Игровой подход к задаче синтеза управления самолетом при заходе на посадку

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Т О м XII 19 8 1
№ 1
УДК 629. 735. 33. 015. 077
ИГРОВОЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ ПРИ ЗАХОДЕ НА ПОСАДКУ
И. И. Титовский
Рассматривается задача об управлении неманевренным самолетом в продольном канале на участке полета по глиссаде при действии ветровых возмущений с использованием методов теории дифференциальных игр. Получен оптимальный алгоритм управления, обеспечивающий минимальное гарантированное отклонение самолета от глиссады, с учетом ограничений на скорость перекладки органов управления. Приведены результаты численных расчетов.
Рассматривается игровой подход к задаче об управлении неманевренным самолетом в продольном канале на участке полета по глиссаде при действии ветровых порывов. При таком подходе предполагается, что возмущения, в данном случае ветровые порывы, на оставшемся отрезке времени движения действуют наихудшим образом. Закон управления определяется из решения модельной игровой задачи, в которой изолированное продольное движение описывается линеаризованными уравнениями в вариациях относительно номинальной траектории. Считается, что ветровые порывы имеют ступенчатую форму, произвольную длительность и ограничены по величине
К (01 I И& gt-2(0| (1)
здесь (?) — вертикальная и продольная составляющие
вектора скорости порыва.
Динамика двигателя приближенно описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
РТ.Т. + Р^ + Г2) + я=кр?,
где Р-тяга- Ть Т2 — постоянные времени- & lt-р — угол отклонения ручки управления двигателем (РУД) от номинального положения- Кр — передаточный коэффициент.
Управлениями являются угловые скорости перекладки руля высоты «1 и РУД. На управления накладываются ограничения:
I «1 (0 I & lt- «Ъ | «2 (0 | & lt- «2 • (-2)
Изменение плотности воздуха с высотой не учитывается.
Таким образом, в модельной задаче движение самолета описывается системой линейных уравнений девятого порядка с постоянными коэффициентами:
(r)п == «11 ап шг «Ь «15 ® + «16 V + Й17 Р --Сп cC'-t + С]2 w2- шг — «21 ап Н- «22 юг & quot-Ь «25 8 & quot-Н «26 V ~Ь «27 ^ & quot-Г C21 ®l'& gt-
«= шг-
Л = а41ап + а430-
8 = «i- (3)
V = ав1 ап + «ез & amp- + «в58 + «ее V + а87 Р + c61 wx -f с62
р = Л-
Р, = а87 Р + а88 Р| + а89 f-
& lt-? = н2.
Здесь аш о)2, & amp-, h, о, I/-- вариации путевого угла атаки [1], угловой скорости тангажа, угла тангажа, высоты, угла отклонения руля высоты и скорости самолета относительно земли соответственно, Pi — вспомогательная переменная.
В расчетах, представленных в работе, использовались следующие значения коэффициентов и ограничений на управления и возмущения:
an — - 0,4204-
«16=~ 0,1441- a16 = - 0,0023- a17 = - 5,6−10~4- au = - 90- a43 = 90-
«65 = - 0,019-
«66 = -'- 0,047- й67 = 0,3-
и* = «2= 10 град/с- 2zv
«21 — 0-
а22 = - 0,3755- а2, = 0,9108- д27 — 0-
«61= - 5,576-
«оз= 9,8-
а87 = -0,5-
«88 = 1, 3-
«89 — 22,9-
= 3 м/с- W*2 = 5 м/с.
Задача системы автоматического управления самолетом на участке полета по глиссаде заключается в приведении самолета к номинальной траектории и удерживании его в наименьшей ее окрестности при действии ветровых порывов. С учетом малости угла наклона глиссады к местному горизонту в качестве расстояния до глиссады можно рассматривать отклонение высоты от номинального значения. Таким образом, необходимо определить закон управления, обеспечивающий в каждый момент времени наименьшее возможное отклонение высоты от номинального значения при любых реализациях ветровых порывов, удовлетворяющих принятым ограничениям.
Сформулированная задача решалась методом обобщенного экстремального прицеливания [2]. При использовании этого метода задача решается от начального момента времени к конечному с вычислением в каждый текущий момент времени движения оптимального управления и наихудших возмущений. Поэтому использование этого метода приводит непосредственно к синтезу оптимального закона управления. Систему уравнений (3) можно представить в следующей матричной форме:
Х = АХ + Ви + С№, (4)
где А'- -вектор фазовых координат, [/ - вектор управлений, № - вектор возмущений (вектор скоростей ветровых порывов) — А, В и С — матрицы, составленные из соответствующих коэффициентов системы уравнений (3).
Пусть движение по глиссаде происходит на отрезке времени [?о, Т и пусть в момент времени ?& gt-г0 самолет оказался в положении, описываемом фазовым вектором X (?). Тогда для всех моментов времени определяется наибольшее возможное
отклонение от глиссады г4(х, к моменту времени х при действии наихудших порывов. Решение системы уравнений (4) в момент времени х можно представить в следующем виде:
здесь *(т, ґ) — матрица фундаментальных решений, удовлетворяющая матричному уравнению
4*(т, І) = -Х (т, і) А с начальным условием
ХЬ, х)-?,
где Е — единичная матрица.
Пусть ех и е2 — единичные векторы, все компоненты которых за исключением четвертого равны нулю и
~cr ~0 —
0 0
1 і Є& lt-2 — -1
0 0
0 0
Тогда величину наибольшего прогнозируемого отклонения в момент времени х, г4(х, t) при действии наихудших возмущений можно представить в виде:
г4 (х, t) = max I еJ X (г, t) X (t) + min f eJ X (x, x'-) BU (i'-)dx'- -f
i = 1-M 7 }
+ max w
индексом «t» обозначено транспонирование.
Если для любого любого IV (?) и любого е1 существует и (?) такое, что
і)[Ви{і)А-СІГ (0]& lt-тіптах{е?*(х, і){ВІЇ + СЩ, (5)
то можно показать [2], что при всех возможных реализациях возмущений отклонение от глиссады в момент времени х не превысит величины
где с1 — сколь угодно малое положительное число.
По аналогии с [2] условие (5) можно назвать условием регулярности. В этом случае оптимальное управление находится следующим образом [2]. Вводится функция /. (?)
приводит к следующему оптимальному закону управления:
а ее — один из векторов в направлении которого в момент времени х достигается наибольшее отклонение от глиссады. Можно показать, что при таком выборе управления
Расчеты показывают, что в рассматриваемой задаче условия регулярности выполняются на промежутке времени х — г, много меньшем времени движения по глиссаде Т-?0. Поэтому в работе используется метод, являющийся модификацией подробно изложенного в [3] метода решения нерегулярных игровых задач с терминальным функционалом.
В нерегулярном случае значения е4(х, ?) могут с течением времени достигать значений е% (х4 ?0). Это объясняется тем, что функция е# (х, /0) может иметь несколько максимумов при различных х и в различных направлениях [т. е. при различных ?5(х)]. С помощью управления ограничить одновременно рост этих максимумов нельзя. В этом случае функция /. (?) может возрастать до сколь угодно большой величины и даже сменить знак. Поэтому в данной работе функцию предлагается записать в следующем виде:
и управление вычисляется из условия минимизации ~ Х (г?). Это
и
здесь
т
и №
где
S*(0 = max {$,(•, t)+d. ti~. tr
Величина e* (t) является максимальным прогнозируемым отклонением на оставшемся отрезке времени движения. Управление и возмущение определяются из условия минимакса величины
Чтобы в любой момент времени величина отклонения не
превышала s®(?), функция h (t) должна быть положительной ограниченной дифференцируемой функцией. В выборе вида функции & gt-. (t) при таком подходе существует определенный произвол. В работе рассматривается наиболее простой случай, когда величина X [t)
постоянна. Производную при условии & gt-. it) = const запишем
следующим образом:
т (I
¦ (х, 0 in
ch* (t) dt
(О-
l (& lt-. t)
Г dt '-
J [**(& lt-)-*»
(т, t) P
J
(6)
di
[.• (i) — (X, t¦)]»
Можно показать, что минимум правой части (6) по и достигается при иор1:
?}ор15(*) = тк1 {?& gt-Т 5 (/)} ,
где
5(0-/-
е*Х (%, t) di
[** (*)-«*(*. OP
(7)
е, м
46
V
В
?*
ct& gt-
4
Наихудшие возмущения определяются аналогичным образом из условия максимизации е* (?).
Функция (р) является аналогом функции Ляпунова- с ее помощью при вычислении управления определяются момент времени, когда возможно наибольшее отклонение от глиссады, и направление, в котором оно может произойти, а также учитывается возможное увеличение отклонений в остальные моменты времени.
Численное решение задачи показало, что для любых начальных условий, начиная с некоторого момента времени, величина е* (?) становится равной некоторой постоянной величине е'. На рис. 1 показана зависимость в*(?), соответствующая нулевым начальным условиям (кривая /) и начальным условиям захвата глиссады (кривая 2), когда самолет совершает горизонтальный полет на высоте 400 м. На рис. 2 и 3 показана траектория движения в плоскостях (Л, и (а, V) при наихудших ветровых порывах и нулевых начальных условиях.
.
V
V
1

2 't Рис. 1
8 tc
Видно, что полученная траектория не соответствует реально допустимым траекториям движения самолета, так как отклонения угла атаки и скорости от номинальных значений слишком велики. Это происходит из-за того, что при синтезе управления не учитывается ограничение на допустимый угол атаки и величину скорости. Максимальные значения в4(х, достигаются при сравнительно малых значениях х -* ^ (порядка 4−6 с), а характерное время длиннопериодического движения в несколько раз больше. Поэтому вклад от управления тягой в величину г (х, /) много меньше вклада от управления рулем высоты. Это приводит к тому, что при опреде-
Ь, м
6
4
2
О I 4 6 8 10 12 14 15 13 г, с
Рис. 2
лении управления тягой с помощью соотношения (8) появляется некоторая «свобода», когда скорость может меняться в широких
пределах. Чтобы избавиться от этого явления, необходимо ввести ограничения на изменения угла атаки и скорости.
Ограничение на угол атаки вводится следующим образом: требуется, чтобы во время движения
|а (^)1& lt-а*. (8)
Величина а* определяется из условия непревышения допустимого угла атаки адоп. Аналогичным образом вводится ограничение на скорость
(9)
Величины я*, V* должны удовлетворять неравенствам
а* & gt- ъо*/У0,
Приближенно учет ограничений (8), (9) можно осуществить следующим образом. Введем функции & gt--«(/), XV (0:
й Т (1
— ) I) ' М*)=|-еа (т, 0 —
t *
здесь еД-с, ?), г6(т, {) — максимальные возможные отклонения, а и V в момент времени х, которые вычисляются так же, как е4 (х, {). Управление определяется из условия минимизации функции '-^(?)
'-И0 = ^ + /с!-Ч0 + №& quot-~ МО. (10)
где Ко., Ку — положительные константы.
При малых отклонениях, а и V от номинальных значений второе и третье слагаемые в (10) близки к нулю и управление определяется из условия минимума При приближении, а или V
к граничным значениям соответствующие слагаемые в правой части (10) неограниченно возрастают и управление вычисляется из условия выполнения ограничений (8), (9). В работе использовались значения Ка, Ку, & lt-**, V*:
Ка = Ку= 1, я* = 4°, 1/ = 6 м/с.
Численное решение задачи с ограничениями (8), (9) показало, что их введение слабо повлияло на величину е*, которая возросла на несколько процентов. В то же время полученные траектории движения отвечают по, а и V требованиям, предъявляемым к движению самолета. Отметим, что ограничение на, а можно не учитывать при сохранении ограничения на V, но в этом случае полу-
Рис. 4
чаются слишком большие значения |шг|. На рис. 4 и 5 представлены траектории движения в плоскостях (А, ?), (а, V), полученные при решении задачи с ограничениями (8), (9) и нулевыми начальными условиями.
Изложенная выше методика решения модельной игровой задачи справедлива при ограничениях, наложенных не только на скорости отклонения органов управления, но и на сами углы отклонения управляющих органов.
Численное решение показало, что отклонения органов управления при использовании соотношения (10) в рассматриваемой задаче малы. Поэтому можно отказаться от учета ограничений на углы отклонения органов управления. В этом случае введенные выше максимальные прогнозируемые отклонения по а, Н, V (е», п= 1, 4, 6) можно вычислять по формуле
?*я/(т, 0^(0 -||*в6К *)Ь1ХъМ-/=1 /
-^)ьпий^ + ||АГп1(х, х'-)си+Хп2(х, г'-)с211ио№-±
где ХпЛх, х'-) — элементы матрицы фундаментальных решений.
Оптимальный закон управления рулем высоты выписывается в явном виде:

И, (/) — - 11 81§ П
) Г 51еп [ЛГУ (-Г, 0] Л-, ь (•=,
} [а*-|*°(х, 01-•"(¦г. & lt-)Р
+
0] хл (¦*. О л%
I,
81§ П [Л'-Ц (т, 0] Ха Г) сИ % (т, ОI — е0(х, & lt-)р) ["• (О — ! X& quot- о 1 — (х, ?)Р
X
— Т г (11 & quot-1
.) [6* (0 — 1 (*. 0 1 — «4 ('-. 0] = 1
здесь
Х°п (-- 0-Е Хп& gt- (х, *)**(*).
* = 1
Г
*"('-, ?) = ] [ |ЛГя1 (х, х'-)си + ^П2(х, х'-)с12|®1 + |^я1(т, ^)с, гга\й1'- - т
— $\ХпЪ (1, Хп9{-, Х'-)|Н2]^'-, л=1, 4, 6.
Аналогичным образом можно выписать закон управления тягой.
Математическое моделирование движения самолета с учетом полных уравнений движения и полученным законом управления дало хорошее совпадение с решением модельной задачи. При моделировании рассматривалось воздействие наихудших и случайных ветровых порывов. Во всех случаях отклонение самолета от глиссады к началу выравнивания не превышало величины е0. Таким образом, величина ®* является минимальным гарантированным отклонением самолета от глиссады к началу выравнивания при заданных аэродинамических характеристиках самолета и выбранной максимальной величине ветровых порывов. Величина вд может быть использована для сравнительной оценки существующих алгоритмов управления самолетом на участке полета по глиссаде.
ЛИТЕРАТУРА
1. Горбатенко С. А., Макашев Э. М., П о л у ш к и н Ю. Ф., Шефтель Л. В. Механика полета. М.,. Машиностроение», 1969.
2. К р, а с о в с к и й Н. Н., Субботин А. Н. Позиционные дифференциальные игры. М., «Наука*, 1974.
3. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М., «Наука», 1970.
Рукопись поступила 1ЦХ1 1979 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой