квантовая механика — I // М.: Мир, 1966. — 267 с.
7. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
8. Path integrals and their applications in quantum, statistical, and solid state physics / Eds. G.J. Papadopoulos, J.T. Devreese. — NY: Plenum press, 1978. — 515 p.
9. Maret G., Wolf P.E. Multiple light scattering from disordered media. The effect of brownian motion of scat-terers // Z. Phys. B. — 1987. — V. 65. — № 4. — P. 409−413.
10. Wu X-L., Pine D.J., Chaikin P.M., Huang J.S., Weitz D.A. Diffusing-wave spectroscopy in a shear flow // J. Opt. Soc. Am. B. — 1990. — V. 7. — № 1. — P. 15−20.
11. Ярославский И. В., Тучин В. В. Распространение света в многослойных рассеивающих средах. Моделирование методом Монте-Карло // Оптика и спектроскопия. — 1992. — Т. 72. — № 4. — С. 934−939.
12. Feng S., Zeng F. Monte Carlo simulations of photon migration path distributions in multiple scattering media // Proc. SPIE. — 1991. — V. 1888. — P. 78−89.
13. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М.: Мир, 1972. — 385 с.
14. Воробьева Е. А., Киракозов А. Х. Идентификация стохастических моделей случайно-неоднородных сред в оптической когерентной томографии // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И. П. Гурова, С. А. Козлова. — СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2008. — С. 120−129.
15. Ван-Камепен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
16. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. — М.: Мир, 1991. — 240 с.
17. Руководство по оптической когерентной томографии / Под ред. Н. Д. Гладковой, Н. М. Шаховой и А. М. Сергеева. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 296 с.
18. Уманец А. В. Анализ видов тестовых образцов материалов в оптической когерентной томографии // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И. П. Гурова, С. А. Козлова. — СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2008. — С. 130−136.
19. Ахманов С. А., Дьяков Ю. А., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981. — 640 с.
Воробьева Елена Александровна Гуров Игорь Петрович
Киракозов Александр Христофорович
ООО «Моторола-Мобилити», инженер-программист,
lenavorobyeva@gmail. com
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, gurov@mail. ifmo. ru ООО «Яндекс», руководитель группы, hristoforich@yandex. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой