Аналитическая дефаззификация нечетких чисел

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

М. В. Коротеев
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДЕФАЗЗИФИКАЦИЯ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ
Волгоградский государственный технический университет
michail. koroteev@mail. ru
В процессе практического применения нечеткой логики в математическом моделировании возникает проблема вычисления нечетких мер и отношений над нечеткими множествами произвольного вида. Численные методы универсальны, но медленны и имеют ограниченную точность. В данной работе рассматривается подход, позволяющий вычислять дефаззифицированное значение аналитически, что может существенно повысить скорость и надежность нечетких информационных систем.
Ключевые слова: нечеткая логика, нечеткие меры, дефаззификация, нечеткие числа, трапециевидные числа, обобщенно-трапециевидные числа.
M. V. Koroteev
ANALYTICAL DEFUZZIFICATION OF FUZZY NUMBERS Volgograd State Technical University
In fuzzy logic’s practical appliance in mathematical modeling there is a problem of calculating fuzzy measures and relations upon fuzzy number in common form. Quantitive methods are universal, but slow and they have limited accuracy. In this paper an approach for analytical calculation of defuzzification value. We assume it can increase rapidity and robustness of fuzzy information systems.
Keywords: fuzzy logic, fuzzy measures, defuzzification, fuzzy numbers, trapezoidal numbers, fuzzy numbers in extended trapezoidal form.
При разработке нечетко-множественных различных нечетких функционалов и метрик:
экономических моделей одним из ключевых аналитический и численный. Численный метод
моментов является дефаззификация нечетких предполагает представление функции принад-
подмножеств [13]. Роль этой процедуры, глав- лежности в виде ц (х) = ^• ц (), где Axi —
ным образом, сводится к интерпретации нечет- i
кого вывода модели в терминах обычной чет- частота дискретизации носителя нечеткого
кой алгебры, то есть представления нечеткого подмножества. Такой подход имеет достоинст-
подмножества в виде одного числа. ва и недостатки. Несомненным его плюсом яв-
Для продуктивного использования нечетко- ляется его универсальность: для системы, ис-
множественных моделей целесообразно ис- пользующей численный метод совершенно не-
пользовать средства автоматизации вычисле- важна форма функции принадлежности, тип ее
ний, в частности, программные продукты, спе- носителя, высота подмножества и прочие факто-
циально созданные для нечеткого моделирова- ры. Однако, как и любые численные методы, та-
ния. При разработке такого рода продуктов мо- кой подход может дать лишь приближенное зна-
гут применяться два подхода к вычислению чение, скажем, центроида подмножества. Причем
точность и производительность связаны обратно пропорционально через частоту дискретизации.
С другой стороны, аналитический метод довольно сложен математически, чувствителен к форме функции принадлежности, может быть определен лишь при носителе подмножестве -отрезке действительной оси. Вместе с тем, информационная система, основанная на аналитическом методе, имеет производительность при вычислении функционала O (1), что значительно ускоряет моделирование сложных процессов.
Очевидно, что оптимальным было бы совмещение в рамках одной и той же информационной системы обоих подходов, чтобы сохранить универсальность при экономии ресурсов там, где возможно аналитическое вычисление нечетких функционалов. Современные информационные технологии, такие как объектноориентированное программирование, предоставляют такую возможность, поэтому тема поиска аналитических выражений для нечетких функционалов является актуальной в рамках задач нечеткого моделирования.
В большинстве работ, посвященных нечеткой логике при определении различного рода нечетких функционалов применяется именно численный подход, приведенный к интегральному виду, то есть Ц (X) = | xi • ц (xi).
х
В экономическом моделировании могут использоваться нечеткие множества с функцией принадлежности самых различных видов. Так как большинство методик предполагает экспертное задание формы функции принадлежности по ключевым точкам, обычно выбор их форм ограничен самыми простыми случаями. С другой стороны, нечеткие числа, получающиеся в результате арифметических операций над исходными экспертно заданными числами, могут принимать неправильную форму, не ограниченную рассмотренными ниже частными видами в том случае, когда эти операции производятся численно. Существуют нечеткие арифметики, в которых результатом операции
над треугольными числами является треугольное же число, без усложнения формы ФП [8]. Однако применение таких арифметик в экономическом моделировании представляется нецелесообразным из-за их ограниченности треугольными числами.
При рассмотрении нечетких чисел в виде интервалов следует отметить, что этот вид сам по себе является частным случаем трапециевидного числа общего вида, в котором оба ската определены на интервале, вырожденном в точки. Математически, функция принадлежности интервала представляет собой функцию двух переменных из области определения (носителя) нечеткого числа:
Г0,
I (Х) = /і (Х1,Х2)
при х & lt-х
при х & lt- х & lt- х2 при Х & gt-х2
(1)
Дефаззификация такого нечеткого числа довольно тривиальна:
еєпґг (I)
2
(2)
Частным случаем интервала является четкое число (в том случае, если х1 = х2). Приведенный функционал справедлив и для вырожденного случая:
X, + х2
еєпґг (і):
¦ = Х
(3)
функционал
2
В общем случае, введем С/ (х, х2) = а, где / - функция принадлежности-
х, х2 — границы интервала интегрирования, ееШг — метрика, интерпретируемая как «центр» нечеткого множества, результат дефаззификации. Эта запись позволяет без каких-либо изменений в методике использовать любые необходимые методы дефаззификации. Далее в данной работе будет приведен пример метрик дефаззификации по методу центроида (центра масс, Со А).
В отличие от интервала, трапециевидное число можно представить как кусочно-линейную функцию от четырех переменных:
Цт (х) = /т (, ХА, ХВ, Х4)
0,
Х — х
ХВ — Х4
при х & lt- х
— при х & lt-х<-ха
ХА — Х
1, при ХА & lt- Х & lt- хв.
Х — Х"
при хв & lt-х<-х4 при Х & gt- х4
(4)
Дефаззификация трапециевидного числа осложняется тем, что скаты функции принадлежности могут иметь разные по длине интервалы, что должно быть учтено в итоговой оценке центра подмножества.
Рассмотрим отдельно скаты трапециевид-
ного
числа.
Центроид
левого
ската:
і
x — x
— - функция
левого ската. Для правого ската получаем:
і
Си =Т (X4 — XB), где f2 (X):
x — x
centr (T):
x2 — 2 2
Л2 Л4
2 I f (X)dx + x3+ 2 I f2 (X)dX
(5)
где /1 — функция принадлежности на левом скате, а/ - на правом.
При исследовании трапециевидного числа эта метрика принимает вид:
centr (T):
xі + Зх2 + ЗхЗ
S
(б)
— функ-
Более тривиальным для нечеткого числа в обобщенно-трапециевидной форме будет вычисление дефаззифицированного значения по методу среднего максимума. Если учесть, что нечеткое число по определению унимодально, то мы получаем:
ция правого ската.
В общем случае, при использовании метода центра масс метрика дефаззификации принимает вид:
сийг (!Г) =
Хп Т -IV
(?)
Рассмотрим дефаззификацию нечетких чисел в обобщенно-трапециевидном виде [3], задаваемом следующим образом:
Ц (x) = f (X!, X!, Xз, x4) = & lt-
і, если x2 & lt- X & lt- x3 fL (x), если xі & lt- X & lt- x2 fR (x), если X-, & lt- X & lt- x4
о
иначе,
(S)
где/,(х) — функция левого ската, /к (х) — функция правого ската нечеткого числа.
В приложении к такому нечеткому числу рассмотрим три метода дефаззификации:
• центроид — «центр масс» нечеткого числа-
• биссектриса (медиана) — медианное значение нечеткого числа-
• центр максимумов — среднее значение интервала толерантности нечеткого числа.
Для аналитического представления всех методов дефаззификации на основании формы функции принадлежности скатов нечеткого числа в обобщенно-трапециевидной форме введем две вспомогательные меры для каждого ската:
(9)
(і0)
Используя выражения (9), (10) запишем общий вид дефаззифицированных мер нечеткого числа:
центроид (center of area):
" ,"ч
— (11)
xB — x4
2
медиана (bisector of area):
Щ GO = T і ЯСЛ! [1 № С л.) & gt- ^
? '-ї ^
Д'-п, если (x~) = -
_ J і «ft (*-f& gt- «ft Ul) «*1
ЄСЛИ ^ (. Г-) & lt- -^ & lt- (pi (x:) + xs — X-
*0
La'-
если? jr-) ¦-¦ xB — x? = - w ft (*z) + *a «*s + ft W = 7 ¦ •"* ft (*a) + *s «*s & lt- T
(І2)
Центр максимума (medium of maxima):
MoSt = A: 7 Л'-3. (13)
I
Представленные выше методы аналитической дефаззификации нечетких чисел могут найти свое применение в моделях и информационных системах нечеткого контроля, основанных на алгоритмах Мамдани [іі]. Основным недостатком контроллеров такого типа называют как раз требовательность к ресурсам в ходе многократного выполнения операций де-фаззификации. Изложенный в данной работе подход позволит сократить сложность алгоритмов этого типа и приблизить их к вычислительной сложности алгоритмов TSK [і 2].
Перспективным в данном контексте представляется анализ выражений дефаззификации линейной комбинации нечетких чисел вида
А (14)
где — конорма, а Е — норма (в зависимости от выбранных норм и конорм).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Голубятникова, М. В. Применение алгоритма выбора оптимального технологического режима при нечетко выраженных экспертных оценках / М. В. Голубятникова, // Известия ВолгГГУ: межвуз. сб. науч. ст. № ІІ(7І) / ВолгЛУ. — Волгоград, 20ІІ. — (Серия «Актуальные нро-блемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах» — вып. 7). — С. І25-І29.
2. Применение нечетких темпоральных высказываний для описания движений при эмоциональных реакциях / А. В. Заболеева-Зотова, Ю. А. Орлова, В. Л. Розалиев, А. С. Бобков // Известия ВолгГГУ: межвуз. сб. науч. ст. № 3(76) / ВолгЛУ. — Волгоград, 20ІІ. — (Серия «Актуальные проблемы управления, вычис-лительной техники и информатики в технических системах» — вып. 7). — С. б0-б4.
3. Коротеев, М. В. Использование нечетких чисел в обобщенно-трапециевидной форме в экономическом анализе / М. В. Коротеев // Проблемы современного социума глазами молодых исследователей: мат. III Междунар. науч. -практ. конф. — Волгоград, 2011.
4. Леоненков, А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А. В. Леоненков. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003. — 736 с.
5. Рыжов, А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости: моногр. / А. П. Рыжов. — М.: Диалог-МГУ, 1998. — 81 с.
6. Санжапов, Б. Х. Обоснование реализации программы социально-экономического региона в условиях нечеткой информации / Б. Х. Санжапов, И. С. Калина // Известия ВолгГТУ: межвуз. сб. науч. ст. № 8(64) / ВолгГТУ. -Волгоград, 2011. — (Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах» — вып. 7). — С. 115−118.
7. Терелянский, П. В. Информационные технологии прогнозирования технических решений на основе нечетких и иерархических моделей: моногр. / П. В. Терелян-ский, А. В. Андрейчиков — ВолгГТУ. — Волгоград, 2007. -204 с.
8. Штовба, С. Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику [Электронный ресурс] / С. Д. Штовба. -Режим доступа: http: //matlab. exponenta. ru/ fuzzylogic/book1/ 1PhP
9. Dubois, D. and Prade, H. Fuzzy Numbers: An Overview // Analysis of Fuzzy Information 1: 3−39, CRCPress, BocaRaton, 1987.
10. Jang, J. -S. R., C. T. Sun andE. Mizutani. Neuro-fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence, Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1997.
11. Mamdani, E. H. and S. Assilian An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller, Int. J. Man-machine Studies, Vol. 7, 1−13, 1975
12. Takagi, T. and M. Sugeno. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Trans. Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 15, 116−132, 1985.
13. Zadeh, L. A. Fuzzy sets / L. A. Zadeh // Information and Control, 1965, vol. 8, N 3, pp. 338−353.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой